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第2章质点运动学习题解答 14 第2章质点运动学习题解答第二章基本知识小结基本概念 （向右箭头表示求导运算，向左箭头表示积分运算，积分运算需初始条件：）直角坐标系 与x,y,z轴夹角的余弦分别为 .与x,y,z轴夹角的余弦分别为 . y y V o x o x z z与x,y,z轴夹角的余弦分别为 自然坐标系 极坐标系 相对运动 对于两个相对平动的参考系 （时空变换） （速度变换） （加速度变换）若两个参考系相对做匀速直线运动，则为伽利略变换，在图示情况下，则有：2.1.1质点运动学方程为：,求质点轨迹并用图表示.解：轨迹方程为的直线.xy5xy5/35/4，消去参数t得轨迹方程2.1.2 质点运动学方程为.求质点轨迹；求自t= -1到t=1质点的位移。解：由运动学方程可知：，所以，质点是在z=2平面内的第一像限的一条双曲线上运动。所以，位移大小：2.1.3质点运动学方程为. 求质点轨迹；求质点自t=0至t=1的位移.解：，消去参数t得：2.2.1雷达站于某瞬时测得飞机位置为R0.75s后测得，R1,R2均在铅直面内，求飞机瞬时速率的近似值和飞行方向（角）解：，在图示的矢量三角形中，应用余弦定理，可求得：1R1R2R12据正弦定理：yx0x1x22.2.2 一圆柱体沿抛物线轨道运动，抛物线轨道为y=x2/200(长度：毫米)。第一次观察到圆柱体在x=249mm处，经过时间2ms后，圆柱体移到x=234mm处。求圆柱体瞬时速度的近似值。解：由于t很小，所以，其中，。其大小；与x轴夹角2.2.3一人在北京音乐厅内听音乐，离演奏者17m；另一人在广州听同一演奏的转播，广州离北京2320km，收听者离收音机2m，问谁先听到声音？声速为340m/s，电磁波传播的速率为3.0108m/s.17m340m/s2320km,3108m/s340m/s2m解：声音传播情况如图所示，北京人听到演奏声音所需时间：广州人听到演奏声音所需时间：v230v1=90km/hv2=70km/hv西北2.2.5火车进入弯道时减速，最初列车向正北以90km/h速率行驶，3min后以70km/h速率向北偏西30方向行驶，求列车的平均加速度。解：对矢量三角形应用余弦定理：，由正弦定理：2.2.6 ，R为正常数，求t=0,/2时的速度和加速度。，求t=0,1时的速度和加速度（写出正交分解式）。解： ；10203010203045120-10-200x(m)t(s)abc2.3.1图中a、b和c表示质点沿直线运动三种不同情况下的x-t图像，试说明每种运动的特点（即速度，计时起点时质点的位置坐标，质点位于坐标原点的时刻）解：质点直线运动的速度，在x-t图像中为曲线斜率。由于三种图像都是直线，因此三种运动都是匀速直线运动，设直线与x轴正向夹角为，则速度对于a种运动：对于b种运动：对于c种运动：2.3.2质点直线运动的运动学方程为x=acost,a为正常数，求质点速度和加速度，并讨论运动特点（有无周期性，运动范围，速度变化情况等）解：显然，质点随时间按余弦规律作周期性运动，运动范围：2.3.3跳伞运动员的速度为，v铅直向下，,q为正常量，求其加速度，讨论时间足够长时（即t）速度、加速度的变化趋势。解：因为v>0，a>0，所以，跳伞员做加速直线运动，但当t时，v，a0，说明经过较长时间后，跳伞员将做匀速直线运动。v(km/h)v=v0cosx/5x(km)1.5v02.3.4 直线运行的高速列车在电子计算机控制下减速进站。列车原运行速率为v0=180km/h，其速率变化规律如图所示。