福建师范大学21春《常微分方程》离线作业1辅导答案68

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1、福建师范大学21春常微分方程离线作业1辅导答案1. 设函数,其中，求u的梯度；并指出在空间哪些点上成立等式|grad u|=1.设函数,其中，求u的梯度；并指出在空间哪些点上成立等式|grad u|=1. 因为, 同理. 所以. 又因为, 所以，使, 即球面(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=1上的点使|grad u|=1成立. 2. 怎样利用斯托克斯公式计算第二类曲线积分LPdx+Qdy+Rdz?怎样利用斯托克斯公式计算第二类曲线积分LPdx+Qdy+Rdz?一般说来，当所给的曲线积LPdx+Qdy+Rdz满足下列两个条件时，可考虑用斯托克斯公式进行计算 (1)积分曲线L为一平面与一曲

2、面的交线；(2)比较简单 3. 甲从2，4，6，8，10中任取一数，乙从1，3，5，7，9中任取一数，求甲取得的数大于乙取得的数的概率甲从2，4，6，8，10中任取一数，乙从1，3，5，7，9中任取一数，求甲取得的数大于乙取得的数的概率甲从2，4，6，8，10中任取一数，乙从1，3，5，7，9中任取一数各有5种取法，因此共有25种取法，即样本空间含基本事件总数为25；下求A=甲取得数大于乙取得数含基本事件数，当甲取10时，乙只能取1，3，5，7，9共5种取法；甲取8时，乙只能取1，3，5，7共4种取法，同理当甲取2，4，6时，乙分别只有1，2，3种取法，故A含基本事件数为：1+2+3+4+5=

3、15，因此 4. 函数定义的5个要素中，最重要的是掌握变量间的依存关系和定义域。( )A.正确B.错误参考答案：A5. 曲线y=lnx/x的渐近线为( )。A.y=0B.y=1C.x=0D.x=1参考答案：AC6. 设(，)的联合密度函数为 试求：设(，)的联合密度函数为试求：$因为Cov(，)0，所以与不独立 相关系数为 7. 设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则( ) A当f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数 B当f(x)是偶函数时，F设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则()A当f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数B当f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函

4、数C当f(x)是周期函数，F(x)必为周期函数D当f(x)是单调增函数，F(x)必为单调增函数8. 证明：若齐次线性微分方程组的每个解当t+时有界，则零解是稳定的。证明：若齐次线性微分方程组的每个解当t+时有界，则零解是稳定的。设是方程组的基解矩阵， 即 ， 于是方程组的所有解可表示成形式(C为任一常数矩阵)。由方程组的每个解有界知，不等式成立(M是一常数)。因此， 对，取，从不等式x(t0)=C有 x(t)MCM=， 故零解是稳定的 9. 在椭圆抛物面，zc的一段中，嵌入有最大体积的直角平行六面体，则该六面体的尺寸为长=_，宽=_，高=_在椭圆抛物面，zc的一段中，嵌入有最大体积的直角平行六

5、面体，则该六面体的尺寸为长=_，宽=_，高=_a$b$10. 如果函数g(x)在点x0处或f(u)在点u0处(其中u0=g(x0)不可导，那么复合函数fg(x)在x0处是否一定不可导？如果函数g(x)在点x0处或f(u)在点u0处(其中u0=g(x0)不可导，那么复合函数fg(x)在x0处是否一定不可导？不一定复合函数求导法则中关于函数g，f的条件是保证复合函数可导的充分条件，而不是必要条件，因此，函数g或f的可导性不满足时，复合函数仍有可能是可导的 例如：(1)g(x)=|x|在x=0处不可导，f (u)=u2在u=g(0)=0处可导，而f(g(x)=(|x|)2=x2在x=0处可导 (2)

6、g(x)=x2在x=0处可导，f(u)=|u|在u=g(0)=0处不可导，而f(g(x)=|x2|=x2在x=0处可导. (3)g(x)=x+|x|在x=0处不可导，f(u)=u-|u|在u=g(0)=0处也不可导，而f(g(x)=x+|x|-|x+|x|在x=0处可导 11. 利用夹逼准则，求(a0)利用夹逼准则，求(a0)当a1时，而(n)，由夹逼准则知. 当0a1时，而(n)，由夹逼准则知所以 12. 解方程组 试用平方根法和追赶法分别解之。解方程组试用平方根法和追赶法分别解之。(1)平方根法A=LLT , , , 所以 由，解得 由，解得 (2)追赶法此方程组系数阵是三对角阵，且满足对

