福建省三明一中高三上学期第一次月考数学理试题解析版

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1、2015-2016学年福建省三明一中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）2015-2016学年福建省三明一中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）及解析一、选择题：（60分）1设集合A=x|0x3，B=x|x23x+20，xZ，则AB等于( )A（1，3）B1，2C0，1，2D1，2【考点】交集及其运算 【专题】计算题【分析】求解一元二次不等式，结合xZ化简集合B，然后直接利用交集运算求解【解答】解：由集合A=x|0x3，B=x|x23x+20，xZ=x|1x2，xZ=1，2，则AB=x|0x31，2=1，2故选：D【点评】本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题2下列结论正

2、确的是( )A命题“若x23x4=0，则x=4”的逆否命题为“若x4，则x23x4=0”B“x=4”是“x23x4=0”的充分不必要条件C已知命题p“若m0，则方程x2+xm=0有实根”，则命题p的否定p为真命题D命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2=0，则m0或n0”【考点】命题的真假判断与应用 【专题】简易逻辑【分析】A：写出命题“若x23x4=0，则x=4”的逆否命题，可判断A的真假；B：利用充分必要条件的概念可判断“x=4”是“x23x4=0”的充分不必要条件，可判断B正确；C：m0时，=1+4m0，方程x2+xm=0有实根，可判断命题p正确，从而可知命题

3、p的否定p为假命题，可判断C错误；D：写出命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题为“若m2+n20则m0或n0”，可判断D错误【解答】解：A：命题“若x23x4=0，则x=4”的逆否命题为“若x4，则x23x40”，故A错误；B：“x=4”“x23x4=0”，充分性成立；反之，“x23x4=0”“x=4或x=1”，必要性不成立，故B正确；C：因为，m0时，=1+4m0，故方程x2+xm=0有实根，即命题p正确，则命题p的否定p为假命题，故C错误；D：命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n20，则m0或n0”，故D错误故选：B【点评】本题考查命题的真假判断与

4、应用，着重考查四种命题之间的关系及其真假判断，考查充分必要条件的理解与应用，属于中档题3在边长为2的菱形ABCD中，BAD=120，则在方向上的投影为( )ABC1D2【考点】平面向量数量积的含义与物理意义 【专题】平面向量及应用【分析】根据条件可判断ABC为正三角形，利用投影为公式计算【解答】解：在边长为2的菱形ABCD中，BAD=120，B=60，ABC为正三角形，=22cos60=2在方向上的投影为=1，故选：C【点评】本题考查了平面向量的数量积的运算，及应用，属于容易题4非零向量使得成立的一个充分非必要条件是( )ABCD【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【专题】平面向量及应

5、用【分析】可先求出非零向量使得成立的充要条件，进而即可得出答案【解答】解：非零向量使得成立，展开化为，因此非零向量使得成立的充要条件是，即与异向共线故非零向量使得成立的一个充分非必要条件是故选B【点评】熟练求出非零向量使得成立的充要条件是解题的关键5设不共线，若A，B，D三点共线，则实数p的值是( )A2B1C1D2【考点】平行向量与共线向量 【专题】平面向量及应用【分析】根据三点共线，转化为向量共线，建立方程条件即可得到结论【解答】解：，=，A，B，D三点共线，即，解得，实数p的值是1，故选：B【点评】本题主要考查三点共线的应用，将条件转化为向量共线是解决本题的关键6设曲线y=在点（3，2）

6、处的切线与直线ax+y+3=0垂直，则a=( )A2B2CD【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【专题】导数的综合应用【分析】先求出导函数y，再由两直线垂直时斜率之积为1，列出方程求出a的值【解答】解：由题意得，y=，在点（3，2）处的切线与直线ax+y+3=0垂直，=，解得a=2，故选B【点评】本题考查了导数的几何意义，即一点处的切线斜率是该点出的导数值，以及直线相互垂直的等价条件应用7下列不等式一定成立的是( )Alg（x2+）lgx（x0）Bsinx+2（xkx，kZ）Cx2+12|x|（xR）D（xR）【考点】不等式比较大小 【专题】探究型【分析】由题意，可对四个选项逐一验证，其中

