完整概率论与数理统计第四浙江大学课后习题答案.pdf
《完整概率论与数理统计第四浙江大学课后习题答案.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《完整概率论与数理统计第四浙江大学课后习题答案.pdf(76页珍藏版)》请在装配图网上搜索。
1 完全版 概率论与数理统计习题答案 第四版 盛骤 (浙江大学) 浙大第四版(高等教育出版社) 第一章 概率论的基本概念 1.一 写出下列随机试验的样本空间 (1)记录一个小班一次数学考试的平均分数(充以百分制记分)(一 1) nnnnoS 1001, ,n表小班人数 (3)生产产品直到得到10件正品,记录生产产品的总件数。(一 2) S=10,11,12,n, (4)对某工厂出厂的产品进行检查,合格的盖上“正品”,不合格的盖上“次品”, 如连续查出二个次品就停止检查,或检查4个产品就停止检查,记录检查的结果。 查出合格品记为“1”,查出次品记为“0”,连续出现两个“0”就停止检查,或查满 4次才停止检查。 (一 (3)) S=00,100,0100,0101,1010,0110,1100,0111,1011,1101,1110,1111, 2.二 设A,B,C为三事件,用A,B,C的运算关系表示下列事件。 (1)A发生,B与C不发生。 表示为: CBA 或A (AB+AC)或A (BC) (2)A,B都发生,而C不发生。 2 表示为: CAB 或ABABC或ABC (3)A,B,C中至少有一个发生 表示为:A+B+C (4)A,B,C都发生, 表示为:ABC (5)A,B,C都不发生, 表示为: CBA 或S (A+B+C)或 CBA (6)A,B,C中不多于一个发生,即A,B,C中至少有两个同时不发生 相当于 CACBBA , 中至少有一个发生。故 表示为: CACBBA 。 (7)A,B,C中不多于二个发生。 相当于: CBA , 中至少有一个发生。故 表示为: ABCCBA 或 (8)A,B,C中至少有二个发生。 相当于:AB,BC,AC中至少有一个发生。故 表示为:AB+BC+AC 6.三 设A,B是两事件且P (A)=0.6,P (B)=0.7. 问(1)在什么条件下P (AB)取到最 大值,最大值是多少?(2)在什么条件下P (AB)取到最小值,最小值是多少? 解:由P (A) = 0.6,P (B) = 0.7即知AB,(否则AB = 依互斥事件加法定理, P(AB)=P (A)+P (B)=0.6+0.7=1.31与P (AB)1矛盾). 从而由加法定理得 P (AB)=P (A)+P (B)P (AB) (*) (1)从0P(AB)P(A)知,当AB=A,即AB时P(AB)取到最大值,最大值为 P(AB)=P(A)=0.6, (2)从(*)式知,当AB=S时,P(AB)取最小值,最小值为 P(AB)=0.6+0.71=0.3 。 7.四 设A,B,C是三事件,且 0)()(,41)()()( BCPABPCPBPAP , 8 1)( ACP . 求A,B,C至少有一个发生的概率。 3 解:P (A,B,C至少有一个发生)=P (A+B+C)= P(A)+ P(B)+ P(C)P(AB)P(BC) P(AC)+ P(ABC)= 8508143 8.五 在一标准英语字典中具有55个由二个不相同的字母新组成的单词,若从26 个英语字母中任取两个字母予以排列,问能排成上述单词的概率是多少? 记A表“能排成上述单词” 从26个任选两个来排列,排法有 226A 种。每种排法等可能。 字典中的二个不同字母组成的单词:55个 1301155)( 2 26 AAP 9. 在电话号码薄中任取一个电话号码,求后面四个数全不相同的概率。(设后面4 个数中的每一个数都是等可能性地取自0,1,29) 记A表“后四个数全不同” 后四个数的排法有104种,每种排法等可能。 后四个数全不同的排法有 410A 504.010)( 4410 AAP 10.六 在房间里有10人。分别佩代着从1号到10号的纪念章,任意选3人记录 其纪念章的号码。 (1)求最小的号码为5的概率。 记“三人纪念章的最小号码为5”为事件A 10人中任选3人为一组:选法有 310 种,且每种选法等可能。 又事件A相当于:有一人号码为5,其余2人号码大于5。这种组合的种数有 251 4 121 310 251)( AP (2)求最大的号码为5的概率。 记“三人中最大的号码为5”为事件B,同上10人中任选3人,选法有 310 种,且 每种选法等可能,又事件B相当于:有一人号码为5,其余2人号码小于5,选法有 241 种 201 310 241)( BP 11.七 某油漆公司发出17桶油漆,其中白漆10桶、黑漆4桶,红漆3桶。在搬 运中所标笺脱落,交货人随意将这些标笺重新贴,问一个定货4桶白漆,3桶黑漆和2 桶红漆顾客,按所定的颜色如数得到定货的概率是多少? 记所求事件为A。 在17桶中任取9桶的取法有 917C 种,且每种取法等可能。 取得4白3黑2红的取法有 2334410 CCC 故 2431252)( 6 17 2334410 C CCCAP 12.八 在1500个产品中有400个次品,1100个正品,任意取200个。 (1)求恰有90个次品的概率。 记“恰有90个次品”为事件A 在1500个产品中任取200个,取法有 2001500 种,每种取法等可能。 200个产品恰有90个次品,取法有 110110090400 种 5 2001500 110110090400)(AP (2)至少有2个次品的概率。 记:A表“至少有2个次品” B0表“不含有次品”,B1表“只含有一个次品”,同上,200个产品不含次品,取法 有 2001100 种,200个产品含一个次品,取法有 19911001400 种 10 BBA 且B0,B1互不相容。 2001500 19911001400 2001500 20011001)()(1)(1)( 10 BPBPAPAP 13.九 从5双不同鞋子中任取4只,4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少? 记A表“4只全中至少有两支配成一对” 则A表“4只人不配对” 从10只中任取4只,取法有 410 种,每种取法等可能。 要4只都不配对,可在5双中任取4双,再在4双中的每一双里任取一只。取法有 4245 21 13 21 81)(1)( 21 82)( 410 445 APAP C CAP 15.十一 将三个球随机地放入4个杯子中去,问杯子中球的最大个数分别是1,2, 3,的概率各为多少? 记Ai表“杯中球的最大个数为i个” i=1,2,3, 6 三只球放入四只杯中,放法有43种,每种放法等可能 对A1:必须三球放入三杯中,每杯只放一球。放法432种。 (选排列:好比3个球在4个位置做排列) 16 6 4 234)( 31 AP 对A2:必须三球放入两杯,一杯装一球,一杯装两球。放法有 3423 C 种。 (从3个球中选2个球,选法有 23C ,再将此两个球放入一个杯中,选法有4 种,最后将剩余的1球放入其余的一个杯中,选法有3种。 16 9 4 34)( 3 23 2 CAP 对A3:必须三球都放入一杯中。放法有4种。(只需从4个杯中选1个杯子,放入此 3个球,选法有4种) 16 1 4 4)( 33 AP 16.十二 50个铆钉随机地取来用在10个部件,其中有三个铆钉强度太弱,每个部 件用3只铆钉,若将三只强度太弱的铆钉都装在一个部件上,则这个部件强度就太弱, 问发生一个部件强度太弱的概率是多少? 记A表“10个部件中有一个部件强度太弱”。 法一:用古典概率作: 把随机试验E看作是用三个钉一组,三个钉一组去铆完10个部件(在三个钉的一组 中不分先后次序。但10组钉铆完10个部件要分先后次序) 对E:铆法有 323344347350 CCCC 种,每种装法等可能 对A:三个次钉必须铆在一个部件上。这种铆法有 32334434733 CCCC 10 种 7 00051.01960110)( 3 23347350 32334434733 CCC CCCCAP 法二:用古典概率作 把试验E看作是在50个钉中任选30个钉排成一列,顺次钉下去,直到把部件铆完。 (铆钉要计先后次序) 对E:铆法有 350A 种,每种铆法等可能 对A:三支次钉必须铆在“1,2,3”位置上或“4,5,6”位置上,或“28,29, 30”位置上。这种铆法有 274733274733274733274733 10 AAAAAAAA 种 00051.01960110)( 30 50 274733 A AAAP 17.十三 已知 )|(,5.0)(,4.0)(,3.0)( BABPBAPBPAP 求 。 解一: BAABBBAASABPBPAPAP )(,6.0)(1)(,7.0)(1)( 注意 )( BAAB . 故有 P (AB)=P (A)P (AB)=0.70.5=0.2。 再由加法定理, P (AB)= P (A)+ P (B)P (AB)=0.7+0.60.5=0.8 于是 25.08.02.0)( )()( )()|( BAP ABPBAP BABPBABP 25.05.06.07.0 5 1 )()()( )( )( )()|( 5 1)|()()( 7 2)|( 7 5 7.0 5.0)|( )|(0705)|()()(: BAPBPAP BAP BAP BBBAPBABP ABPAPABPABPABP ABPABPAPBAP 定义 故 解二 由已知 8 18.十四 )(,21)|(,31)|(,41)( BAPBAPABPAP 求 。 解:由 61)()( 3 1 4 1 2 1 )( )|()( )( )()|( BP BPBP ABPAP BP ABPBAP 有定义 由已知条件 由乘法公式,得 121)|()()( ABPAPABP 由加法公式,得 311216141)()()()( ABPBPAPBAP 19.十五 掷两颗骰子,已知两颗骰子点数之和为7,求其中有一颗为1点的概率(用 两种方法)。 解:(方法一)(在缩小的样本空间SB中求P(A|B),即将事件B作为样本空间,求 事件A发生的概率)。 掷两颗骰子的试验结果为一有序数组(x, y)(x, y=1,2,3,4,5,6)并且满足x,+y=7,则 样本空间为 S=(x, y)| (1, 6 ), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3) 每种结果(x, y)等可能。 