量子力学复习题--大题.docx
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12 在0K附近,钠的价电子能量约为3eV,求其德布罗意波长。解 根据德布罗意波粒二象性的关系,可知E=hv,如果所考虑的粒子是非相对论性的电子(),那么如果我们考察的是相对性的光子,那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV,远远小于电子的质量与光速平方的乘积,即,因此利用非相对论性的电子的能量动量关系式,这样,便有在这里,利用了以及最后,对作一点讨论,从上式可以看出,当粒子的质量越大时,这个粒子的波长就越短,因而这个粒子的波动性较弱,而粒子性较强;同样的,当粒子的动能越大时,这个粒子的波长就越短,因而这个粒子的波动性较弱,而粒子性较强,由于宏观世界的物体质量普遍很大,因而波动性极弱,显现出来的都是粒子性,这种波粒二象性,从某种子意义来说,只有在微观世界才能显现。13 氦原子的动能是(k为玻耳兹曼常数),求T=1K时,氦原子的德布罗意波长。解 根据,知本题的氦原子的动能为显然远远小于这样,便有这里,利用了最后,再对德布罗意波长与温度的关系作一点讨论,由某种粒子构成的温度为T的体系,其中粒子的平均动能的数量级为kT,这样,其相应的德布罗意波长就为据此可知,当体系的温度越低,相应的德布罗意波长就越长,这时这种粒子的波动性就越明显,特别是当波长长到比粒子间的平均距离还长时,粒子间的相干性就尤为明显,因此这时就能用经典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布,而必须用量子的描述粒子的统计分布玻色分布或费米公布。p.522.1.证明在定态中,几率流密度与时间无关。 证:对于定态,可令 可见无关。2.2 由下列两定态波函数计算几率流密度: 从所得结果说明表示向外传播的球面波,表示向内(即向原点) 传播的球面波。 解:在球坐标中 同向。表示向外传播的球面波。 可见,反向。表示向内(即向原点) 传播的球面波。补充:设,粒子的位置几率分布如何?这个波函数能否归一化? 波函数不能按方式归一化。 其相对位置几率分布函数为 表示粒子在空间各处出现的几率相同。 #3.8.在一维无限深势阱中运动的粒子,势阱的宽度为,如果粒子的状态由波函数 描写,A为归一化常数,求粒子能量的几率分布和能量的平均值。 解:由波函数的形式可知一维无限深势阱的分布如图示。粒子能量的本征函数和本征值为 能量的几率分布函数为 先把归一化,由归一化条件, 3.10一粒子在硬壁球形空腔中运动,势能为 求粒子的能级和定态波函数。 解:据题意,在的区域,所以粒子不可能运动到这一区域,即在这区域粒子的波函数 () 由于在的区域内,。只求角动量为零的情况,即,这时在各个方向发现粒子的几率是相同的。即粒子的几率分布与角度无关,是各向同性的,因此,粒子的波函数只与有关,而与无关。设为,则粒子的能量的本征方程为 令 ,得 其通解为 波函数的有限性条件知, 有限,则 A = 0 由波函数的连续性条件,有 其中B为归一化,由归一化条件得 归一化的波函数 4.3 求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数。 解:定态薛定谔方程为 即 两边乘以,得 令 跟课本P.39(2.7-4)式比较可知,线性谐振子的能量本征值和本征函数为 式中为归一化因子,即 #4.4.求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。 解: 5.3 设一体系未受微扰作用时有两个能级:,现在受到微扰的作用,微扰矩阵元为;都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值。 解:由微扰公式得 得 能量的二级修正值为 5.7 计算氢原子由2p态跃迁到1s态时所发出的光谱线强度。 解: 若 ,则 #7.1.证明:证:由对易关系 及 反对易关系 , 得 上式两边乘,得 7.5设氢的状态是 求轨道角动量z分量和自旋角动量z分量的平均值; 求总磁矩 的 z分量的平均值(用玻尔磁矩子表示)。解:可改写成从的表达式中可看出的可能值为 0相应的几率为 的可能值为 相应的几率为- 配套讲稿:
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- 量子力学 复习题
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