求列车行至x=1.5km时的加速度。解：，将v0=180km/h,x=1.5km代入ABaA0.5g0x2.3.5在水平桌面上放置A、B两物体，用一根不可伸长的绳索按图示的装置把它们连接起来，C点与桌面固定，已知物体A的加速度aA=0.5g，求物体B的加速度。解：设整个绳长为L，取图示坐标o-x，则3xA+(-4xB) = L对时间求两次导数，3aA=4aB，所以aB = 3aA/4=30.5g/4 = 3g/82.3.6质点沿直线的运动学方程为x=10t+3t2. 将坐标原点沿o-x正方向移动2m，运动学方程如何？初速度有无变化？将计时起点前移1s，运动学方程如何？初始坐标和初速度发生怎样的变化？加速度变不变？解：x=10t+3t2，v=dx/dt=10+6t，a=dv/dt=6，t=0时，x=0,v=10将坐标原点向x轴正向移动2m，即令x=x-2，x=x+2，则运动学方程为：x=10t+3t2-2，v=dx/dt=10+6t，v=v将计时起点前移1s，即令t=t+1，t=t-1，则运动学方程变为：x = 10(t-1) + 3(t-1)2 = 10t 10 + 3t2 - 6t + 3 = 4t + 3t2 7v=dx/dt=4+6t，t=0时，x= -7，v=4，加速度a不变。2.4.1质点从坐标原点出发时开始计时，沿x轴运动，其加速度ax = 2t (cms-2)，求在下列两种情况下质点的运动学方程，出发后6s时质点的位置、在此期间所走过的位移及路程。初速度v0=0；初速度v0的大小为9cm/s，方向与加速度方向相反。解：令vx=0，由速度表达式可求出对应时刻t=3，由于3秒前质点沿x轴反向运动，3秒后质点沿x轴正向运动，所以路程：2.4.2质点直线运动瞬时速度的变化规律为：vx = -3 sint，求t1=3至t2=5时间内的位移。解：2.4.3 一质点作直线运动，其瞬时加速度的变化规律为ax= -A2cost.在t=0时，vx=0,x=A，其中A,均为正常数。求此质点的运动学方程。解：，2.4.4飞机着陆时为尽快停止采用降落伞制动，刚着陆时，t=0时速度为v0，且坐标x=0，假设其加速度为 ax = - bvx2，b=常量，求飞机速度和坐标随时间的变化规律。解：2.4.5在195m长的坡道上，一人骑自行车以18km/h的速度和-20cm/s2的加速度上坡，另一自行车同时以5.4km/h的初速度和0.2m/s2的加速度下坡，问：经多长时间两人相遇？两人相遇时各走过多长的路程？解：以上坡者出发点为原点沿其前进方向建立坐标o-x，用脚标1表示上坡者，用脚标2表示下坡者。两人的加速度实际上是相同的：x0195a1a2v10v20根据匀变速直线运动公式：令x1=x2，可求得相遇时间：5t=195-1.5t, t=195/6.5=30s对于上坡者，在相遇期间做的不一定是单方向直线运动，据上坡者的速度表达式：v1=5-0.2t，令v1=0，求得对应时刻t=25s，所以，上坡者在25s前是在上坡，但25s后却再下坡。因此，上坡者在30s内走过的路程：对于下坡者，因为做单方向直线运动，所以30s内走过的路程：2.4.6站台上送行的人，在火车开动时站在第一节车厢的最前面，火车开动后经过t=24s，火车第一节车厢的末尾从此人的前面通过，问第七节车厢驶过他面前需要多长时间?火车做匀加速运动。210x解：设每节车厢长为L，以地为参考系，以人所在点为原点建立图示坐标o-x，以第一节车厢的前端点为研究对象，t=0时，前端点的坐标x=0，速度v=0，据匀加速运动公式：，令x=L，求得：，令x=6L，可求得第6节车厢尾端通过人时所需时间t6：令x=7L，可求得第7节车厢尾端通过人时所需时间t7：因此，第7节车厢通过人所需时间：yh02.4.7 在同一铅直线上相隔h的两点以同样速率v0上抛二石子，但在高处的石子早t0秒被抛出，求此二石子何时何处相遇？