A=掷二骰子,点数和为7时,其中有一颗为1点。故 3162)( AP 方法二:(用公式 )( )()|( BPABPBAP S=(x, y)| x =1,2,3,4,5,6; y = 1,2,3,4,5,6每种结果均可能 A=“掷两颗骰子,x, y 中有一个为“1”点”,B=“掷两颗骰子,x,+y=7”。则 22 6 2)(, 6 1 6 6)( ABPBP , 故 3162 6 16 2 )( )()|( 2 BP ABPBAP 9 20.十六 据以往资料表明,某一3 口之家,患某种传染病的概率有以下规律: P(A)=P孩子得病=0.6,P (B|A)=P母亲得病|孩子得病=0.5,P (C|AB)=P父亲得病|母亲 及孩子得病=0.4。求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。 解:所求概率为P (ABC)(注意:由于“母病”,“孩病”,“父病”都是随机事件, 这里不是求P (C|AB) P (AB)= P(A)=P(B|A)=0.60.5=0.3, P (C|AB)=1P (C |AB)=10.4=0.6. 从而P (ABC)= P (AB) P(C|AB)=0.30.6=0.18. 21.十七 已知10只晶体管中有2只次品,在其中取二次,每次随机地取一只,作 不放回抽样,求下列事件的概率。 (1)二只都是正品(记为事件A) 法一:用组合做 在10只中任取两只来组合,每一个组合看作一个基本结果,每种 取法等可能。 62.04528)( 2 10 2 8 C CAP 法二:用排列做 在10只中任取两个来排列,每一个排列看作一个基本结果,每个 排列等可能。 45 28)( 210 28 A AAP 法三:用事件的运算和概率计算法则来作。 记A1,A2分别表第一、二次取得正品。 45 28 9 7 10 8)|()()()( 1221 AAPAPAAPAP (2)二只都是次品(记为事件B) 法一: 451)( 2 10 22 C CBP 10 法二: 451)( 2 10 22 A ABP 法三: 45191102)|()()()( 12121 AAPAPAAPBP (3)一只是正品,一只是次品(记为事件C) 法一: 4516)( 2 10 1218 C CCCP 法二: 4516)()( 2 10 221218 A ACCCP 法三: 互斥与且 21212121 )()( AAAAAAAAPCP 45169108292108)|()()|()( 121121 AAPAPAAPAP (4)第二次取出的是次品(记为事件D) 法一:因为要注意第一、第二次的顺序。不能用组合作, 法二: 51)( 2 10 1219 A AADP 法三: 互斥与且 21212121 )()( AAAAAAAAPDP 519110292108)|()()|()( 121121 AAPAPAAPAP 22.十八 某人忘记了电话号码的最后一个数字,因而随机的拨号,求他拨号不超 过三次而接通所需的电话的概率是多少?如果已知最后一个数字是奇数,那么此概率是 多少? 记H表拨号不超过三次而能接通。 Ai表第i次拨号能接通。 11 注意:第一次拨号不通,第二拨号就不再拨这个号码。 10 3 8 1 9 8 10 9 9 1 10 9 10 1 )|()|()()|()()()( 2131211211 321211 AAAPAAPAPAAPAPAPHP AAAAAAH 三种情况互斥 如果已知最后一个数字是奇数(记为事件B)问题变为在B已发生的条件下,求H 再发生的概率。 )|)|( 321211 BAAABAABPABHP )|()|()|()|()|()|( 2131211211 AABAPABAPBAPABAPBAPBAP 53314354415451 24.十九 设有甲、乙二袋,甲袋中装有n只白球m只红球,乙袋中装有N只白球 M只红球,今从甲袋中任取一球放入乙袋中,再从乙袋中任取一球,问取到(即从乙袋 中取到)白球的概率是多少?(此为第三版19题(1)) 记A1,A2分别表“从甲袋中取得白球,红球放入乙袋” 再记B表“再从乙袋中取得白球”。 B=A1B+A2B且A1,A2互斥 P (B)=P (A1)P(B| A1)+ P (A2)P (B| A2) = 111 MN NmnmMNNmnn 十九(2) 第一只盒子装有5只红球,4只白球;第二只盒子装有4只红球,5只白球。 先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去,然后从第二盒子中任取一只球,求取到白 球的概率。 记C1为“从第一盒子中取得2只红球”。 C2为“从第一盒子中取得2只白球”。 C3为“从第一盒子中取得1只红球,1只白球”, D为“从第二盒子中取得白球”,显然C1,C2,C3两两互斥,C1C2C3=S,由全 12 概率公式,有 P (D)=P (C1)P (D|C1)+P (C2)P (D|C2)+P (C3)P (D| C3) 9953116117115 2 9 1 4 1 5 2 9 24 2 9 2 5 C CC C C C C 26.