7、C选项用配方法验证，A，B，D三个选项代入特殊值排除即可【解答】解：A选项不成立，当x=时，不等式两边相等；B选项不成立，这是因为正弦值可以是负的，故不一定能得出sinx+2；C选项是正确的，这是因为x2+12|x|（xR）（|x|1）20；D选项不正确，令x=0，则不等式左右两边都为1，不等式不成立综上，C选项是正确的故选：C【点评】本题考查不等式大小的比较，不等式大小比较是高考中的常考题，类型较多，根据题设选择比较的方法是解题的关键8已知函数f（x）的导函数为f（x），且满足f（x）=2xf（1）+lnx，则f（1）=( )AeB1C1De【考点】导数的乘法与除法法则；导数的加法与减法法则

8、 【专题】计算题【分析】已知函数f（x）的导函数为f（x），利用求导公式对f（x）进行求导，再把x=1代入，即可求解；【解答】解：函数f（x）的导函数为f（x），且满足f（x）=2xf（1）+ln x，（x0）f（x）=2f（1）+，把x=1代入f（x）可得f（1）=2f（1）+1，解得f（1）=1，故选B；【点评】此题主要考查导数的加法与减法的法则，解决此题的关键是对f（x）进行正确求导，把f（1）看成一个常数，就比较简单了；9已知变量x，y满足约束条件，若目标函数z=yax仅在点（3，0）处取到最大值，则实数a的取值范围为( )A（3，5）B（，+）C（1，2）D（，1）【考点】简单线性规

9、划 【专题】不等式的解法及应用【分析】根据已知的约束条件 画出满足约束条件的可行域，再用图象判断，求出目标函数的最大值【解答】解：画出可行域如图所示，其中A（3，0），C（0，1）若目标函数z=yax仅在点（3，0）取得最大值，由图知，直线z=ax+y的斜率大于直线x2y+3=0的斜率，即a故选B【点评】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想10f（x）=+log2x的一个零点落在下列哪个区间( )A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）【考点】函数零点的判定定理 【专题】计算题【分析】根据函数的实根存在定理，

10、要验证函数的零点的位置，只要求出函数在区间的两个端点上的函数值，得到结果【解答】解：根据函数的实根存在定理得到f（1）f（2）0故选B【点评】本题考查函数零点的判定定理，本题解题的关键是做出区间的两个端点的函数值，本题是一个基础题11设f（x）=lg（+a）是奇函数，且在x=0处有意义，则该函数是( )A（，+）上的减函数B（，+）上的增函数C（1，1）上的减函数D（1，1）上的增函数【考点】复合函数的单调性；函数奇偶性的性质 【专题】函数的性质及应用【分析】由f（0）=0，求得a的值，可得f（x）=lg（），由此求得函数f（x）的定义域再根据f（x）=lg（1），以及t=1在（1，1）上是增

11、函数，可得结论【解答】解：由于f（x）=lg（+a）是奇函数，且在x=0处有意义，故有f（0）=0，即 lg（2+a）=0，解得 a=1故f（x）=lg（1）=lg（）令 0，求得1x1，故函数f（x）的定义域为（1，1）再根据f（x）=lg（）=lg（1），函数t=1在（1，1）上是增函数，可得函数f（x）在（1，1）上是增函数，故选 D【点评】本题主要考查函数的奇偶性，复合函数的单调性，属于中档题12函数y=，x（，0）（0，）的图象可能是下列图象中的( )ABCD【考点】函数的图象 【专题】数形结合【分析】根据三角函数图象及其性质，利用排除法即可【解答】解：是偶函数，排除A，当x=2时，

12、排除C，当时，排除B、C，故选D【点评】本题考查了三角函数的图象问题，注意利用函数图象的奇偶性及特殊点来判断二、填空题：共20分.13已知函数f（x）=则ff（）=【考点】函数的值 【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】由函数f（x）=，知f（）=ln=1，由此能求出ff（）的值【解答】解：函数f（x）=，f（）=ln=1，ff（）=f（1）=e1=故答案为：【点评】本题考查分段函数的函数值的求法，是基础题解题时要认真审题，仔细解答14函数y=a1x（a0，a1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny1=0（mn0）上，则的最小值为4【考点】基本不等式；指数函数的图像与性质 【专题】计算题

13、；压轴题；转化思想【分析】最值问题长利用均值不等式求解，适时应用“1”的代换是解本题的关键函数y=a1x（a0，a1）的图象恒过定点A，知A（1，1），点A在直线mx+ny1=0上，得m+n=1又mn0，m0，n0，下用1的变换构造出可以用基本不等式求最值的形式求最值【解答】解：由已知定点A坐标为（1，1），由点A在直线mx+ny1=0上，m+n=1，又mn0，m0，n0，=（）（m+n）=2+2+2=4，当且仅当两数相等时取等号故答案为4【点评】均值不等式是不等式问题中的确重要公式，应用十分广泛在应用过程中，学生常忽视“等号成立条件”，特别是对“一正、二定、三相等”这一原则应有很好的掌握当均