7、角占优条件。 根据追赶法计算公式，有 2=a2=1,3=a3=1,1=b1=6, , 从而 解Ly=b ，得 解Ux=y ，得 13. 求平面2x-y+z-7=0和平面x+y+2z-11=0的夹角求平面2x-y+z-7=0和平面x+y+2z-11=0的夹角n1=2，-1，1)，n2=1，1，2)，14. 设函数f(x)=x+1，当0xA.跳跃间断点B.可去间断点C.连续但不可导点D.可导点参考答案：C15. 设X是度量空间，f：X证明f连续的充要条件是对每个a，集合xX：f(x)a与xX：f(x)a都是闭集设X是度量空间，f：X证明f连续的充要条件是对每个a，集合xX：f(x)a与xX：f(x

8、)a都是闭集证明方法1 必要性 设f连续，则 xX：f(x)a=f-1(a，)与 xX：f(x)a=f-1(-，a) 都是闭集的逆像，从而都是闭集 充分性 设X的度量拓扑为，上的通常拓扑为由题设有 f-1(-，a)=f-1(a，)c)=(f-1(a，)c f-1(a，)=f-1(-，ac)=(f-1(-，a)c 从而对c，d，cd，f-1(c，d)=f-1(c，)f-1(-，d)由于每个V是若干个形如(-，a)，(a，)，(c，d)类型的开区间之并，故对每个V，有f-1(V)因此f是连续的 方法2 令Ga=x：f(x)a，Ha=x：f(x)a 必要性 设xnGa，xnx0(n)，则f(xn)a

9、令n，由f连续得f(x0)a，故x0Ga这表明Ga是闭集同理可知Ha是闭集 充分性 假设f在某点x0X不连续，则00，n，xnX，(xn，x0)1/n，但f(xn)-f(x0)|0于是 xnx0(n)且 由是闭集得出x0，即f(x0)f(x0)+0与f(x0)f(x0)-0必有一个成立，这是矛盾的因此f在X上连续 16. 设en是内积空间X中的标准正交系，x，yX，证明设en是内积空间X中的标准正交系，x，yX，证明利用Cauchy-Schwarz即Bessel不等式可知 17. 在古典概型的概率计算中，把握等可能性是难点之一现见一例：掷两枚骰子，求事件A=点数之和等于5的概率下面在古典概型的

10、概率计算中，把握等可能性是难点之一现见一例：掷两枚骰子，求事件A=点数之和等于5的概率下面的解法是否正确?如不正确，错在哪里?解法：因试验可能结果只有两个，一是点数之和为5，另一个是点数之和不等于5，而事件A只含有其中的一种，因而此解法是错误的，这种解法是对样本空间进行了不正确的划分，分割出的两部分不是等可能的，因而不能据此进行计算 正确的解法如下：掷两枚骰子的样本空间可形象地表为=(i，j):i，j=1，2，6，数对(i，j)表示两枚骰子分别出现的点数，因而一个数对即对应着一个样本点，一共含有62=36个这样的数对，每个数对出现的可能性都等于，而事件A只含有(1，4)，(2，3)，(4，1)

11、，(3，2)这样四个数对，因而在几何概型的概率计算中，关键在于正确地刻画出事件A所对应的子区域SA在下例中找出SA是什么 例甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6h，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率 我们记该事件为A，甲、乙到达时间分别为x，y(单位：h)，则=(x，y)：0x24，0y24.为求SA，注意到，A发生当且仅当甲、乙到达时间之差不超过6h，即|x-y|6，因而 SA=(x，y)：0x24,0y24,|x-y|6,即图2.1中阴影部分区域，所以 18. 导数又可视为因变量的微分和自变量微分的商。( )A.正确B.错误参考答案：A1

12、9. 下列函数中，奇函数是( )。A.y=x5+sinxB.y=sinx+2cosxC.y=x2sinxD.y=x(x-1)(x+1)参考答案：ACD20. 设f(x)=lnx，给出如下数据，求f(0.6)的近似值。 xi 0.4 0.5 0.7 0.8 f(xi) -0.91629设f(x)=lnx，给出如下数据，求f(0.6)的近似值。xi0.40.50.70.8f(xi)-0.916291-0.693147-0.356675-0.223144 同理可计算, 准确值ln0.6=-0.5108256 余项 0.4,0.8 21. 下列关于导数的结论正确的是( )。A.两个函数的和的导数等于两