二十一 已知男人中有5%是色盲患者,女人中有0.25%是色盲患者。今从男女 人数相等的人群中随机地挑选一人,恰好是色盲患者,问此人是男性的概率是多少? 解:A1=男人,A2=女人,B=色盲,显然A1A2=S,A1 A2= 由已知条件知 %25.0)|(%,5)|(21)()( 2121 ABPABPAPAP 由贝叶斯公式,有 21 20 10000 25 2 1 100 5 2 1 100 5 2 1 )|()()|()( )|()( )( )()|( 2211 1111 ABPAPABPAP ABPAPBP BAPBAP 二十二 一学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为P,若第一次 及格则第二次及格的概率也为P;若第一次不及格则第二次及格的概率为2P(1)若至少 有一次及格则他能取得某种资格,求他取得该资格的概率。(2)若已知他第二次已经及 格,求他第一次及格的概率。 解:Ai=他第i次及格,i=1,2 已知P (A1)=P (A2|A1)=P, 2)|( 12 PAAP (1)B=至少有一次及格 所以 21 AAB 两次均不及格 )|()(1)(1)(1)( 12121 AAPAPAAPBPBP )|(1)(11 121 AAPAP 13 22123)21)(1(1 PPPP (2) )( )() 2 2121( AP AAPAAP 定义 (*) 由乘法公式,有P (A1 A2)= P (A1) P (A2| A1) = P2 由全概率公式,有 )|()()|()()( 1211212 AAPAPAAPAPAP 22 2)1( 2 PP PPPP 将以上两个结果代入(*)得 12 22 )|( 2 221 PPPPPAAP 28.二十五 某人下午5:00下班,他所积累的资料表明: 到家时间 5:355:39 5:405:44 5:455:49 5:505:54 迟于5:54 乘地铁到 家的概率 0.10 0.25 0.45 0.15 0.05 乘汽车到 家的概率 0.30 0.35 0.20 0.10 0.05 某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车,结果他是5:47到家的,试求他是乘地铁 回家的概率。 解:设A=“乘地铁”,B=“乘汽车”,C=“5:455:49到家”,由题意,AB=,AB=S 已知:P (A)=0.5, P (C|A)=0.45, P (C|B)=0.2, P (B)=0.5 由贝叶斯公式有 6923.013965.045.0 2 1)|( 2 1)|( 45.05.0 )( )()|()|( BCPACPCP APACPCAP 14 29.二十四 有两箱同种类型的零件。第一箱装5只,其中10只一等品;第二箱30 只,其中18只一等品。今从两箱中任挑出一箱,然后从该箱中取零件两次,每次任取一 只,作不放回抽样。试求(1)第一次取到的零件是一等品的概率。(2)第一次取到的零 件是一等品的条件下,第二次取到的也是一等品的概率。 解:设Bi表示“第i次取到一等品” i=1,2 Aj表示“第j箱产品” j=1,2,显然A1A2=S A1A2= (1) 4.052301821501021)( 1 BP (B1= A1B +A2B由全概率公式解)。 (2) 4857.0 5 2 29 17 30 18 2 1 49 9 50 10 2 1 )( )()|( 1 2112 BP BBPBBP (先用条件概率定义,再求P (B1B2)时,由全概率公式解) 32.二十六(2) 如图1,2,3,4,5 表示继电器接点,假设每一继电器接点闭合 的概率为p,且设各继电器闭合与否相互独 立,求L和R是通路的概率。 记Ai表第i个接点接通 记A表从L到R是构成通路的。 A=A1A2+ A1A3A5+A4A5+A4A3A2四种情况不互斥 P (A)=P (A1A2)+P (A1A3A5) +P (A4A5)+P (A4A3A2)P (A1A2A3A5) + P (A1A2 A4A5)+ P (A1A2 A3 A4) +P (A1A3 A4A5) + P (A1A2 A3A4A5) P (A2 A3 A4A5)+ P (A1A2A3 A4A5)+ P (A1A2 A3 A4A5) + (A1A2 A3 A4A5) + P (A1A2 A3 A4A5)P (A1A2 A3 A4A5) 又由于A1,A2, A3, A4,A5互相独立。 故 P (A)=p2+ p3+ p2+ p3p4 +p4 +p4 +p4 +p5 +p4 5 3 4 2 1 L R 15 + p5 + p5+ p5+ p5p5=2 p2+ 3p35p4 +2 p5 二十六(1)设有4个独立工作的元件1,2,3,4。它们的可靠性分别为P1,P2, P3,P4,将它们按图(1)的方式联接,求系统的可靠性。 记Ai表示第i个元件正常工作,i=1,2,3,4, A表示系统正常。 A=A1A2A3+ A1A4两种情况不互斥 P (A)= P (A1A2A3)+P (A1A4)P (A1A2A3 A4) (加法公式) = P (A1) P (A2)P (A3)+ P (A1) P (A4)P (A1) P (A2)P (A3)P (A4) = P1P2P3+ P1P4P1P2P3P4 (A1, A2, A3, A4独立) 34.