函数恒成立存在性问题1

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1、word函数恒成立存在性问题知识点归纳梳理1、恒成立问题的转化：恒成立；2、能成立问题的转化：能成立；3、恰成立问题的转化：在M上恰成立的解集为M另一转化方法：假设在D上恰成立，等价于在D上的最小值，假设在D上恰成立，如此等价于在D上的最大值.4、 设函数、，对任意的，存在，使得，如此5、设函数、，对任意的，存在，使得，如此6、设函数、，存在，存在，使得，如此7、设函数、，存在，存在，使得，如此8、假设不等式在区间D上恒成立，如此等价于在区间D上函数和图象在函数图象上方；9、假设不等式在区间D上恒成立，如此等价于在区间D上函数和图象在函数图象下方；例题讲解：题型一、常见方法1、函数，其中，1对

2、任意，都有恒成立，数的取值围；2对任意，都有恒成立，数的取值围；2、设函数，对任意，都有在恒成立，数的取值围3、两函数，对任意，存在，使得，如此实数m的取值围为题型二、主参换位法(某个参数的围，整理成关于这个参数的函数)1、对于满足的所有实数p,求使不等式恒成立的x的取值围。2、函数是实数集上的奇函数，函数是区间上的减函数，()求的值；()假设上恒成立，求的取值围；题型三、别离参数法欲求某个参数的围，就把这个参数别离出来1、当时，不等式恒成立，如此的取值围是 .题型四、数形结合恒成立问题与二次函数联系零点、根的分布法1、假设对任意,不等式恒成立，如此实数的取值围是_2、函数，在恒有，数的取值围

3、。题型五、不等式能成立问题有解、存在性的处理方法： 方法： 假设在区间D上存在实数使不等式成立,如此等价于在区间D上；假设在区间D上存在实数使不等式成立,如此等价于在区间D上的.1、存在实数，使得不等式有解，如此实数的取值围为_。2、函数存在单调递减区间，求的取值围恒成立与有解的区别：恒成立和有解是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转化，切不可混为一体。不等式对时恒成立，。即的上界小于或等于；不等式对时有解，。 或的下界小于或等于；不等式对时恒成立，。即的下界大于或等于；不等式对时有解，.。 或的上界大于或等于；课后作业：1、设，假设对于任意的，都有满足方程，这时的

4、取值集合为 A B C D2、假设任意满足的实数，不等式恒成立，如此实数的最大值是 _ .3、不等式有解，如此的取值围是4、不等式在恒成立，数a的取值围。5、两函数，。1对任意，都有)成立，数的取值围；2存在，使成立，数的取值围；3对任意，都有，数的取值围；4存在，都有，数的取值围；6、设函数.求函数的单调区间和极值；假设对任意的不等式成立，求a的取值围。7、A、B、C是直线上的三点，向量，满足：.1求函数yf(x)的表达式；2假设x0，证明：f(x)；3假设不等式时，与都恒成立，数m的取值围8、设，且e为自然对数的底数(I)求 p 与 q 的关系；(II)假设在其定义域为单调函数，求 p 的

5、取值围；(III)设，假设在上至少存在一点，使得成立, 数 p 的取值围.参考答案：题型一、常见方法。1、分析：1思路、等价转化为函数恒成立，在通过别离变量，创设新函数求最值解决 2思路、对在不同区间的两个函数和分别求最值，即只需满足即可简解：1由成立，只需满足的最小值大于即可对求导，故在是增函数，所以的取值围是 2、 分析：思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数以此题为例，实质还是通过函数求最值解决方法1：化归最值，；方法2：变量别离，或；方法3：变更主元，简解：方法1:对求导，由此可知，在上的最大值为与中的较大者，对于任意，得的取值围是3、 解析：对任意，存在，使得等价

6、于在上的最小值不大于在上的最小值0，既，题型二、主参换位法(某个参数的围，整理成关于这个参数的函数)。1、 解：不等式即,设，如此在-2,2上恒大于0，故有：或O2、 ()分析：在不等式中出现了两个字母：与,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将视作自变量，如此上述问题即可转化为在关于的一次函数大于等于0恒成立的问题。()略解：由()知：，在上单调递减，在上恒成立，只需，其中恒成立，由上述结论：可令,如此，而恒成立，。题型三、别离参数法欲求某个参数的围，就把这个参数别离出来1、当时，不等式恒成立，如此的取值围是 .解析: 当时，由得.题型四、数形结合恒成立问题与二次函数联

7、系零点、根的分布法1、解析：对,不等式恒成立、如此由一次函数性质与图像知，即。2、分析：为了使在恒成立，构造一个新函数，如此把原题转化成左边二次函数在区间时恒大于等于的问题，再利用二次函数的图象性质进展分类讨论，使问题得到圆满解决。解：令，如此对恒成立，而是开口向上的抛物线。当图象与x轴无交点满足，即，解得。当图象与x轴有交点，且在时，如此由二次函数根与系数的分布知识与图象可得：解得，故由知。小结：假设二次函数大于0恒成立，如此有，同理，假设二次函数小于0恒成立，如此有。假设是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以与根与系数的分布知识求解。题型五、不等式能成立问题有解、存在性的

