龙飞48350111不动点原理在微分方程中地指导应用

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1、2012届毕业生毕业论文题目： 不动点原理在微分方程中的应用院系名称：理学院专业班级： 数学F0801学生：学号：指导教师：教师职称： 教 授 2011年5月25日14 / 18 摘 要 本文主要介绍了不动点原理以及其在微分方程中的应用，重点介绍了压缩映象原理，Brouwer和Schauder等不动点原理的基本概念及其应用，我们都知道不动点是泛函中的一个理论，是Banach在上世纪二十年代提出的一个理论，这个理论在数学领域有很重要的作用，它与近代数学的许多分支有着紧密的联系，尤其是与微分方程的联系，在微分方程中许多解的存在性问题都可转化某算子的压缩性，这样就使问题变得简单而容易求解，本文通过具

2、体的例子来加以辅助。关键词： 不动点原理 常微分方程 偏微分方程 Title Fixed Point Theory in Differential EquationsAbstractIn this paper, we introducthe fixed point theoreanditsapplicationsindifferential equationsthroughtheanalysis ofthepressionoftheintroductionofthemapping principle, Brouwer and Schauderfixed point principle, we

3、all know fixed point isa theoryoffunctionalthat Banachproposedinthe 1920s, the theory hasa very important rolein mathematics, ithas close tieswithmany branchesofmodern mathematics, especiallywith thedifferential equations, manyoftheexistence of Solutions toproblems can betransformed intoanoperatorpr

4、ession, so the problembees simpleandeasy to solve, this paper focuses throughtheintroductionofpartial differential equationsdoes not movethe pointofprincipleintheapplicationinthedifferential equationstobe supplementedbyspecific examples.Keywords:Fixed Point TheoryOrdinary Differential EquationsParti

5、al Differential Equations 目 录1引言12不动点原理12.1 压缩映像原理1Brouwer不动点原理5Schauder不动点原理63不动点原理在微分方程中的应用83.1 微分方程83.2 不动点在常微分方程中的应用93.3 不动点在偏微分方程中的应用14结论17致18参考文献191 引言不动点理论是关于方程的一种一般理论。数学里到处要解方程,诸如代数程、微分方程、函数方程等等，种类繁多，形式各异。但是它们常能改写成(x)=x的形状，这里x 是某个适当的空间中的点，是从到的一个映射，把每一点x移到点(x)。方程(x)=x的解恰好就是在这个影射之下被留在原地不动的点,故称

6、不动点。于是,解方程的问题就化成了找不动点这个几何问题。不动点理论研究不动点的有无、个数、性质与求法.不动点原理尤其是压缩映象原理Brouwer与Schauder不动点原理有着极其广泛的应用，尤其是在偏微分方程中，很多问题的解的存在性都可转化为某算子的压缩性。2不动点原理在数学中，不动点定理是一个结果表示函数F在某种特定情况下，至少有一个不动点存在，即至少有一个点x能令函数 F（x）= x。在数学中有很多定理能保证函数在一定的条件下必定有一个或更多的不动点，而在这些最基本的定性结果当中存在不动点及其定理被应用的结果具有非常普遍的价值。压缩映射原理 在泛函分析中，习惯把映射特别是线性空间上的映射

7、称为算子，把值域为数集的算子称为泛函，设E是线性赋泛空间，M是E的非空子集，算子T：MM，如果存在使T，则称是算子T的不动点，在自然科学和工程技术中，常常把求解方程问题转化成求解某个算子的不动点问题，例如求解算子方程Tx=0等价于求解x=x，I表示恒等映射，即求算子S=IT的不动点，不动点是泛函分析的一个十分重要的研究领域。 定义设M是线性赋空间E的非空子集，映射T：MM，如果存在正数k使得， 则称T是M上的一个压缩算子或压缩映射，显然压缩算子是连续的，定理，设E是Banach空间，T：E到E是压缩映射则1， T在E中有唯一的不动点2， 收敛于证因T是压缩映射，故k使，构造迭代序列=T=，n=