解：以地为参考系，建立图示坐标o-y。据题意，设t=0时，上面石子坐标y1=h,速度v1=v0；t=t0时，下面石子坐标y2=0，v2=v0解法1：根据匀变速直线运动的规律，可知解法2：可根据速度、加速度的导数定义和初始条件，通过积分得到、，然后求解。2.4.8电梯以1.0m/s的匀速率下降，小孩在电梯中跳离地板0.50m高，问当小孩再次落到地板上时，电梯下降了多长距离？解：以电梯为参考系，小孩相对电梯做竖直上抛运动，他从起跳到再次落到地板所需时间，是他从最高处自由下落到地板所需时间的2倍。由自由落体运动公式：，可求得从最高出落到地板所需时间：，所以小孩做竖直上抛所需时间为0.64s，在此时间内电梯对地下落距离：L = 1.00.64 = 0.64 m2.5.1质点在o-xy平面内运动,其加速度为，位置和速度的初始条件为：t=0时，求质点的运动学方程并画出轨迹。解：xy2.5.2 在同一竖直面内的同一水平线上A、B两点分别以30、60为发射角同时抛出两球，欲使两小球相遇时都在自己的轨道的最高点，求A、B两点间的距离。已知小球在A点的发射速度vA=9.8米/秒。 Y vAO vBO 30 60 A S B x解：以A点为原点建立图示坐标系，取发射时刻为计时起点，两点间距离为S，初始条件如图所示。据斜抛规律有：满足题中条件，在最高点相遇，必有vAy=vBy=0,xA=xB 2.5.3迫击炮的发射角为60发射速率150m/s，炮弹击中倾角为30的山坡上的目标，发射点正在山脚，求弹着点到发射点的距离OA.xyA6030v0解：以发射点为原点，建立图示坐标o-x，斜抛物体的轨迹方程为（见教材）： 本题，=60，v0=150m/s，A点坐标xA,yA应满足轨迹方程，所以： 另外，根据图中几何关系，可知：，代入中，有：2.5.4轰炸机沿与铅直方向成53俯冲时，在763m的高度投放炸弹，炸弹在离开飞机5.0s时击中目标，不计空气阻力：轰炸机的速率是多少？炸弹在飞行中通过的水平距离是多少？炸弹击中目标前一瞬间的速度沿水平和铅直方向的分量是多少？xy0v053解：以投放点为原点，建立图示坐标o-xy,设炸弹初速度（即轰炸机速度）为v0. 由于炸弹在飞行过程中的加速度，所以炸弹在x方向做匀速直线运动，在y方向做竖直下抛运动，有令t=5.0s，y=763m，由可求得轰炸机的速率：将v0代入中，可求得炸弹击中目标时速度的水平分量：令t=5，由可求得炸弹击中目标时速度的竖直分量：xyovl命中点观测者x1x22.5.5雷达监测员正在监视一越来越近的抛射体，在某一时刻，他给出这样的信息：抛射体达到最大高度且正以速率v沿水平方向运动；观测员到抛射体的直线距离是l；观测员观测抛体的视线与水平方向成角。问：抛射体命中点到观测者的距离D等于多少？何种情况下抛体飞越观察员的头顶以后才命中目标？何种情况下抛体在未达到观察员以前就命中目标？解：以抛体所达最大高度处为计时起点和坐标原点，建立图示坐标o-xy，抛体以速度v做平抛运动.设命中时间为t1，由自由落体公式：命中点x坐标为：，由图中几何关系，观测者的x坐标：。所以，观测者与命中点间的距离：当x1<x2，即 时，则抛体在未达到观察员前即命中目标。当x1>x2，即 时，则抛体在飞越观察员后才命中目标。