8、处理方法。假设在区间D上存在实数使不等式成立,如此等价于在区间D上；假设在区间D上存在实数使不等式成立,如此等价于在区间D上的.1、解：设，由有解，又，解得。2、解： 因为函数存在单调递减区间，所以能成立, 设.由得, .于是,由题设,所以a的取值围是课后作业：1、B由得，对任意的，得，故。2、答案：。解析：由不等式可得，由线性规划可得。3、解：原不等式有解有解，而，所以。xy034、解：画出两个凼数和在上的图象如图知当时，当，时总有所以5、 解析：1设，问题转化为时，恒成立，故。令，得或。由导数知识，可知在单调递增，在单调递减，在单调递增，且，由，得。（2） 据题意：存在，使成立，即为：在有

9、解，故，由1知，于是得。（3） 它与1问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意，都有成立，不等式的左右两端函数的自变量不同，的取值在上具有任意性，要使不等式恒成立的充要条件是：。，在区间上只有一个解。，即.（4） 存在，都有，等价于，由(3)得，点评：此题的三个小题，外表形式非常相似，究其本质却大相径庭，应认真审题，深入思考，多加训练，准确使用其成立的充要条件。6、解：1分令得的单调递增区间为a,3a令得的单调递减区间为，a和3a，+4分当x=a时，极小值=当x=3a时，极小值=b. 6分 由|a，得ax2+4ax3a2a.7分0a2a.上是减函数. 9分于是，对任意，不等式恒成立

10、，等价于 又7、解：(1)y2f /(1)ln(x1)0，y2f /(1)ln(x1)由于A、B、C三点共线即y2f /(1)ln(x1)12分yf(x)ln(x1)12f /(1)f /(x)，得f /(1)，故f(x)ln(x1)4分2令g(x)f(x)，由g/(x)x0，g/(x)0，g(x)在(0，)上是增函数6分故g(x)g(0)0即f(x)8分3原不等式等价于x2f(x2)m22bm3令h(x)x2f(x2)x2ln(1x2)，由h/(x)x10分 当x1，1时，h(x)max0，m22bm30令Q(b)m22bm3，如此得m3或m312分8、解：(I) 由题意得而，所以(II)由

11、 (I) 知， 4分令，要使在其定义域 (0,+) 为单调函数，只需 h(x) 在 (0,+) 满足：h(x)0 或 h(x)0 恒成立. 5分 当时，所以在 (0,+) 为单调递减，故； 当时，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为，只需，即p1时， h(x)0，f (x) 在 (0,+) 为单调递增，故 p1适合题意. 综上可得，p1或 p0另解：(II)由 (I) 知f (x) = px2ln x f(x) = p + = p (1 + )要使f (x) 在其定义域 (0,+) 为单调函数，只需f(x) 在 (0,+) 满足：f(x)0 或f(x)0 恒成立. 由 f(x)0 p (1 +

12、)0pp()max，x 0= 1，且 x = 1 时等号成立，故 ()max = 1p1由 f(x)0 p (1 + )0pp()min，x 0而 0 且 x 0 时， 0，故 p0综上可得，p1或 p0(III)g(x) = 在 1,e 上是减函数x = e 时，g(x)min = 2，x = 1 时，g(x)max = 2e即g(x) 2,2e 10分 p0 时，由 (II) 知 f (x) 在 1,e 递减 f (x)max = f (1) = 0 2，不合题意。 0 p 1 时，由x1,e x0f (x) = p (x)2ln xx2ln x右边为 f (x) 当 p = 1 时的表达

13、式，故在 1,e 递增 f (x)x2ln xe2ln e = e2 2，不合题意。 p1 时，由 (II) 知 f (x) 在 1,e 连续递增，f (1) = 0 g(x)min = 2，x1,e f (x)max = f (e) = p (e)2ln e 2p 综上，p 的取值围是 (,+)其他特殊型:二次函数型利用判别式,韦达定理与根的分布求解例1：不等式对于恒成立,求的取值围.变式1：存在，使得不等式成立, 如此的取值围是.变式2：方程有解，如此的取值围是.现实生活中存在与恒成立问题：1、 在某次考试中，我们班有同学数学分数大于120分最高分大于120分。2、 在某次考试中，我们班每

