北京市海淀区高三下学期期末练习文数试题解析版

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1、一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1、若集合，或，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为集合，或，所以，应选答案C 。2、在复平面内，复数对应的点的坐标为A. B. C. D. 【答案】C3、已知向量，若，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为，且，所以，即，应选答案B。4、执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的为A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题设中提供的算法流程图可知时，此时，所以；此时，则，同时，这时输出，运算程序结束，应选答案B。5、已知数列是等比数列，则“”是“数列为递增数列”的A. 充分而不

2、必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当时，虽然有，但是数列不是递增数列，所以不充分；反之当数列是递增数列时，则必有，因此是必要条件，应选答案B。点睛：解答本题时，充分借助题设条件，先运用充分条件的定义进行判断，借助反例说明其不是充分条件，进而确定其逆命题是真命题，从而说明是必要条件，进而说明是必要不充分条件，选出正确答案。6、北京市2016年12个月的PM2.5平均浓度指数如右图所示.由图判断，四个季度中PM2.5的平均浓度指数方差最小的是A. 第一季度B.第二季度C.第三季度D.第四季度【答案】B【解析】从题设中提供的图像及数据分析可

3、以看出：第二季度的三个月中PM2.5的平均浓度指数较为平缓，差异不大较为整齐，因此其方差最小，应选答案B。点睛：方差是统计学中的重要的数据特征数，求解本题的关键是看清楚图像中的数据的变化情况，从图中可以看出四个季度的数据的情况，结合图像中的数据变化的在第二季度的数据非常稳定，变化不是太大，因此可以推断其方差是最小的，从而使得问题获解。7、函数的图象如图所示，则的解析式可以为A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为，故当时，的符号不确定，因此不单调，即答案A不正确；对于答案B，因，故函数 是递减函数，但函数有两个零点，则答案B不正确；对于答案D，因时，无零点，故答案不正确；而，故函数在时，

4、是单调递减函数，当时，函数也单调递减函数，应选答案C。点睛：解答本题的关键是搞清楚函数的图像的变化情况与题设的要求，将每一个函数解析式的导数求出，再运用比较对比的方法将函数的解析式选出，从而使得问题获解。8、一位手机用户前四次输入四位数字手机密码均不正确，第五次输入密码正确，手机解锁.事后发现前四次输入的密码中，每次都有两个数字正确，但它们各自的位置均不正确.已知前四次输入密码分别为3406，1630，7364，6173，则正确的密码中一定含有数字A. 4，6 B. 3，6 C. 3，7 D. 1，7【答案】D【解析】首先考虑题目要求：位置不对，那么：第一位只能是0、2、4、5、8、9，第二位

5、只能是0、2、5、7、8、9，第三位只能是1、2、4、5、8、9，第四位只能是1、2、4、5、8、9。那么四位数可选的数字排除后是0、1、2、4、5、6、7、8、9.其次考虑题目中有两位数字正确，那么：（1）可选的数字中2、5、8、9即可排除，四位可选数字为0、1、4、6、7，第一位可选0、4、7，第二位可选4、6、7，第三位可选1、4，第四位可选1、4。（2）根据出现频次，可排除0、6。即四位可选数字为1、4、7、8，第一位可选7、8，第二位可选4、7，第三位可选1，第四位可选8。故密码中一定含有数字1、7，应选答案D.点睛：本题的求解过程即是推理的过程，求解时先依据题设条件将符合题设的数字

6、一一列举出来，然后再进行分析筛选，确定出可选的数字和可能出现的数字，最后确定一定出现出数字从而使得问题获解。二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。9、双曲线的实轴长为_.【答案】2【解析】因，故双曲线的实轴长为，应填答案。10、在这三个数中最大的数是_.【答案】【解析】因，故最大的数是，应填答案。11、在中，则其最大内角的余弦值为_.【答案】【解析】因，故内角最大，则，应填答案。12、设为不等式表示的平面区域，直线与区域有公共点，则的取值范围是_.【答案】或者 【解析】由题设到直线的距离，解之得，应填答案。13、已知为原点，点为直线上的任意一点. 非零向量.若恒为定值，则_.【答案】2点睛

7、：解答本题的关键是如何建立等量关系求出其比值。求解时充分借助题设条件，先将点的向量求出为，然后借助向量的数量积公式将其表示为，进而建立方程组求得，使得问题获解。14、如图，在棱长为1的正方体中，点是线段上的动点.当在平面上的正投影都为三角形时，将它们的面积分别记为.(i) 当时，_（填“”或“=”或“”）；(ii) 的最大值为_.【答案】 (1). = (2). 【解析】如图，因，故，同理可得，所以，则，特别地当点运动到的端点时，三个面的面积之和最大且，所以，即最大值是，应填答案，。点睛：解答本题的关键是搞清楚在正方体的各个面上的高的关系，再运用三角形的面积进行求解，进而进行比较，并求出其最大

8、值。求解时借助三角形的相似比相等建立等量关系，最后证得其在各个侧面上的射影三角形的高相等，则面积相等，特别地当点在的中点时，三个三角形的面积都相等且最大，从而使得问题获解。三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。15.已知函数.（）求函数的最小正周期和对称轴的方程；（）求函数在区间上的最大值.【答案】（）见解析;（）.【解析】【试题分析】（1）借助题设条件运用两角差的正弦公式进行化简，再依据正弦函数的图像性质求解；（2）先确定函数在定义域内的函数的图像与性质，再运用正弦函数的图像性质分析求解：（），所以的最小正周期. 因为的对称轴方程为，令，得的对称轴方程为. 或

