振动力学I多自由度系统的振动示范课件

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1、西南交通大学振动力学西南交通大学振动力学I多自由度系统的振动多自由度系统的振动2024年6月23日中国力学学会学术大会200522024年6月23日2声声 明明 本课件可供教师教学和学生学习中免费使用。本课件可供教师教学和学生学习中免费使用。本课件可供教师教学和学生学习中免费使用。本课件可供教师教学和学生学习中免费使用。不可用于任何商业目的。不可用于任何商业目的。不可用于任何商业目的。不可用于任何商业目的。本课件的部分内容参阅了本课件的部分内容参阅了本课件的部分内容参阅了本课件的部分内容参阅了上海交通大学陈国平上海交通大学陈国平上海交通大学陈国平上海交通大学陈国平教授和教授和教授和教授和太原科

2、技大学杨建伟太原科技大学杨建伟太原科技大学杨建伟太原科技大学杨建伟教授的课件，作者在此向二位教教授的课件，作者在此向二位教教授的课件，作者在此向二位教教授的课件，作者在此向二位教授表示衷心感谢。如该课件无意中损害了二位教授利授表示衷心感谢。如该课件无意中损害了二位教授利授表示衷心感谢。如该课件无意中损害了二位教授利授表示衷心感谢。如该课件无意中损害了二位教授利益，作者在此致歉。益，作者在此致歉。益，作者在此致歉。益，作者在此致歉。本课件以高淑英、沈火明编著的本课件以高淑英、沈火明编著的本课件以高淑英、沈火明编著的本课件以高淑英、沈火明编著的振动力学振动力学振动力学振动力学（中国（中国（中国（中

3、国铁道出版社，铁道出版社，铁道出版社，铁道出版社，2011201120112011年）的前四章为基础编写。年）的前四章为基础编写。年）的前四章为基础编写。年）的前四章为基础编写。感谢研究生蒋宝坤、王金梅在文字录入方面的工作感谢研究生蒋宝坤、王金梅在文字录入方面的工作感谢研究生蒋宝坤、王金梅在文字录入方面的工作感谢研究生蒋宝坤、王金梅在文字录入方面的工作2024/6/232振动力学振动力学kcm m建模方法建模方法1 1：将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑弹性和阻尼将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑弹性和阻尼要求：对轿车的上下振动进行动力学建模要求：对轿车的上下振动进行动力学建模例子：轿

4、车行驶在路面上会产生上下振动例子：轿车行驶在路面上会产生上下振动缺点：模型粗糙，没有考虑人与车、车与车轮、车轮与地面之缺点：模型粗糙，没有考虑人与车、车与车轮、车轮与地面之间的相互影响间的相互影响优点：模型简单优点：模型简单分析：人与车、车与车轮、车轮与地面之间的运动存在耦合分析：人与车、车与车轮、车轮与地面之间的运动存在耦合多自由度系统振动多自由度系统振动2024/6/233振动力学振动力学k2c2m m车车m m人人k1c1建模方法建模方法2 2：车、人的质量分别考虑，并考虑各自的弹车、人的质量分别考虑，并考虑各自的弹性和阻尼性和阻尼优点：模型较为精确，考虑了人与车之间的耦合优点：模型较为

5、精确，考虑了人与车之间的耦合缺点：没有考虑车与车轮、车轮与地面之间的相互影响缺点：没有考虑车与车轮、车轮与地面之间的相互影响多自由度系统振动多自由度系统振动2024/6/234振动力学振动力学m m人人k1c1k2c2m mk3c3k2c2k3c3m m车车m m轮轮m m轮轮建模方法建模方法3 3：车、人、车轮的质量分别考虑，车、人、车轮的质量分别考虑，并考虑各自的弹性和阻尼并考虑各自的弹性和阻尼优点：分别考虑了人与车、车与优点：分别考虑了人与车、车与车轮、车轮与地面之间的车轮、车轮与地面之间的相互耦合，模型较为精确相互耦合，模型较为精确问题：如何描述各个质量之间的相互耦合效应？问题：如何描

6、述各个质量之间的相互耦合效应？多自由度系统振动多自由度系统振动2024/6/235振动力学振动力学多自由度系统的振动多自由度系统的振动 用用N N个个独独立立坐坐标标可可以以完完全全描描述述其其在在空空间间位位置置的的系系统统，称称为为N N自由度系统，自由度系统，N2N2时的系统称为多自由度系统。时的系统称为多自由度系统。多自由度系统和单自由度系统的振动固有性质区别多自由度系统和单自由度系统的振动固有性质区别：1 1）单单自自由由度度系系统统受受初初始始扰扰动动，系系统统按按固固有有频频率率作作简简谐谐运运动；动；2 2）多自由度系统有多个固有频率；）多自由度系统有多个固有频率；多多自自由由