14、值不等式中等号不成立时，常利用函数单调性求最值也可将已知条件适当变形，再利用均值不等式，使得等号成立有时也可利用柯西不等式以确保等号成立，取得最值15同学们经过市场调查，得出了某种商品在2014年的价格y（单位：元）与时间t（单位：月的函数关系为：y=2+（1t12），则10月份该商品价格上涨的速度是3元/月【考点】根据实际问题选择函数类型 【专题】计算题；导数的综合应用【分析】根据导数的几何意义，求出函数的导数即可得到结论【解答】解：y=2+（1t12），函数的导数y=（2+）=（）=，由导数的几何意义可知10月份该商品价格上涨的速度为=3，故答案为：3【点评】本题主要考查导数的计算，求出函

15、数的导数是解决本题的关键16已知函数f（x）=，且关于x的方程f（x）+xa=0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是（1，+）【考点】函数的零点 【分析】由f（x）+xa=0得f（x）=x+a，作出函数f（x）和y=x+a的图象，由数形结合即可得到结论【解答】解：由f（x）+xa=0得f（x）=x+a，f（x）=，作出函数f（x）和y=x+a的图象，则由图象可知，要使方程f（x）+xa=0有且只有一个实根，则a1，故答案为：（1，+）【点评】本题主要考查方程根的个数的应用，利用方程和函数之间的关系转化为两个图象的交点个数问题是解决本题的关键利用数形结合的数学思想三、解答题：共70分.17已知

16、，是夹角为60的单位向量，且，（1）求；（2）求的夹角【考点】平面向量数量积的运算；平面向量数量积的性质及其运算律；数量积表示两个向量的夹角 【专题】计算题【分析】（1）按照向量数量积的定义和运算法则求解即可（2）利用向量数量积公式变形，求出的夹角余弦值，再求出夹角【解答】解：（1）求=6+11cos60+2=（2）=同样地求得=所以cos=，又0，所以=【点评】本题考查向量数量积的计算、向量夹角、向量的模均属于向量的基础知识和基本运算18已知a0，设命题p：函数 y=logax 在R上单调递增； 命题q：不等式ax2ax+10对xR恒成立若p且q为假，p或q为真，求a的取值范围【考点】复合命

17、题的真假 【专题】简易逻辑【分析】对于命题p：利用指数函数单调性可得：a1对于命题q：a=0（舍去），或a0且0由“pq”为假，“pq”为真，可得p、q中必有一真一假【解答】解：对于命题p：函数y=ax在R上单调递增，a1对于命题q：不等式ax2ax+10对xR恒成立，a=0（舍去），或a0且=a24a0，解得0a40a4“pq”为假，“pq”为真，p、q中必有一真一假 当p真，q假时，得a4当p假，q真时，得0a1故a的取值范围为（0，14，+）【点评】本题考查了复合命题真假的判定方法、指数函数的单调性、一元二次不等式的解集与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19记函数f（x

18、）=的定义域为A，g（x）=lg（xa1）（2ax）（a1）的定义域为B（1）求A；（2）若BA，求实数a的取值范围【考点】函数的定义域及其求法；集合的包含关系判断及应用；对数函数的定义域 【专题】综合题【分析】（1）令被开方数大于等于零，列出不等式进行求解，最后需要用集合或区间的形式表示出来；（2）先根据真数大于零，求出函数g（x）的定义域，再由BA和a1求出a的范围【解答】解：（1）由20，得0，解得，x1或x1，即A=（，1）1，+），（2）由（xa1）（2ax）0，得（xa1）（x2a）0，a1，a+12aB=（2a，a+1），BA，2a1或a+11，即a或a2，a1，a1或a2，故当

19、BA时，实数a的取值范围是（，2，1）【点评】本题是有关集合和函数的综合题，涉及了集合子集的运算，函数定义域求法的法则，如：被开方数大于等于零、对数的真数大于零、分母不为零等等20已知向量=（x，a3），=（x，x+a）f（x）=，且m，n是方程f（x）=0的两个实根（1）求实数a的取值范围；（2）设g（a）=m3+n3+a3，求g（a）的最小值【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的最值及其几何意义；函数的零点；平面向量数量积的运算 【专题】综合题；导数的概念及应用；平面向量及应用【分析】（1）利用向量的数量积运算和一元二次方程实数根与的关系即可得出；（2）利用根与系数的关系，g（a