三十一 袋中装有m只正品硬币,n只次品硬币,(次品硬币的两面均印有国徽)。 在袋中任取一只,将它投掷r次,已知每次都得到国徽。问这只硬币是正品的概率为多 少? 解:设“出现r次国徽面”=Br “任取一只是正品”=A 由全概率公式,有 rr r r rr rr rrr nm m nm n nm m nm m BP ABPAPBAP nm n nm mABPAPABPAPBP 2) 2 1( )21( )( )|()()|( 1)21()|()()|()()( (条件概率定义与乘法公式) 35甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为0.4,0.5,0.7。 飞机被一人击中而被击落的概率为0.2,被两人击中而被击落的概率为0.6,若三人都击 中,飞机必定被击落。求飞机被击落的概率。 解:高Hi表示飞机被i人击中,i=1,2,3。B1,B2,B2分别表示甲、乙、丙击中飞 3 4 2 1 16 机 3213213211 BBBBBBBBBH ,三种情况互斥。 3213213212 BBBBBBBBBH 三种情况互斥 3223 BBBH 又 B1,B2,B2独立。 )()()()()()()( 3213211 BPBPBPBPBPBPHP 36.07.05.06.03.05.0 6.03.05.04.0)()()( 321 BPBPBP )()()()()()()( 3213212 BPBPBPBPBPBPHP 3.05.04.0)()()( 321 BPBPBP + 0.40.50.7+0.60.50.7=0.41 P (H3)=P (B1)P (B2)P (B3)=0.40.50.7=0.14 又因: A=H1A+H2A+H3A 三种情况互斥 故由全概率公式,有 P (A)= P(H1)P (A|H1)+P (H2)P (A|H2)+P (H3)P (AH3) =0.360.2+0.410.6+0.141=0.458 36.三十三设由以往记录的数据分析。某船只运输某种物品损坏2%(这一事件记为 A1),10%(事件A2),90%(事件A3)的概率分别为P (A1)=0.8, P (A2)=0.15, P (A2)=0.05, 现从中随机地独立地取三件,发现这三件都是好的(这一事件记为B),试分别求P (A1|B) P (A2|B), P (A3|B)(这里设物品件数很多,取出第一件以后不影响取第二件的概率,所以 取第一、第二、第三件是互相独立地) B表取得三件好物品。 B=A1B+A2B+A3B 三种情况互斥 17 由全概率公式,有 P (B)= P(A1)P (B|A1)+P (A2)P (B|A2)+P (A3)P (B|A3) =0.8(0.98)3+0.15(0.9)3+0.05(0.1)3=0.8624 0001.08624.0 )1.0(05.0)( )|()()( )()|( 1268.08624.0 )9.0(15.0)( )|()()( )()|( 8731.08624.0 )98.0(8.0)( )|()()( )()|( 3333 3 3222 2 3111 1 BP ABPAP BP BAPBAP BP ABPAP BP BAPBAP BP ABPAP BP BAPBAP 37.三十四 将A,B,C三个字母之一输入信道,输出为原字母的概率为,而输 出为其它一字母的概率都是(1)/2。今将字母串AAAA,BBBB,CCCC之一输入信道, 输入AAAA,BBBB,CCCC的概率分别为p1, p2, p3 (p1 +p2+p3=1),已知输出为ABCA,问 输入的是AAAA的概率是多少?(设信道传输每个字母的工作是相互独立的。) 解:设D表示输出信号为ABCA,B1、B2、B3分别表示输入信号为AAAA,BBBB, CCCC,则B1、B2、B3为一完备事件组,且P(Bi)=Pi, i=1, 2, 3。 再设A发、A收分别表示发出、接收字母A,其余类推,依题意有 P (A收| A发)= P (B收| B发)= P (C收| C发)=, P (A收| B发)= P (A收| C发)= P (B收| A发)= P (B收| C发)= P (C收| A发)= P (C收| B发)= 21 又P (ABCA|AAAA)= P (D | B 1) = P (A收| A发) P (B收| A发) P (C收| A发) P (A收| A发) = 22 )21( , 同样可得P (D | B 2) = P (D | B 3) = 3)21( 于是由全概率公式,得 332221 3 1 )21()()21( )|()()( PPap BDPBPDP i ii 18 由Bayes公式,得 P (AAAA|ABCA)= P (B 1 | D ) = )( )|()( 11 DP BDPBP = )(1(2 2 321 1 PPP P 二十九 设第一只盒子装有3只蓝球,2只绿球,2只白球;第二只盒子装有2只 蓝球,3只绿球,4只白球。独立地分别从两只盒子各取一只球。