14、一位同学数学分数都高于60分最低分大于60分。3、 在某次考试中，我们班同学数学成绩没有高于130分的最高分小于等于130分。、推理：对有:1、符号语言：不等式恒成立图象语言：的图象在直线y=a的上方最低点都在直线的上方日常用语:每一个值都大于3） 、符号语言：方程有解解集非空4） 图象语言：的图象与直线有交点5） 日常用语：求函数的值域2） 、符号语言：存在,使得不等式不等式，有解不等式，解集非空3） 图象语言：的图象有点在直线y=a的上方最高点都在直线的上方4） 日常用语：有值比大、结论：对有:、恒成立问题符号语言：函数恒成立函数 恒成立2、存在性问题符号语言：存在,使得函数存在 ,使得函

15、数3、有解问题符号语言：不等式有解解集非空不等式解集为空集方程有解解集非空思考：假设对又有怎么样的结论呢？例1：不等式对于xR恒成立,求a的取值围.变式1：存在xR，使得不等式成立, 如此a的取值围是.变式2：方程有解，如此a的取值围是.变式3：解集不空, 如此a的取值围是.变式4：不等式解集为空集, 如此a的取值围是.例2：函数,假设存在使得,试数的取值围。解：法一：，所以对,均存在使得.法二：原题同解于：当时，,即： 或代入可得:或解得或例3：方程在区间有解，如此实数a的取值围是。解：原题同解于：，的值域。a即,请比拟此题的有解问题与上题的有解问题的区别.例4：A=x|x2-mx+1 0,

16、B=R+,AB=B, 求的取值围。分析：AB=B可得BA。即:x0时, x2-mx+1 0 解略法二：原题同解于：x2-mx+1 0在(0,+)上恒成立, 求的取值围。例5：不等式对满足的所有都成立，求的取值围。分析： 对而言，参数围，求定义域。设,如此转化为定义域求参数围。即：1、对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+30 当| x |2，上式恒成立，数m的取值围；当| m |2，上式恒成立，数x的取值围.2、假设不等式ax2-2x+20 对x(1,4)恒成立，数a的取值围。3、设不等式对一切实数x都成立,如此k的围是。 可以等价转化为一次型的函数利用单调性直接求解 对于一次函数有：例1：

17、假设不等式对满足的所有都成立，求x的围。解析：我们可以用改变主元的方法，将m视为主变元，即将元不等式化为：，；令，如此时，恒成立，所以只需即，解出即可。三、数形结合对于型问题，利用数形结合思想转化为函数图象的关系再处理假设把等式或不等式进展合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，如此可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。例10 (07理科3)假设对任意,不等式恒成立，如此实数的取值围是O(A) (B) (C) D解析：对,不等式恒成立如此由一次函数性质与图像知，即。四、赋值型利用特殊值求解等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决

18、填空题、选择题能很快求得.例1如果函数y=f(x)=sin2x+acos2x的图象关于直线x= 对称，那么a= .A.1 B.-1 C . D. -.略解：取x=0与x=，如此f(0)=f(),即a=-1，应当选B.此法表现了数学中从一般到特殊的转化思想.利用导数求参数的取值围一函数单调性，求参数的取值围.类型1参数放在函数表达式上.略解：由方法：方法：方法解题方法总结：求后，假设能因式分解如此先因式分解，讨论=0两根的大小判断函数的单调性，假设不能因式分解可利用函数单调性的充要条件转化为恒成立问题.类型2参数放在区间边界上例函数过原点和点(-1,2),假设曲线在点P处的切线与直线且切线的倾斜

19、角为钝角.1求的表达式 2假设在区间2m-1,m+1上递增,求m的取值围.略解 (1)总结:先判断函数的单调性,再保证问题中的区间是函数单调递增(递减)区间的一个子区间即可.二不等式在某区间上恒成立，求参数的取值围类型参数放在不等式上例3.1求、的值与函数的单调区间2假设对恒成立，求的取值围略解：(1)总结:区间给定情况下,转化为求函数在给定区间上的最值.类型2参数放在区间上例三次函数图象上点(1,8)处的切线经过点(3,0),并且在x=3处有极值.1求的解析式.2当时,0恒成立,数m的取值围.分析:(1)三知函数图象的交点情况，求参数的取值围例5.函数处取得极值(1) 求函数的解析式.(2)

20、 假设过点可作曲线y=的三条切线,数m的取值围.略解(1)求得(2)设切点为总结:从函数的极值符号与单调性来保证函数图象与x轴交点个数.四.开放型的问题，求参数的取值围。例且。1设，求的解析式。2设，试问：是否存在，使在上是单调递减函数，且在上是单调递增函数；假设存在，求出的值；假设不存在，说明理由。分析：1易求c=1,2，由题意在上是单调递减函数，且在上是单调递增函数知，是极小值，由得当，时，是单调递增函数；时，是单调递减函数。所以存在，使原命题成立。在数学中,涉与到高次函数问题一般可用导数知识解决,只要把导数的几何意义,用导数求函数的极值与最值,用导数求函数单调性等这些根底知识搞清弄懂,那么,利用导数求参数的取值围这个问题即可迎刃而解.13 / 13