7、度度系系统统按按某某一一固固有有频频率率所所作作自自由由振振动动，称称为为主主振振动动，是是一一种种简简谐谐运运动动，多多自自由由度度系系统统有有多多个个主主振振动动。系系统统作作某某个个主主振振动动时时，任任何何瞬瞬时时各各点点位位移移间间具具有有一一定定的的相相对对比比值值，即即系系统统具具有有确确定定的的振振动动形形态态，称称为为主主振振型型（也也称称主主模模态态）。主振型是多自由度系统以及弹性体振动的重要特征。主振型是多自由度系统以及弹性体振动的重要特征。教学内容教学内容多自由度系统的振动多自由度系统的振动2024年6月23日振动力学7教学内容教学内容l两自由度系统的振动两自由度系统的

8、振动两自由度系统的振动两自由度系统的振动l多自由度系统的振动多自由度系统的振动多自由度系统的振动多自由度系统的振动l多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法2024/6/237振动力学振动力学教学内容教学内容多自由度系统的振动多自由度系统的振动2024年6月23日振动力学8l两自由度系统的振动两自由度系统的振动两自由度系统的振动两自由度系统的振动两自由度系统的振动方程两自由度系统的振动方程两自由度系统的振动方程两自由度系统的振动方程无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动耦合

9、与主坐标耦合与主坐标耦合与主坐标耦合与主坐标无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动阻尼对强迫振动的影响阻尼对强迫振动的影响阻尼对强迫振动的影响阻尼对强迫振动的影响2024/6/238振动力学振动力学多自由度系统的振动多自由度系统的振动/两自由度系统的振动两自由度系统的振动两自由度系统的振动两自由度系统的振动两自由度系统的振动两自由度系统的振动两两自自由由度度系系统统：用用两两个个独独立立坐坐标标可可以以完完全全描描述述其其在在空空间间位位置置的系统。的系统。2024/6/239振动力学振动力学多自由度系统的振动多自由度系统的振动研究多自由度系统振动的目

10、的：研究多自由度系统振动的目的：1 1）求系统的固有频率；）求系统的固有频率；2 2）了解系统的主振型。）了解系统的主振型。2024/6/23振动力学振动力学两自由度系统的振动方程两自由度系统的振动方程先看几个例子先看几个例子 例例1 1：双质量弹簧系统，两质量分别受到激振力：双质量弹簧系统，两质量分别受到激振力不计摩擦和其他形式的阻尼不计摩擦和其他形式的阻尼试建立系统的运动微分方程试建立系统的运动微分方程m1m2k3k1k2x1x2P1(t)P2(t)多自由度系统的振动多自由度系统的振动 /两自由度振动系统两自由度振动系统/动力学方程动力学方程2024/6/2311振动力学振动力学解：解：的

11、原点分别取在的原点分别取在 的静平衡位置的静平衡位置 建立坐标：建立坐标：设某一瞬时：设某一瞬时：上分别有位移上分别有位移加速度加速度受力分析：受力分析：P1(t)k1x1k2(x1-x2)m1P2(t)k2(x1-x2)m2k3x2m1m2k3k1k2x1x2P1(t)P2(t)多自由度系统的振动多自由度系统的振动 /两自由度振动系统两自由度振动系统/动力学方程动力学方程2024/6/2312振动力学振动力学建立方程：建立方程：矩阵形式：矩阵形式：力量纲力量纲坐标间的耦合项坐标间的耦合项 P1(t)k1x1k2(x1-x2)m1P2(t)k2(x1-x2)m2k3x2多自由度系统的振动多自由

12、度系统的振动 /两自由度振动系统两自由度振动系统/动力学方程动力学方程2024/6/2313振动力学振动力学例例2 2：转动运动：转动运动两圆盘两圆盘转动惯量转动惯量 轴的三个段的扭转刚度轴的三个段的扭转刚度 试建立系统的运动微分方程试建立系统的运动微分方程 外力矩外力矩 多自由度系统的振动多自由度系统的振动 /两自由度振动系统两自由度振动系统/动力学方程动力学方程2024/6/2314振动力学振动力学解：解：建立坐标：建立坐标：角位移角位移设某一瞬时：设某一瞬时：角加速度角加速度受力分析：受力分析：多自由度系统的振动多自由度系统的振动 /两自由度振动系统两自由度振动系统/动力学方程动力学方程

