两类循环群的本质区别及各自的同构象.ppt
《两类循环群的本质区别及各自的同构象.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《两类循环群的本质区别及各自的同构象.ppt(20页珍藏版)》请在装配图网上搜索。
,In our classes,all the mobile phones should be switched off !,上课啦!,The class is begin!,循环群,课时安排 约2课时 教学内容 1循环群的思想,理想在循环群结构中的主要的结果(i)数量总数,(ii)构造问题,(iii)循环群的生成元; 2循环群的阶与生成元的阶的关系; 3两类循环群的本质区别及各自的同构象; 4循环群中元素之间的联系和性质;,一、循环群,研究一个对象可粗略地分为两种方法:一种方法是研究此对象的内部关系,另一种是把此对象放在其它对象的相互联系中去研究。当我们对一个群“孤立地”去研究时,掌握这个群的一个好的生成元(生成元集)常是非常有帮助的,循环群就是由一个生成元生成的一种特殊的群。循环群是所有群中最简单的一种群。它的结构到目前为止是可以完全刻划清楚的。 本讲中,我们要了解这类群的特点,从本质上领会“循环群已经完全弄清楚了”的含义。先看下面的例子.,例1 整数加群中,每个元素都是的倍数(因为此群是加法运算,所以用“倍数”这个词)。事实上,是的零倍: ;正数是的的倍:,负数是的倍:。,上述两例都表明了同一个问题:群中有一个特殊的元素,使群中每个元素都是这个特殊元素的倍数。(因为是加法群,所以用倍数 . 如果是乘法群,则应是方幂)。于是,下面有了循环群的定义(下面通常用乘法群为例)。 1循环群的概念 设是一个(乘法)群,而中有一个元素,使中每个元素都的乘方 . 即. 那么称为循环群 .叫做的生成元,习惯上记为. 也就是说,是由生成元生成的。,我们仔细观察下面两对群,它们元素之间存在着对应关系:,2.循环群的个数,定理2 设是由生成元生成的循环群。如果,那么. 如果,那么。 证明 (1)当时,作.由上述的对应关系易知,是双射.而 (2)当时,作,,由上述对应关系也易知,是双射 . 而且 . 即. 注意 用代数同构观点,循环群只有两个:一个是整数加群;一个是模的剩余类加群。,3循环群的生成元,(1)无限循环群的生成元 当时,自然是的生成元,但除了外,其实也是的生成元。即无限循环群中只有两个不同的生成元和。 证明 因为,思考1 除和之外, 还有其它生成元吗? 解 没有。否则, 如果也是一个生成元,于是必有 . 思考2 求整数加群Z的所有生成元 和元素的阶。 解 有且仅有两个元1和-1可以作为整数加群Z的生成元,且在Z中除零元外,每个元的阶都是无限的。,(2)有限循环群的生成元,当时,有是的生成元。 证明 若是的生成元,则,而,所以;反之,若,而,即有,但由知,不同的恰有n个,所以。,思考3 当. 除了自然是的生成元之外,还有其余生成元吗? 解 为了讨论的方便,现假设.这时, , 可以验证也是的生成元: . 这说明也能生成,即:. 最后可断言:上例中的生成元只有和。 那么为什么说,只有和是阶循环群的生成元呢?因为,同时例中也验证了. 这就是说,中也含有个元素 . 与的一样多 也是生成元,而其他元素的阶都不是,所以它们都不能成为生成元。,(3)寻找循环群的其他生成元的方法 上思考题告诫我们,寻找循环群的其他生成元的关键问题是要确定其阶数。 于是元素的阶数问题自然很重要了. (4)循环群的一个性质 循环群一定是交换群。,4循环群中元素的阶的性质,对于无限循环群,我们自然清楚其中每个元素的阶都必是无限的(否则,便成为有限循环群了)。 下面主要讨论阶循环群 中的元素的阶的问题。 性质1 设是阶循环群中任一个元,若. 那么。 证明 因为是与的最大公因数。并且有这里并且知(互质)。,首先, . 若设 其次,这说明,但 . 由和知,. 即. 由性质1知,若时,这时就是的生成元,所以有,由性质1知,若时,这时就是的生成元,所以有 性质2 在阶循环群中,是生成元。 证明 设. “ ”,若是生成元.但由性质1. “”也是生成元。,例3 设阶循环群,求中的每个元素的阶和的全部生成元。 解 因为 , 的全部生成元有二个:和. 说明 定义在自然数集上的函数叫做欧拉函数。其中表示不超过且与互素的自然数个数。例如:,- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 循环群 本质 区别 各自 构象
装配图网所有资源均是用户自行上传分享,仅供网友学习交流,未经上传用户书面授权,请勿作他用。
关于本文