8、1,2则对每个n=，因此对任意n，pN有，这表明是E中的Cauchy列，因E完备，故因T连续，对等式=T两边取极限得即是T的不动点，且有证明知迭代序列=再证不动点的唯一性，假如另有，使T，则=，因为0k1所以必有 Banach压缩映射原理不仅证明了Banach空间中压缩映射不动点的存在与唯一性，而且还给出了不动点的迭代解法。下面给出Banach不动点定理的一些应用 有一矩形地图A B C D,缩小到另一同样地图abcd,将小图任意放在大图上，如图所示，求证必有一点在两图中表示同一个位置。DAdcabBC 证，记ABCD变到abcd的变换为，则是ABCD变到abcd的映射，且按照通常意义下的距离

9、是压缩的，即,d=ad，其中1，于是，这是一个完备度量空间X=ABCD中的压缩映射原理，据定理1，存在使=，即点在两图中表示同一位置，且此点是唯一的。 设在带状区域上处处连续，处处有关于y的偏导数,且如果存在常数m,M，适合.则方程f在闭区间上有唯一的连续函数,使。注： 注意本定理的证明思路：先确定空间，再找映照（这是难点）,然后证明此映照是压缩的，最后利用定理即得。注意到这是利用Banach压缩映照定理解题的一般方法. 此隐函数存在定理给出的条件强于数学分析中隐函数存在定理所给出的条件，因而得出的结论也强些：此处得出区间上的连续隐函数.2.2 Brower不动点原理1909年，L Browe

10、r给出了一个不动点定理，事实上，J Poincare早在1886年就给出过Brower不动点定理的一个等价形式，P Bohl于1904年又发现了这个定理。Brower不动点定理：设K包含于是有界凸闭的，则存在=证明 不失一般性，设是含有K的最低维的线性空间，则K与单位闭球是同胚的，从而存在同胚映像f:K,此时显然有MfC证存在，使得M，由于MC，故对任意的，存在，使得，因此对任意的x有， 即， 从而C，并且=，由此有 ， 设0，m， 则 存在，满足= m，由于是紧的，故不妨设 则=，再令m，则有M的连续性有M=，这样有f=，即=的不动点。关于不动点的定理很多，但布劳威尔不动点定理是最著名的不动

11、点定理之一，因为它在不少领域中都有应用。 在最初的领域中，这个结果与若尔当曲线定理、毛球定理和博克乌拉姆定理一样，是少数刻画欧几里得空间之拓扑性质的关键定理之一。因此，布劳威尔定理在拓扑学中也有非常重要的地位。这个定理也被应用于证明各种微分方程的深入结果中，在大部分的微分几何课程中都可以见到对这个定理的介绍。即使在看上去与这个定理没有什么关系的领域，例如博弈论中，也能见到布劳威尔定理的应用。在经济学中，布劳威尔不动点定理以及其推广：角谷静夫定理在证明经济学市场中全局平衡的存在性中扮演了重要角色。后者是由诺贝尔奖获得者吉拉德德布鲁和肯尼斯阿罗在二十世纪五十年代发展起来的。最初研究这个定理的是专研

12、微分方程的以亨利庞加莱和皮卡为首的法国数学家，因为在证明类似庞加莱-本迪克松定理时需要用到拓扑学的方法。19世纪末期，这个定理的各种类似的版本。一般性的定理是由法国数学家雅克阿达马在1910年证明的，1912年，鲁伊兹布劳威尔给出了一个新的证明。布劳威尔不动点定理有若干种不同的叙述方式，与使用时的上下文有关。最简单的形式如下： 平面上：每一个从某个给定的闭圆盘射到它自身的连续函数都有至少一个不动点。推广到任意有限维数的情况，就是：欧几里得空间中：每一个从某个给定的闭球射到它自己的连续函数都有（至少）一个不动点一个稍微更一般化的结论是：每一个从一个欧几里得空间的某个给定的凸紧子集射到它自身的连续

13、函数都有（至少）一个不动点。2.3 Schauder不动点定理设K是Banach空间E中的非空紧凸集，T：KK是连续映射，则T在K中有不动点。用Schauder不动点定理来证明Peano解的存在性定理，至今是研究非线性微分方程解存在性的有力工具。用Schauder不动点定理来证明微分方程解的存在性， ， 考虑C ，对任意的xC ，定义数为=，则C是Banach空间考虑K=和M：KC使得=+，以下证明分三步K是凸闭的，任意取，则只要，i=1，2n=1就有= ，即，因此K是凸的，又设，则 ，有，即，M：KK，因为对任意x有=，t，故M：KKM在K上是全连续的，设，n，于是对任意的， 存在Nn，tI