9、者：和，即和（）因为，所以，所以，所以，当，即时，在区间上的最大值为.16、已知是各项为正数的等差数列，为其前项和，且.（）求的值及的通项公式；（）求数列的最小值.【答案】（）;（）.【解析】【试题分析】（）借助题设条件运用等差数列的通项公式及前项和公式建立方程组求解；（）先确定目标函数解析式，再运用二次函数的图像与性质分析求解：（）因为，所以，当时，解得，所以，当时，解得或，因为是各项为正数的等差数列，所以，所以的公差，所以的通项公式.（）因为，所以，所以所以，当或时，取得最小值17、为了响应教育部颁布的关于推进中小学生研学旅行的意见,某校计划开设八门研学旅行课程,并对全校学生的选课意向进行

10、调查(调查要求全员参与，每个学生必须从八门课程中选出唯一一门课程).本次调查结果如下.图中,课程为人文类课程，课程为自然科学类课程.为进一步研究学生选课意向，结合上面图表，采取分层抽样方法从全校抽取1%的学生作为研究样本组(以下简称“组M”).()在“组M”中，选择人文类课程和自然科学类课程的人数各有多少？()某地举办自然科学营活动，学校要求：参加活动的学生只能是“组M”中选择F课程或G课程的同学，并且这些同学以自愿报名缴费的方式参加活动. 选择F课程的学生中有人参加科学营活动，每人需缴纳2000元，选择G课程的学生中有人参加该活动，每人需缴纳1000元.记选择F课程和G课程的学生自愿报名人数

11、的情况为，参加活动的学生缴纳费用总和为S元.()当S=4000时，写出的所有可能取值；()若选择G课程的同学都参加科学营活动，求S4500元的概率.【答案】() 12,8; ()() ;().【解析】()设事件若选择G课程的同学都参加科学营活动，缴纳费用总和S超过4500元.在“组M”中，选择F课程和G课程的人数分别为3人和2人.由于选择G课程的两名同学都参加，下面考虑选择F课程的3位同学参加活动的情况.设每名同学报名参加活动用a表示，不参加活动用b表示，则3名同学报名参加活动的情况共有以下8种情况：aaa，aab，aba，baa，bba，bab，abb，bbb.当缴纳费用总和S超过4500元

12、时，选择F课程的同学至少要有2名同学参加，有如下4种：aaa，aab，aba，baa.所以，.18、如图，在四棱锥中, 底面为菱形，平面，点在棱上.（）求证：直线平面；（）若平面，求证：；（）是否存在点，使得四面体的体积等于四面体的体积的？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（）见解析;（）.【解析】【试题分析】（）借助题设条件运用线面垂直的判定定理推证；（）借助线面平行的性质定理进行推证；（）先假设存在，再借助线面的位置关系进行分析推证：（）因为平面，所以,因为底面是菱形，所以，因为，所以平面.（）设与交点为，连接，因为平面平面，平面，所以，又由是菱形可知为中点，所以，在中，所以

13、.（）在中过点作 ，交于点，因为平面，所以平面.由是菱形可知，假设存在点满足，即，则，所以在中，所以.19、已知函数.（）求函数的单调区间；（）当时, 求函数在区间上的最大值.【答案】（）单调增区间为，单调减区间为;（）见解析.【解析】【试题分析】（）借助题设条件导数与函数的单调性之间的关系求解；（）先确定函数的极大值，再运用分类整合思想分析求解：（）由得，令，得，的情况如下表：+00+极大极小所以函数的单调区间为，单调减区间为.（）由可得.当即时，由（）可得在和上单调递增，在上单调递减，所以，函数在区间上的最大值为，又由（）可知，所以；当，即时，由（）可得在上单调递减，在上的最大值为.当，即

14、时，由（）可得在上单调递减，在上单调递增，所以，函数在区间上的最大值为，法1：因为，所以.法2：因为，所以由（）可知，所以，所以.法3：设，则，的在上的情况如下表：12+0极大所以，当时，所以，即所以 .综上讨论，可知：当时，函数在区间上的最大值为；当时，函数在区间上的最大值为.点睛：导数是解答与研究函数的性质及其极值最值的重要而有效工具。解答本题时先对函数进行求导，再借助题设条件及导数与函数的单调性之间的关系求出其单调区间；解答第二问时先确定函数的极大值得，再运用分类整合思想分析求解，最后分别求出其最大值和最小值从而使得问题获解。20、已知,分别是椭圆:的左、右焦点.（）求椭圆的方程；（）若

15、分别在直线和上，且.() 当为等腰三角形时,求的面积；() 求点, 到直线距离之和的最小值.【答案】（）;（）();().【解析】【试题分析】（）借助题设条件运用基本量之间的关系求解；（）依据题设建立直线的方程，后与椭圆方程联立，再建立目标函数，再运用基本不等式求最小值：（）由题意可得，所以，所以椭圆的方程为.（）由题意可设，因为，所以，即()因为，所以当为等腰三角形时，只能是，即，化简得由可得或所以.()直线，化简得，由点到直线的距离公式可得点, 到直线距离之和为因为点, 在直线的同一侧，所以因为，所以，所以当或时，点, 到直线距离之和取得最小值.点睛：椭圆是典型的圆锥曲线之一，也是高考重点考查的知识点与热点。这类问题的设置旨在考查椭圆的标准方程及其几何性质的综合运用。求解第一问题时，先借助题设条件运用基本量之间的关系求出参数的值使得问题获解；解答地二问时，先依据题设建立直线的方程，后与椭圆方程联立将两个距离表示成坐标的形式，再运用基本不等式求出最小值从而使得问题获解。 - 13 -