(1)求至少有一只蓝球 的概率,(2)求有一只蓝球一只白球的概率,(3)已知至少有一只蓝球,求有一只蓝球 一只白球的概率。 解:记A1、A2、A3分别表示是从第一只盒子中取到一只蓝球、绿球、白球,B1、B2、 B3分别表示是从第二只盒子中取到一只蓝球、绿球、白球。 (1)记C=至少有一只蓝球 C= A1B1+ A1B2+ A1B3+ A2B1+ A3B1,5种情况互斥 由概率有限可加性,得 9 5 9 2 7 2 9 2 7 2 9 4 7 3 9 3 7 3 9 2 7 3 )()()()()()()()()()( )()()()()()( 1312312111 1312312111 BPAPBPAPBPAPBPAPBPAP BAPBAPBAPBAPBAPCP 独立性 (2)记D=有一只蓝球,一只白球,而且知D= A1B3+A3B1两种情况互斥 63 16 9 2 7 2 9 4 7 3 )()()()()()( 13311331 BPAPBPAPBAPBAPDP (3) )(3516)( )()( )()|( DCDCPDPCPCDPCDP 注意到 三十 A,B,C三人在同一办公室工作,房间有三部电话,据统计知,打给A,B, C的电话的概率分别为 51,52,52 。他们三人常因工作外出,A,B,C三人外出的概 率分别为 4141,21 ,设三人的行动相互独立,求 (1)无人接电话的概率;(2)被呼叫人在办公室的概率;若某一时间断打进了3个 19 电话,求(3)这3个电话打给同一人的概率;(4)这3个电话打给不同人的概率;(5) 这3个电话都打给B,而B却都不在的概率。 解:记C1、C2、C3分别表示打给A,B,C的电话 D1、D2、D3分别表示A,B,C外出 注意到C1、C2、C3独立,且 51)(,52)()( 321 CPCPCP 41)()(,21)( 321 DPDPDP (1)P(无人接电话)=P (D1D2D3)= P (D1)P (D2)P (D3) = 321414121 (2)记G=“被呼叫人在办公室”, 332211 DCDCDCG 三种情况互斥,由有 限可加性与乘法公式 20 13 4 3 5 1 4 3 5 2 2 1 5 2 )|()()|()()|()( )()()()( 333222111 332211 CDPCPCDPCPCDPCP DCPDCPDCPGP )()|( kkk DPCDP故 否和来电话无关 由于某人外出与 (3)H为“这3个电话打给同一个人” 125 17 5 1 5 1 5 1 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2)( HP (4)R为“这3个电话打给不同的人” R由六种互斥情况组成,每种情况为打给A,B,C的三个电话,每种情况的概率为 125 4 5 1 5 2 5 2 于是 1252412546)( RP (5)由于是知道每次打电话都给B,其概率是1,所以每一次打给B电话而B不在 的概率为41,且各次情况相互独立 20 于是 P(3个电话都打给B,B都不在的概率)= 641)41( 3 第二章 随机变量及其分布 1.一 一袋中有5只乒乓球,编号为1、2、3、4、5,在其中同时取三只,以X表 示取出的三只球中的最大号码,写出随机变量X的分布律 解:X可以取值3,4,5,分布律为 10 61)4,3,2,1,5()5( 10 31)3,2,1,4()4( 10 11)2,1,3()3( 35 24 35 23 35 22 C CPXP C CPXP C CPXP 中任取两球再在号一球为 中任取两球再在号一球为 号两球为号一球为 也可列为下表 X: 3, 4,5 P: 106,103,101 3.三 设在15只同类型零件中有2只是次品,在其中取三次,每次任取一只,作 不放回抽样,以X表示取出次品的只数,(1)求X的分布律,(2)画出分布律的图形。 解:任取三只,其中新含次品个数X可能为0,1,2个。 35 22)0( 315 313 C CXP 35 12)1( 315 21312 C CCXP 35 1)2( 315 11322 C CCXP x 1 2 O P 21 再列为下表 X: 0, 1, 2 P: 351,3512,3522 4.四 进行重复独立实验,设每次成功的概率为p,失败的概率为q =1p(0pY)=P (X=1, Y=0)+P (X=2, Y=0)+P (X=2, Y=1)+ P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2) =P (X=1) P (Y=0) + P (X=2, Y=0)+ P (X=2, Y=1)+ P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2) = 82233213 )3.0(4.0)6.0()3.0()4.0(6.0 CC 3213223 )6.0()3.0(7.04.0)6.0( CC 321 3 33 )6.0()3.0(7.0)6.0()3.0( C 243.03.0)7.0( 223 C 9.十 有甲、乙两种味道和颜色极为相似的名酒各4杯。如果从中挑4杯,能将甲 种酒全部挑出来,算是试验成功一次。 (1)某人随机地去猜,问他试验成功一次的概率是多少? (2)某人声称他通过品尝能区分两种酒。他连续试验10次,成功3次。试问他是 猜对的,还是他确有区分的能力(设各次试验是相互独立的。) 解:(1)P (一次成功)= 70114 8 C (2)P (连续试验10次,成功3次)= 100003)7069()701( 73310 C 。此概率太小,按实 际推断原理,就认为他确有区分能力。 九 有一大批产品,其验收方案如下,先做第一次检验:从中任取10件,经验收 24 无次品接受这批产品,次品数大于2拒收;否则作第二次检验,其做法是从中再任取5 件,仅当5件中无次品时接受这批产品,若产品的次品率为10%,求 (1)这批产品经第一次检验就能接受的概率 (2)需作第二次检验的概率 (3)这批产品按第2次检验的标准被接受的概率 (4)这批产品在第1次检验未能做决定且第二次检验时被通过的概率 (5)这批产品被接受的概率 解:X表示10件中次品的个数,Y表示5件中次品的个数, 由于产品总数很大,故XB(10,0.1),YB(5,0.1)(近似服从) (1)P X=0=0.9100.349 (2)P X2=P X=2+ P X=1= 581.09.01.09.01.0 911082210 CC (3)P Y=0=0.9 50.590 (4)P 0X2,Y=0 (0X2与 Y=2独立) = P 0X2P Y=0 =0.5810.5900.343 (5)P X=0+ P 010)=P (X 11)=0.002840(查表计算) 十二 (2)每分钟呼唤次数大于3的概率。 566530.043 XPXP 十六 以X表示某商店从早晨开始营业起直到第一顾客到达的等待时间(以分计), X的分布函数是 00 0,1)( 4.0 xxexF x X 25 求下述概率: (1)P至多3分钟;(2)P 至少4分钟;(3)P3分钟至4分钟之间; (4)P至多3分钟或至少4分钟;(5)P恰好2.5分钟 解:(1)P至多3分钟= P X3 = 2.11)3( eFX (2)P 至少4分钟 P (X 4) = 6.1)4(1 eFX (3)P3分钟至4分钟之间= P 3X4= 6.12.1)3()4( eeFF XX (4)P至多3分钟或至少4分钟= P至多3分钟+P至少4分钟 = 6.12.11 ee (5)P恰好2.5分钟= P (X=2.5)=0 18.十七 设随机变量X的分布函数为 .,1 ,1,ln ,1,0)( ex exx xxF X , 求(1)P (X2), P 0X3, P (2X 25 );(2)求概率密度fX (x). 解:(1)P (X2)=FX (2)= ln2, P (0X3)= FX (3)FX (0)=1, 4 5ln2ln 2 5ln)2() 2 5( 2 52( XX FFXP (2) 其它,0 ,1,1)()( exxxFxf 20.十八(2)设随机变量X的概率密度 )(xf 为 (1) 其它0 1112)( 2 xxxf (2) 其他0 212 10 )( xx xx xf 求X的分布函数F (x),并作出(2)中的f (x)与F (x)的图形。 解:当1x1时: 2 1arcsin111 arcsin211212120)( 2 1 2 1 21 xxx xxxdxxdxxF Xx 26 当1x时: 10120)( 111 21 x dxdxxdxxF 故分布函数为: x xxxx x xF 11 1121arcsin111 10 )( 2 解:(2) x dttfxXPxF )()()( 1 0 2 2 1 0 2 1 1 0 0 2 0 0 10)2(0)(,2 122)2(0)(,21 20)(,10 00)(,0 x x x x dtdttdttdtxFx xxdttdttdtxFx xdttdtxFx dtxFx 时当 时当 时当 时当 故分布函数为 x xxx xx x xF 21 21122 102 00 )( 2 2 (2)中的f (x)与F (x)的图形如下 22.二十 某种型号的电子的寿命X(以小时计)具有以下的概率密度: 其它0 10001000)( 2 xxxf x 1 2 0 f (x) x 1 2 0 F (x) 27 现有一大批此种管子(设各电子管损坏与否相互独立)。任取5只,问其中至少有2只寿 命大于1500小时的概率是多少? 解:一个电子管寿命大于1500小时的概率为 3 2) 3 21(1 )1(1000110001)1500(1)1500( 15001000 150010002 xdx xXPXP 令Y表示“任取5只此种电子管中寿命大于1500小时的个数”。则 )32,5(BY , 243 232 243 111 3 2511 )31()32()31(1)1()0(1)2(1)2( 5 41 5 5 CYPYPYPYP 23.二十一 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分计)服从指数分布, 其概率密度为: 其它,0 0,51)( 5 xexF xX 某顾客在窗口等待服务,若超过10分钟他就离开。他一个月要到银行5次。以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数,写出Y的分布律。