13、个函数导数的和B.两个函数的差的导数等于两个函数导数的差C.反函数的导数等于原来函数导数的倒数D.两个函数的积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数，再加上第一个函数乘以第二个函数的导数参考答案：ABCD22. f(x1，x2，x3)=3x12+4x22+5x32+4x1x24x2x2；f(x1，x2，x3)=3x12+4x22+5x32+4x1x24x2x2；正确答案：f(x1x2x3)的矩阵为因为A的顺序主子式为3都大于零所以这个二项型是正定的f(x1,x2,x3)的矩阵为因为A的顺序主子式为3,都大于零所以这个二项型是正定的23. (哈达玛不等式)设A=detaik为n级行列式，其中之

14、元素均为实数而合条件ak12+ak22+akn2=1，(k=1，2，n). 则(哈达玛不等式)设A=detaik为n级行列式，其中之元素均为实数而合条件ak12+ak22+akn2=1，(k=1，2，n).则必|A|1证明要应用拉格朗日乘数法来证显然本题中的辅助方程(条件方程)为 k=ak12+ak22+akn2-1=0，(k=1，2，n) 以k表乘数，置 于是从方程 得等式Ajk+jajk=0其中Ajk为A中之ajk元素所对应的子行列式 于等式两端乘以ajk并对k=1，2，n而求和，则得 A+j=0，(j=1，2，n)因之，j=-A亦即Ajk=Aajk，(j，k=1，2，n)故得出 ，亦即A

15、n-1=An+1由于A的极大极小值必须合于上列方程，故不难推知A的极大值为+1，极小值为-1因此|A|1 24. 单叶双曲面，过点(1，0，0)的所有直母线方程为_。单叶双曲面，过点(1，0，0)的所有直母线方程为_。和25. 设f(x)在a，+)上连续且取得正值和负值，又，则f(x)在a，+)上必取得最大值和最小值设f(x)在a，+)上连续且取得正值和负值，又，则f(x)在a，+)上必取得最大值和最小值证 由假设，f(x)在a，+)上取得正值，故有x0a，+)，f(x0)0.由于，故对=f(x0)0，当xX时，有 显然x0a，X.由于f(x)在a，X上连续，故f(x)在a，X上必取得最大值M

16、，且Mf(x0)而当xX时，f(x)f(x0)M.因此M=maxf(x)|xa，+)这就证明了f(x)在a，+)上必取得最大值 类似地，可以证明f(x)在a，+)上必取得最小值. 26. 下列说法不正确的是( )。A.无穷小的和仍为无穷小B.无穷大的和仍为无穷大C.有界函数与无穷大的乘积仍为无穷大D.收敛数列必有界参考答案：ABC27. 多元复合函数的求导法则，因复合情形不同，求导公式形式各异，怎样才能正确掌握其求导法则?多元复合函数的求导法则，因复合情形不同，求导公式形式各异，怎样才能正确掌握其求导法则?多元复合函数的求导法则，虽然因复合情形不同，造成求导形式各异，但其本质特征是一致的掌握了

17、求导公式的本质特征，就能正确地运用于各种情形下面以含2个中间变量、2个自变量的复合函数的求导法则为例，来分析它的本质特征 设 u=(x，y)，v=(x，y)，z=f(u，v)，复合函数z=f(x，y)，(x，y)有偏导数 ， 对这一求导法则，我们简称为22法则或标准法则，从这标准法则的公式结构，可得它的特征如下： (1)由于函数z=f(x，y)，(x，y)有两个自变量，所以法则中包含与共两个偏导数公式； (2)由于函数的复合结构中有两个中问变量，所以每一偏导数公式都是两项之和这两项分别含有 (3)每一项的构成与一元复合函数的求导法则类似，即“因变量对中间变量的导数再乘以中间变量对自变量的导数”

18、 由此可见，掌握多元复合函数的求导法则的关键是弄清函数的复合结构，哪些是中间变量，哪些是自变量为直观地显示变量之间的复合结构，我们可用结构图(也称树形图)图来表示出因变量z经过中间变量u，v再通向自变量x，y的各条途径 按照上述标准法则的三个特征，我们可以将多元复合函数的求导法则推广到m个中间变量n个自变量的情形(如图)： 设函数z=f(u1，u2，um)具有连续偏导数，而ui=i(x1，x2，x3)(i=12，m)可偏导，则复合函数z=f1(x1，x2，xn)，m(x1，x2，xn)具有偏导数，且 28. 设有一代数系统(I，*)满足封闭性，其中l为整数集，运算“*”定义为：对于任意的abI