东北OSaanav2.6.1列车在圆弧形轨道上自东转向北行驶，在我们所讨论的时间范围内，其运动学方程为S=80t-t2（m,s），t=0时，列车在图中O点，此圆弧形轨道的半径r=1500m，求列车驶过O点以后前进至1200m处的速率及加速度。解：S=80t-t2 v=dS/dt=80-2t 令S=1200，由可求得对应时间：将t=60代入中，v=-40，不合题意，舍去；将t=20代入中，v=40m/s，此即列车前进到1200m处的速率。 2.6.2 火车以200米/小时的速度驶入圆形轨道，其半径为300米。司机一进入圆弧形轨道立即减速，减速度为2g。求火车在何处的加速度最大？最大加速度是多少？解：沿火车运动的圆形轨道建立弧坐标o-s，t=0时，s=0,v=v0=200km/h=55.56m/s。据题意a= -2g，v=v0+at=v0 -2g t，an=v2/R=(v0 2gt)2/R。a=(a2+an2)1/2=4g2+(v0 2gt)4/R21/2，显然，t=0时，a最大， na302.6.3斗车在位于铅直平面内上下起伏的轨道上运动，当斗车达到图中所示位置时，轨道曲率半径为150m，斗车速率为50km/h，切向加速度a=0.4g，求斗车的加速度。解： B 120m C B v u L v 1 u 2A A第一次渡河矢量图 第二次渡河矢量图加速度与切向单位矢量夹角：北东4515v风地v机地v机风2.8.1 飞机在某高度的水平面上飞行，机身的方向是自东北向西南，与正西夹15角，风以100km/h的速率自西南向东北方向吹来，与正南夹45角，结果飞机向正西方向运动，求飞机相对于风的速度及相对于地面的速度。解：，由矢量图可知，其中，v风地=100km/h=27.78m/s，可求得：2.8.3 一卡车在平直路面上以恒速度30米/秒行驶，在此车上射出一个抛体，要求在车前进60米时，抛体仍落回到车上原抛出点，问抛体射出时相对于卡车的初速度的大小和方向，空气阻力不计。解：以卡车为参考系，设抛体初速为v0，由于要落回原抛出点，故方向只能竖直向上，即抛体相对车只能作竖直上抛运动。取向上方向为正，抛体相对车任意时刻速度 v = v0 - g t 由题意，抛体落回原地所需时间 t = 60/30 = 2(s)，落到车上时的速度 v = - v0 ，把数值代入中，可求得 v0 = 9.8 m/s.2.8.4 河的两岸互相平行，一船由A点朝与岸垂直的方向匀速驶去，经10min到达对岸C点。若船从A点出发仍按第一次渡河速率不变但垂直地到达彼岸的B点，需要12.5min。已知BC=120m. 求：河宽L；第二次渡河时船的速度；水流速度v.解：以船为运动质点，水为动系，岸为静系，由相对运动公式 由第一次渡河矢量图可知：v=BC/t1=120/600=0.2m/s, u = L / t1 , L = u t1 . 由第二次渡河矢量图可知：2 = L / t2 ， cos= 2/ u , v = u sin . 把、代入，求得 cos=t1/t2=600/750=4/5, sin=(1-cos2)1/2=3/5 把、代入，求得 u = 0.25/3 = 1/3 (m/s). 再把u的数值代入，求得L = 600/3 = 200(m).答：河宽200米，水流速度0.2米/秒；第二次渡河时，船对水的速度是1/3米，与河岸垂直方向所成角度=arccos(4/5)=3652.v1v2v12v130 2.8.5圆形公路与沿半径方向的东西向公路相交如图，某瞬时汽车甲向东以20km/h的速率行驶，汽车乙在=30的位置向东北方向以速率20km/h行驶，求此瞬时甲车相对乙车的速度。解：由相对运动公式：，显然矢量三角形为等边三角形，所以，v12=20km/h，方向向东偏南60