并求P(Y1)。 解:该顾客“一次等待服务未成而离去”的概率为 2 10 5 10 5 10 5 1)()10( eedxedxxfXP xx X 因此 5,4,3,2,1(,)1(5)().,5( 5222 keekkYPeBY kk即 .5167.04833.018677.01 )1353363.01(1)389.711(1)1(1)0(1)1(1)1( 5 5552 eYPYPYP 24.二十二 设K在(0,5)上服从均匀分布,求方程 0244 2 KxKx 有实 根的概率 K的分布密度为: 其他0 50051)( KKf 28 要方程有根,就是要K满足(4K)244 (K+2)0。 解不等式,得K2时,方程有实根。 53051)()2( 5522 dxdxdxxfKP 25.二十三 设XN(3.22) (1)求P (23) 若XN(,2),则P (X)= P (2X5) = 235 232 =(1)(0.5) =0.84130.3085=0.5328 P (42)=1P (|X|2)= 1P (2 C )=P (XC) P (X C )=1P (XC )= P (XC) 得 P (XC )=21=0.5 又 P (XC )= 023,5.023 CC 查表可得 C =3 26.二十四 某地区18岁的女青年的血压(收缩区,以mm-Hg计)服从 )12,110( 2N 在该地区任选一18岁女青年,测量她的血压X。求 (1)P (X105),P (100 x) 0.05. 解: 3384.06616.01)4167.0(1)4167.0()12110105()105()1( XP 5952.017976.021)8333.0(21)65(2 )65()65()12110100()12110120()120100( XP 29 .74.129.74.12974.19110.645.112110 .95.0)12110(05.0)12110(1)(1)()2( Xxx xxxXPxXP 故最小的查表得 27.二十五 由某机器生产的螺栓长度(cm)服从参数为=10.05,=0.06的正态 分布。规定长度在范围10.050.12内为合格品,求一螺栓为不合格的概率是多少? 设螺栓长度为X PX不属于(10.050.12, 10.05+0.12) =1P (10.050.12X10.05+0.12) =1 06.0 05.10)12.005.10(06.0 05.10)12.005.10( =1(2)(2) =10.97720.0228 =0.0456 28.二十六 一工厂生产的电子管的寿命X(以小时计)服从参数为=160,(未 知)的正态分布,若要求P (120X200=0.80,允许最大为多少? P (120X200)= 80.04040160120160200 又对标准正态分布有(x)=1(x) 上式变为 80.040140 解出 9.040:40 便得 再查表,得 25.31281.140281.140 30.二十七 设随机变量X的分布律为: X:2, 1, 0, 1, 3 P:51, 61, 51, 151 , 3011 求Y=X 2的分布律 Y=X 2:(2)2 (1)2 (0)2 (1)2 (3)2 P: 51 61 51 151 3011 30 再把X 2的取值相同的合并,并按从小到大排列,就得函数Y的分布律为: Y: 0 1 4 9 P: 51 15161 51 3011 31.二十八 设随机变量X在(0,1)上服从均匀分布 (1)求Y=eX的分布密度 X的分布密度为: 为其他x xxf 0 101)( Y=g (X) =eX是单调增函数 又 X=h (Y)=lnY,反函数存在 且 = ming (0), g (1)=min(1, e)=1 maxg (0), g (1)=max(1, e)= e Y的分布密度为: 为其他y eyyyhyhfy 0 111|)(|)()( (2)求Y=2lnX的概率密度。 Y= g (X)=2lnX 是单调减函数 又 2)( YeYhX 反函数存在。 且 = ming (0), g (1)=min(+, 0 )=0 =maxg (0), g (1)=max(+, 0 )= + Y的分布密度为: 为其他y yeeyhyhfy yy 0 021211|)(|)()( 22 32.二十九 设XN(0,1) (1)求Y=eX的概率密度 X的概率密度是 xexf x ,21)( 2 2 Y= g (X)=eX 是单调增函数 又 X= h (Y ) = lnY 反函数存在 且 = ming (), g (+)=min(0, +)=0 = maxg (), g (+)= max(0, +)= + Y的分布密度为: 31 为其他y yyeyhyhfy y 0 0121|)(|)()( 2)(ln 2 (2)求Y=2X2+1的概率密度。 在这里,Y=2X2+1在(+,)不是单调函数- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 完整 概率论 数理统计 第四 浙江大学 课后 习题 答案
装配图网所有资源均是用户自行上传分享,仅供网友学习交流,未经上传用户书面授权,请勿作他用。
关于本文