19、，a*b=a+b-5证明(I，*)是群设有一代数系统(I，*)满足封闭性，其中l为整数集，运算“*”定义为：对于任意的abI，a*b=a+b-5证明(I，*)是群证明 (1)(a*b)*c=(a+b-5)*c =a+b-5+c-5=a+b+c-10， a*(b*c)=a*(b+c-5) =a+b+c-5-5 =a+b+c-10 满足结合律 (2)根据单位元素的定义有： a*e=e*a=aa+e-5e=5单位元素为5 (3)找逆元素a-1： a*a-1=a-1*a=ea+a-1-5=5a-1=10-a 故存在逆元素 由(1)(3)得：(I，*)是群本题对“*”赋予具体的含义，证明时要找出符合本题

20、的结合律、单位元素、逆元素(不是抽象的证明) 29. 设有n元二次型f(x1，x2，xn)=(x1+x1x2)2+(x2+a2x3)2+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2，其中ai(i=1，2，n)为实数设有n元二次型f(x1，x2，xn)=(x1+x1x2)2+(x2+a2x3)2+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2，其中ai(i=1，2，n)为实数.试问：当a1，a2，an满足何种条件时，二次型f为正定二次型?解法1 由f的定义知，对任意的x1，x2，xn，有f(x1，x2，xn)0，其中等号成立当且仅当 齐次线性方程组(5-20)仅有零解的充分必要条件是其

21、系数行列式不为零，即 所以当1+(-1)n+1a1a2an0时，对于任意不全为零的x1，x2，xn，都有f(x1，x2，xn)0，即当1+(-1)n+1a1a2an0时，二次型f为正定二次型. 解法2 令矩阵 当|C|=1+(-1)n+1a1a2an0时，C为满秩矩阵，因此通过满秩线性变换 即 就可将f化成规范形 可见f的正惯性指数为n，故f为正定的.所以当1+(-1)n+1a1a2an0时，f为正定二次型.读者试利用反证法说明：1+(-1)n+1a1a2an0也是二次型f正定的必要条件. 30. 设A是n阶矩阵(n2)，求证：detA*=(detA)n-1设A是n阶矩阵(n2)，求证：det

22、A*=(detA)n-1因为AA*=|A|E， (1) 若|A|=0，则|A*|=0(反证) 若|A*|0，则A*-1可逆，用(A*)-1右乘式的两边，得A=|A|(A*)-1=0，从而A的n-1阶代数余子式都为0，故A*=0，与|A*|0矛盾，所以当|A|=0时，|A*|=0 则|A*|=|A|n-1显然成立 (2) 当|A|0时，在式的两边取行列式，得 |A|A*|=|A|E|=|A|n 则|A*|=|A|n-1 31. 求两平行平面1：3x2y6z35=0；2：3x2y6z56=0之间的距离求两平行平面1：3x+2y+6z-35=0；2：3x+2y+6z-56=0之间的距离32. 若f(

23、x)=x*ex，则f&39;&39;(0)=2。( )A.错误B.正确参考答案：B33. 有两台用来充装净容量为16.0(盎司)的塑料瓶的机器充装过程假定为正态的，其标准差为1=0.015和2=0.018质有两台用来充装净容量为16.0(盎司)的塑料瓶的机器充装过程假定为正态的，其标准差为1=0.015和2=0.018质量管理部门怀疑那两台机器是否充装同样的16.0盎司净容量从机器的产品中各取一个随机样本机器1：16.0316.0416.0516.0516.0216.0115.9615.9816.0215.99机器2：16.02 15.9715.9616.0115.99 16.03 16.04

24、 16.02 16.0116.00在显著水平=0.05下，质量管理部门的怀疑是正确的吗?34. 函数x=xy(1-x-y)的极值点是_ (A)(0，0) (B)(0，1) (C)(1，0) (D)(，)函数x=xy(1-x-y)的极值点是_(A)(0，0)(B)(0，1)(C)(1，0)(D)(，)D因为=y(1-2x-y)，=x(1-x-2y) 令，即 解得：， 又因为 ， 当(x，y)=(0，0)时，A=0，B=1，C=0，B2-AC=10，所以，点(0，0)不是极值点 当(x，y)=(0，1)时，A=-2，B=-1，C=0，B2-AC=10，所以，点(0，1)不是极值点 当(x，y)=(