14、时，有， 因此一致收敛于，t在=+中令n得到=+=，所以，MC，进而，对任意的x=L，所以，M是等度连续的，而且还是一致有界的，所以M是相对紧的所以有Schauder不动点定理，存在，使得M 虽然Schauder不动点定理在形式上比较一般，但它不能含有Banach压缩映像原理，1955年，M Krasnoselskii把两者很好结合起来，给出下面很有用的不动点原理，这个定理在研究算子方程的扰动理论中起到重要的作用，例如在研究微分算子的扰动时，可以看到扰动往往导出一个压缩映像，而该微分算子的反演常常给出一个紧算子，因此使用Krasnoselskii不动点定理即可断定扰动方程解的存在性。3不动点原

15、理在微分方程中的应用3.1 微分方程微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。凡是表示未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程，就叫做微分方程。 它包括常微分方程和偏微分方程，微分方程的产生，发展，完善对于其他学科的发展具有巨大的推动作用。同时对人类社会的发展做出了重要贡献。3.2 不动点原理在常微分方程中的应用我们知道微分方程就是联系着自变量 未知函数及其导数的关系式，如果在

16、微分方程中自变量的个数只有一个我们就称这种微分方程为常微分方程。cyf，ty0，上面就是常微分方程的例子，这里y是未知函数，t是自变量。一般的n阶常微分方程具有如下形式F0 ， （1）这里F是的已知函数，而且一定含有，y是已知函数，x是自变量。如果函数y代入方程1后能使他变为恒等式，则称函数y为方程1的解，如果关系式决定的函数y是1的解，我们称为方程1的隐式解，隐式解也称为积分，例如一阶微分方程-，有解y=和y=，而关系式1就是方程2的隐式解我们把含有n个独立的任意常数的解y=，称为n阶方程1的通解，关于解对常数独立性是指对及其n-1阶偏导数关于n个常数的雅可比行列式不为0，同样可以定义方程1

17、的隐式通解，相应的隐式通解称为通积分，常见的定解条件是初值条件和边值条件，所谓n阶微分方程1初值条件是指如下n个条件 当x=时 y=， （2）这里，是给定的n1个常数，初值条件2有时写为y=，求微分方程满足定解条件的解就是所谓定解问题，当定解条件为初值条件是相应定解问题，就称为初值问题研究微分方程=f若给定一点，则微分方程的基本问题之一是，求，它在含的区间I上是可微的并满足=，t= f这一问题称为=f 的初值问题，也称Cauchy问题，并记为考察常微分方程初值问题的存在性定理，现在只假设函数f：，在上二元连续，考察C中的球上的映射+，我们来证明，对足够小的h，T映到自身，并且T是紧的，事实上，

18、Mh ， 故当h，T映到自身，又因为=M，对一阶常微分方程初值问题，解的存在与唯一性定理，有下面的比卡定理：设二元函数f在矩形D=上连续，且关于y满足Lipshchitz条件，即L对于任意L，则问题在区间上有唯一解，这里 0min，M=证问题6等价与积分方程 y=，令=， Ty=+dx，则是完备度量空间C的闭子空间，故也是完备的，而映射T：，事实上，Ty是上的连续函数，即 Ty，且有 d= =M， 故Ty, 其次， d= =Ld =L， 因L，故T是上的压缩映射。于是，据压缩映射原理，存在唯一的，使T，即积分方程有唯一解y=，也就是问题六在区间，上有唯一解y=。 粗略的讲偏微分方程就是一个含有

19、多个变量的未知函数及其偏导数的方程。含有N个未知函数的偏微分方程的阶数，是指方程中所含有未知函数最高阶偏导数的阶数，偏微分方程组的阶数为其中所有方程的阶数的最大值，如果一个偏微分方程对所含未知函数及其各阶导数的全体来说是线性的，则称之为线性偏微分方程组，否则称为非线性方程组，在线性方程中不含未知数极其任何偏导数的项称为自由项或非齐次项，自由项恒等于零的方程称为齐次的，否则称为非齐次方程，关于非线性方程，当前研究最多的是拟线性偏微分方程，这种方程中出现的未知函数的一切最高阶偏导数都是线性的，当然最高阶偏导数前的系数可能依赖于未知函数及其较低阶的偏导数，其次是半线性微分方程，这种方程中未知函数的最

