精华特殊平行四边形知识归纳和题型精讲

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1、八年级平行四边形及梯形的相关知识归纳平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定总表矩形菱形正方形平行四边形性质边对边平行且相等对边平行,四边相等对边平行,四边相等对边平行切相等角四个角都是直角对角相等四个角都是直角对角相等对角线互相平分且相等互相垂直平分,且每条对角线平分一组对角互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角对角线互相平分判定有三个角是直角;是平行四边形且有一个角是直角;是平行四边形且两条对角线相等.四边相等的四边形;是平行四边形且有一组邻边相等;是平行四边形且两条对角线互相垂直。是矩形,且有一组邻边相等;是菱形,且有一个角是直角。两组对边分别平行的四边形是平行四边形;两组对边分别

2、相等的四边形是平行四边形;对角线互相平分的四边形是平行四边形;两组对角分别相等的四边形是平行四边形;一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。对称性既是轴对称图形,又是中心对称图形中心对称平行四边形平行四边形的定义:有两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 平行四边形是中心对称图形,对称中心是对角线的交点性质(1)平行四边形对边平行且相等。(2)平行四边形两条对角线互相平分。(3)平行四边形的对角相等,邻角互补。判定(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形。(2)对角线互相平分的四边形是平行四边形。(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。(4)两组对边分别平行的四边形是平行四边形。(5)

3、两组对角分别相等的四边形是平行四边形常用辅助线的添法(1)连结对角线或平移对角线。(2)过顶点作对边的垂线构成直角三角形。(3)连结对角线交点与一边中点,或过对角线交点作一边的平行线,构成线段平行或中位线。(4)连结顶点与对边上一点的线段或延长这条线段,构造相似三角形或等积三角形。(5)过顶点作对角线的垂线,构成线段平行或三角形全等一. 矩形矩形定义: 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形或正方形).矩形是中心对称图形,对称中心是对角线的交点,矩形也是轴对称图形,对称轴是通过对边中点的直线,有两条对称轴;矩形的性质:(具有平行四边形的一切特征)矩形性质1: 矩形的四个角都是直角矩

4、形性质2: 矩形的对角线相等且互相平分 如图,在矩形ABCD中,AC、BD相交于点O,由性质2有AO=BO=CO=DO=AC=BD因此可以得到直角三角形的一个性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半矩形的判定方法矩形判定方法1:对角钱相等的平行四边形是矩形矩形判定方法2:有三个角是直角的四边形是矩形矩形判定方法3:有一个角是直角的平行四边形是矩形矩形判定方法4: 对角线相等且互相平分的四边形是矩形二菱形菱形定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形【强调】菱形(1)是平行四边形;(2)一组邻边相等菱形的性质性质1 菱形的四条边都相等;性质2 菱形的对角线互相平分,并且每条对角线平分一组对角;菱

5、形的判定菱形判定方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形注意此方法包括两个条件:(1)是一个平行四边形;(2)两条对角线互相垂直菱形判定方法2:四边都相等的四边形是菱形三正方形正方形是在平行四边形的前提下定义的,它包含两层意思:有一组邻边相等的平行四边形 (菱形)有一个角是直角的平行四边形 (矩形)正方形不仅是特殊的平行四边形,并且是特殊的矩形,又是特殊的菱形正方形定义:有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 正方形是中心对称图形,对称中心是对角线的交点,正方形又是轴对称图形,对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线,共有四条对称轴;因为正方形是平行四边形、矩形,又是菱形,所以它

6、的性质是它们性质的综合,正方形的性质总结如下:边:对边平行且相等,四边相等;角:四个角都是直角;对角线:对角线相等,互相垂直平分,每条对角线平分一组对角注意:正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,对角线与边的夹角是45;正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形,这是正方形的特殊性质正方形具有矩形的性质,同时又具有菱形的性质正方形的判定方法:(1) 有一个角是直角的菱形是正方形;(2)有一组邻边相等的矩形是正方形 (3)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 (4)四条边相等,四个角都是直角的四边形是正方形注意:1、正方形概念的三个要点: (1)是平行四边形;(2)

7、有一个角是直角;(3)有一组邻边相等 2、要确定一个四边形是正方形,应先确定它是菱形或是矩形,然后再加上相应的条件,确定是正方形.四梯形的辅助线:梯形中常用辅助线的添法梯形是一种特殊的四边形。它是平行四边形、三角形知识的综合,通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。辅助线的添加成为问题解决的桥梁,梯形中常用到的辅助线有:(1)在梯形内部平移一腰。(2)梯形外平移一腰(3)梯形内平移两腰 (4)延长两腰(5)过梯形上底的两端点向下底作高(6)平移对角线(7)连接梯形一顶点及一腰的中点。(8)过一腰的中点作另一腰的平行线。(9)作中位线当然在梯形的有关证明和计算中,添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的。通过辅助线这座桥梁,将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决,这是解决问题的关键。 口诀:梯形问题巧转换,变为和。平移腰,移对角,两腰延长作出高。如果出现腰中点,细心连上中位线。上述方法不奏效,过腰中点全等造。通常情况下,通过做辅助线,把梯形转化为三角形、平行四边形,是解梯形问题的基本思路。至于选取哪种方法,要结合题目图形和已知条件。常见的几种辅助线的作法如下:作法图形平移腰,转化为三角形、平行四边形。平移对角线。转化为三角形、平行四边形。延长两腰,转化为三角形。作高,转化为直角三角形和矩形。中位线与腰中点连线。

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