25、1，0)时，A=0，B=-1，C=-2，B2-AC=10，所以点(1，0)不是极值点， 当(x，y)=(，)时，A=-，B=-，C=-，B2-AC=-0且A0，所以，点(，)是函数的极大值点 故应选(D). 35. 举例说明：若级数，对每个固定的p满足条件 此级数仍可能不收敛。举例说明：若级数，对每个固定的p满足条件此级数仍可能不收敛。调和级数对每一个固定自然数p，有 但该级数是发散的 36. 以下两种陈述有何差别? (1)A1，An有一个发生； (2)A1，An恰有一个发生以下两种陈述有何差别?(1)A1，An有一个发生；(2)A1，An恰有一个发生在陈述(1)，(2)中都包含了A1，An只

26、发生一个的情况但在陈述(2)排除了A1，An中有2个或2个以上同时发生的情况，而对陈述(1)并未将这些情况排除在外，事实上我们可表述如下： A1，An有一个发生=A1An， 37. 向量组1，2，s的秩为r，当每个向量都可以由其中某r个向量线性表出，则这r个向量即为一极大无关组. 若向量向量组1，2，s的秩为r，当每个向量都可以由其中某r个向量线性表出，则这r个向量即为一极大无关组.若向量组1，2，s的秩为r，且其中有一个向量可以由其中某r个向量线性表出，则这r个向量即为一极大无关组？例 设1=(11,13,15),2=(22,26,30),3=(1,1,0),4=(2,0,0),5=(5，5

27、，0)，可知r(1，2，3，4，5)=3，且1可以由2，3，5线性表出，但2，3，5不为极大无关组38. 当x0时，与x相比是( ) A高阶无穷小 B低阶无穷小 C等价无穷小当x0时，与x相比是()A高阶无穷小B低阶无穷小C等价无穷小C当x0时，是等价无穷小，可知选C39. 在编制统计表时，若某项指标数据不详，用_表示。在编制统计表时，若某项指标数据不详，用_表示。空格40. 曲线y=x5+5x3-x-2的拐点为_曲线y=x5+5x3-x-2的拐点为_(0，-2)41. 设cabba，且a，b，c都为非零向量，证明：c平分a与b的夹角设cabba，且a，b，c都为非零向量，证明：c平分a与b的

28、夹角正确答案：aca(ab)b(aa)a(ab)bca(bb)b(ba)b(ba)42. 有限多个函数的线性组合的不定积分等于他们不定积分的线性组合。( )A.正确B.错误参考答案：A43. 参数的区间估计与参数的假设检验法都是统计推断的重要内容，它们之间的关系是( ) A没有任何相似之处 B参数的区间估计与参数的假设检验法都是统计推断的重要内容，它们之间的关系是()A没有任何相似之处B假设检验法隐含了区间估计法C区间估计法隐含了假设检验法D两种方法虽然提法不同，但解决问题的途径是相同的D44. 设f(x)，g(x)在0，1上的导数连续，且f(0)=0，f(x)0，g(x)0,证明：对任何a0

29、，1有设f(x)，g(x)在0，1上的导数连续，且f(0)=0，f(x)0，g(x)0,证明：对任何a0，1有证法1设 则F(x)在0，1上可导，并且 F(x)=g(x)f(x)-f(x)g(1)=f(x)g(x)-g(1) 由于x0，1时，f(x)0，g(x)0，表明g(x)在0，1上广义单调增加，所以F(x)0，即F(x)在0，1上广义单调减少 注意到 而故F(1)=0 因此，x0，1时，F(x)0,由此可得对任何a0，1，有 证法2 因为所以 又由于x0，1时，f(x)0，所以f(x)在0，1上广义单调增加，则有f(x)f(a)，对于任意xa，1 又由题设，当x0，1时，有g(x)0，所

30、以 f(x)g(x)f(a)g(x)，xa,1于是 从而 注 在证法2中，证明“”时用到了f(x)的单增性和积分性质,在这一步骤中，可以用积分中值定理，具体证明如下： 由积分中值定理知，存在a，1，使 一般来说，有关定积分的等式或不等式的证明，可将某一积分上限换成x，从而将问题转化为一个有关函数的等式或不等式问题，再通过研究该函数的性态来达到证明的目的，如果用该思路来证明本问题，可考查考生对定积分变上限函数的导数的理解和计算以及利用导数判断函数单调性的掌握，另外，通过对不等式左边的两个被积函数形式的考察，可以想到用定积分的分部积分法来变形，所以本题一般可用以下两种方法证明 45. Z2上周期为