20、高阶偏导数不仅线性的出现，而且其系数只与自变量有关，与未知函数及其偏导数无关，因此例如 一维弦振动方程 ， 一维热传导方程， 二维热传导方程， Laplace方程 ，都是2阶线性偏微分方程方程0，就是偏微分方程的例子，这里T是未知函数，x y z t都是自变量。例如用不动点原理解决Cauchy问题其中 X t设初值，对某个，假设算子G：zX且成立估计式对任意vNX且对任意成立估计式，其中，则Cauchy问题存在唯一解u，则成立估计式证明：我们将在空间X上以z上应用压缩映像原理，对v，定义映射 M=GN，则 z若M映到自身，另一方面，对于有=CC2若，因此M是上的压缩映射，因此Canchy问题存

21、在唯一解u。结 论关于不动点原理的研究已经硕果累累，有关不动点原理在微分方程中的应用也有了突破性进展，通过参考别人的研究成果，以及自己精心的探索和不懈的努力使我对不动点原理和微分方程有了更深入的了解，从而进一步形成了自己的认识，并作进一步的推广，希望通过我的研究能帮助更多喜欢数学研究的人们进行更好的研究，当然不一定仅限于不动点原理在微分方程中的应用，还可以推广到其他的领域。不动点原理的确在证明方程解的存在性方面有着十分重要的应用，尤其是在微分方程中。虽然我已经全力以赴的投入到了本课题的研究中，但由于自己学术能力有限，眼界不是那么开阔，对一些问题的认知还不是那么深入，因此乐于接受大家的批评指证。

22、致 时光荏苒，转眼间到了大学生活最后的时期，我思绪良多，首先我要感我的导师郭秀兰教授，在过去的几个月中郭老师为我指点迷津，帮助我拓展研究思路，精心点拨、热忱鼓励.从题目选择、方法确定、材料运用等每一个细节到论文撰写的每一个阶段，郭秀兰老师都始终给予我无微不至的关怀，使我得能按期完成本论文.郭老师一丝不苟的作风，严谨的态度，踏踏实实的精神令我终生受益无穷.在此谨向郭老师致以诚挚的意。同时感所有老师对我的教育和培养，是你们细心指导让我在研究课题的道路上能够自信前行，在此，我要向诸位老师深深地鞠上一躬,感那些与我朝夕相处同学们，我们共同度过了四年的大学美好时光，我们相互帮助，相互勉励，共度难关，共享

23、幸福，这样的环境深深感染了我，让我对大学有了幸福的留恋。在论文即将完成之际，我要对所有关心帮助我的老师和同学们说声你们。参 考 文 献1 秀珍.浅谈不动点原理及应用.广播电视大学学报，2001，12（2）：94-96.2 王金诚.不动点原理应用探讨.科教文汇，2007.20（5）：19-21.3 运章.压缩映射原理的应用.学院学报,2005，25（6）：45-49.4 夏大峰,牛欣.具有一类新压缩条件下自映射的不动点.工科学报,2002，1（3）：4-8.5 邹自德.用Banach不动点原理证明隐函数存在定理. 广播电视大学学报.2003， 3（8）：34-35.6 杜宏.压缩原理及其应用.学

24、院学报,2007，29（2）：14-15.7 丁 承治 常微分方程教程，高等教育，20018 查淑玲，关文吉，积分方程局部解的存在唯一性，师学院学报，2007,22（2）15-169 华新，马强强，不动点存在性定理的一种新证法，大学学报（自然科学版）2006,25（1）,11-1210 吴翠兰,王云杰. 扩映射与非压缩映射不动点定理 J. 师学院学报,（自然科学版） 2010.4 11 12 Granas,A,Dugundji,J. Fixed Point Theroy . 200313 Agarwal, Ravi P.; Meehan, Maria; ORegan, Donal. Fixed Point Theory and Applications. Cambridge University Press. 2001.14Dwiggins, David Paul.Fixed point theory and periodic solutions for differential equations.Southern Illinois University at Carbondale .1993 15 黄光健,浅析不动点定理及其应用 J 才智 2011，（36）