20、）转化为关于a的函数，利用导数研究函数的单调性即可得出【解答】解：（1）由题意知：f（x）=x2+（a3）x+a23a，m、n是方程f（x）=0的两个实根，=（a3）24（a23a）0，1a3（2）由题意知：m+n=3a，mn=a23a，g（a）=m3+n3+a3=（m+n）（m+n）23mn+a3=（3a）（3a）23（a23a）+a3=3a39a2+27，a1，3，故g（a）=9a218a，令g（a）=0，a=0或a=2，从而在1，0），（2，3上g（a）0，g（a）为增函数，在（0，2）上g（a）0，g（a）为减函数，a=2为极小值点，g（2）=15，又g（1）=15g（a）的最小值为1

21、5【点评】熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、一次函数的单调性、一元二次方程的解集与根与系数的关系是解题的关键21f（x）=xa（x+1）ln（x+1）（）求f（x）的极值点；（）当a=1时，若方程f（x）=t在，1上有两个实数解，求实数t的取值范围；（）证明：当mn0时，（1+m）n（1+n）m【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值 【专题】导数的综合应用【分析】（）f（x）=1aln（x+1）a，由此利用分类讨论思想和导数性质能求出函数的极值点（）由（）知，f（x）在，0上单调递增，在0，1上单调递减，由此能求出实数t的取值范围（）要证（1+m）n（1+n）

22、m，只须证：，设g（x）=，利用导数性质能证明当mn0时，（1+m）n（1+n）m【解答】（）解：f（x）=1aln（x+1）aa=0时，f（x）0，f（x）在（1，+）上是增函数，函数既无极大值点，也无极小值点当a0时，f（x）在（1，上递增，在，+）单调递减，函数的极大值点为1，无极小值点当a0时，f（x）在（1，上递减，在，+）单调递增，函数的极小值点为1，无极大值点（）解：由（）知，f（x）在，0上单调递增，在0，1上单调递减，又f（0）=0，f（1）=1ln4，f（）=，f（1）f（）0，当t，0）时，方程f（x）=t有两解（）证明：要证（1+m）n（1+n）m，只须证明nln（1+

23、n）mln（1+n），只须证：，设g（x）=，则=，由（1）知x（1+x）ln（1+x）在（0，+）单调递减，x（1+x）ln（1+x）0，即g（x）是减函数，而mn，g（m）g（n），当mn0时，（1+m）n（1+n）m【点评】本题重点考查利用导数研究函数的性质，利用函数的性质解决不等式、方程问题重点考查学生的代数推理论证能力，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用请修改新增的标题22已知函数f（x）是（，+）上的奇函数，且f（x）的图象关于x=1对称，当x0，1时，f（x）=2x1，（1）当x1，2时，求f（x）的解析式；（2）计算f（0）+f（1）+f（2）+f的值【考点】函数解析式的

24、求解及常用方法 【专题】函数的性质及应用【分析】（1）根据函数的对称性，即可求出当x1，2时的f（x）的解析式；（2）（根据函数的对称性和函数的奇偶性即可得到f（x）是周期函数，根据函数的周期性先计算f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=0，然后可得f（0）+f（1）+f（2）+f的值【解答】解：（1）f（x）的图象关于x=1对称，f（1+x）=f（1x），即f（x）=f（2x）当x1，2时，2x0，1，当x0，1时，f（x）=2x1f（x）=f（2x）=22x1，x1，2（2）f（x）的图象关于x=1对称，f（1+x）=f（1x），f（x）是R上的奇函数，f（1+x）=f（1x）=f（x1），即f（2+x）=f（x），f（x+4）=f（x+2）=f（x），即f（x）是周期为4的周期函数；当x0，1时，f（x）=2x1f（0）=0，f（1）=21=1，f（2）=f（0）=0，f（3）=f（1）=f（1）=1，f（4）=f（0）=0，f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=0，即f（0）+f（1）+f（2）+f=5040=0【点评】本题考查的知识点是函数的值，奇函数，函数的周期性，其中根据已知条件求出函数是为4的周期函数，是解答本题的关键