31、7的拟完美序列a=1001011的递推关系式是A、ak3=ak1akB、ak2=ak1akC、ak2=ak1aZ2上周期为7的拟完美序列a=1001011的递推关系式是A、ak+3=ak+1-akB、ak+2=ak+1-akC、ak+2=ak+1+akD、ak+3=ak+1+ak正确答案： D46. 设随机变量X的数学期望E(X)=2，方差D(X)=4，则E(X2)=_设随机变量X的数学期望E(X)=2，方差D(X)=4，则E(X2)=_847. 对一个函数先求不定积分再求微分，两者的作用抵消后只差一个常数。( )A.正确B.错误参考答案：B48. 设e1，e2，en是n维欧氏空间V的一个基.

32、证明：如果对于V中任意两个向量=a1e1+a2e2+anen，=b1e1+b2e2+bnen设e1，e2，en是n维欧氏空间V的一个基.证明：如果对于V中任意两个向量=a1e1+a2e2+anen，=b1e1+b2e2+bnen，都有，=a1b1+a2b2+anbn(6-23)则e1，e2，en是V的一个标准正交基.证 因为 ei=0e1+0ei-1+ei+0ei+1+0en (i=1，2，n). 故由题设条件(6-23)式，就有 这就是说e1，e2，en是V中的正交单位向量组，因而是V的一个标准正交基.本题连同定理6.10的(2) 说明：欧氏空间的基e1，e2，en为标准正交基对于V中任意向

33、量，都有. 49. 设f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0是实系数多项式，n2，且某个ak=0(1kn-1)，及当ik时，ai0。证明：若f(x)有n个设f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0是实系数多项式，n2，且某个ak=0(1kn-1)，及当ik时，ai0。证明：若f(x)有n个相异的实根，则ak-1ak+10证法1 由罗尔定理可知，在可导函数的两个零点之间，其导数在某点为零,因此，如果f(k-1)(x)有n-k+1个相异的零点，则f(k)(x)有n-k个零点，且f(k)(x)的零点位于f(k-1)(x)的每两个相邻零点之间 由于f(x)=anxn+a1x+a0

34、，则 f(k-1)(x)=C0+C1x+C2x2+Cn-k+1xn-k+1其中C0=(k11)!ak-1,C1=k！ak=0, 假设ak-1,ak+1同号，不妨设ak-10，ak+10，则f(k-1)(x)在点x=0的左方某邻域内单调减少；在点x=0的右方某邻域内单调增加,而f(k)(0)=0，可知f(k-1)(0)=C00为f(k-1)(x)的极小值 若f(k)(x)无其他零点，则对任意x0，应有f(k-1)(x)f(k-1)(0)=C00，因此f(k-1)(x)也没有零点，矛盾 若x0是f(k)(x)与x=0相邻的零点，则在x=0与x0之间有f(k-1)(x)C00，这与f(k-1)(x)

35、在0与x0为端点的区间内存在零点矛盾 从而可知ak-1ak+10 证法2 由于 f(k-1)(x)=C0+C1x+C2x2+Cn-k+1xn-k+1其中C0=(k-1)!ak-10,C1=k！ak=0， f(k-1)(x)有n-k+1个互异的零点，设为x1x2xn-k+1， 由于C00，可见 x1x2xn-k+10则多项式 (x)=Cn-k+1+Cn-kx+C2xn-k-1+C1xn-k+C0xn-k+1有互异的零点由罗尔定理可知 有不相等的二实根但C1=0，因此 即 ak-1ak+10由前面几题可以发现，讨论方程根的存在性，常常利用函数的单调性、函数的极值、闭区间上连续函数的介值定理、罗尔定

36、理以及综合运用上述性质 50. 如果函数f(x，y)在点P0(x0，y0)沿各方向的方向导数都存在，那么能否断定f(x，y)在点P0连续？如果函数f(x，y)在点P0(x0，y0)沿各方向的方向导数都存在，那么能否断定f(x，y)在点P0连续？不能例如，函数 在点(0，0)处沿任一方向el=(cos，cos)的方向导数都存在，且 当cos0时， 当cos=0时， 而，故f(x，y)在点(0，0)处不连续 反过来，由函数在一点处的连续性也不能推出函数在该点沿各方向的方向导数均存在，例如，问题2中提到的函数在(0，0)处连续，但它沿方向l：el=(cos，cos(coscos0)的方向导数并不存在.