13、2024/6/2315振动力学振动力学59）称为主坐标变换式(坐标的模态变换）。2)，每个方程式中往往都有耦合项。多自由度系统的振动/多自由度振动系统/阻尼影响多自由度系统的振动/多自由度振动系统/对激励的响应多自由度系统的振动/多自由度振动系统/无阻尼自由振动根据它们的物理意义可以直接写出矩阵 M 和 K，从而建立作用力方程，这种方法称为影响系数方法。2）了解系统的主振型。车、人的质量分别考虑，并考虑各自的弹性和阻尼这时对m1沿x1正方向施加的是弹簧k1和k2的弹力之和。多自由度系统的振动/两自由度振动系统/动力学方程6）不能求得振幅A1与A2的具体数值。多自由度系统的振动/两自由度振动系统

14、/动力学方程柔度矩阵与刚度矩阵的关系：由 固有频率91）中第j项占主要成分，这时xi可近似为6）不能求得振幅A1与A2的具体数值。6 的结果，求振型矩阵 及与它对应的主质量阵 、主刚度阵 ，并求正则振型阵 及正则刚度阵 。两自由度系统的振动方程为讨论阻尼对主质量m1强迫振动的影响，计算 B1。下面以图3-9两自由系统为例说明阻尼建立方程：建立方程：矩阵形式：矩阵形式：坐标间的耦合项坐标间的耦合项 多自由度系统的振动多自由度系统的振动 /两自由度振动系统两自由度振动系统/动力学方程动力学方程2024/6/2316振动力学振动力学两自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同两自由度系统的角振动与

15、直线振动在数学描述上相同 如同在单自由度系统中做过的那样，在两自由度系统中如同在单自由度系统中做过的那样，在两自由度系统中也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)多自由度系统的振动多自由度系统的振动 /两自由度振动系统两自由度振动系统/动力学方程动力学方程2024/6/2317振动力学振动力学小结：小结：可统一表示为：可统一表示为：例例1 1：例例2 2：作用力方程作用力方程位位移移向向量量加加速速度度向向量量质质量量矩矩阵阵刚刚度度矩矩阵阵激激励励力力向向量量若系统有若系统有 n 个自由度，则各项

16、皆为个自由度，则各项皆为 n 维维 多自由度系统的振动多自由度系统的振动 /两自由度振动系统两自由度振动系统/动力学方程动力学方程2024/6/2318振动力学振动力学2024年6月23日振动力学19刚度矩阵和质量矩阵刚度矩阵和质量矩阵当当 M M、K K 确定后，系统动力方程可完全确定确定后，系统动力方程可完全确定M M、K K 该如何确定？该如何确定？作用力方程：作用力方程：先讨论先讨论 M M多自由度系统的振动多自由度系统的振动 /两自由度振动系统两自由度振动系统/动力学方程动力学方程2024/6/2319振动力学振动力学使使系系统统只只在在第第j个个坐坐标标上上产产生生单单位位加加速速

17、度度，而而在在其其他他坐坐标标上上不不产产生加速度所施加的一组外力，正是质量矩阵生加速度所施加的一组外力，正是质量矩阵M M的第的第j列列 结论：质量矩阵结论：质量矩阵M M中的元素中的元素 是使系统仅在第是使系统仅在第j个坐标上产生单个坐标上产生单位加速度而相应于第位加速度而相应于第i个坐标上所需施加的力个坐标上所需施加的力 又又分分别别称称为为质质量量影影响响系系数数和和刚刚度度影影响响系系数数。根根据据它它们们的的物物理理意意义义可可以以直直接接写写出出矩矩阵阵 M M 和和 K K，从从而而建建立立作作用用力力方方程程，这这种方法称为影响系数方法种方法称为影响系数方法 。多自由度系统的

18、振动多自由度系统的振动 /两自由度振动系统两自由度振动系统/动力学方程动力学方程2024/6/2320振动力学振动力学2024年6月23日振动力学21影响系数法影响系数法当当 M M、K K 确定后，系统动力方程可完全确定确定后，系统动力方程可完全确定M M、K K 该如何确定？该如何确定？作用力方程：作用力方程：先讨论先讨论 K K加速度为零加速度为零则：则：假设外力是以准静态方式施加于系统假设外力是以准静态方式施加于系统多自由度系统的振动多自由度系统的振动 /两自由度振动系统两自由度振动系统/动力学方程动力学方程2024/6/2321振动力学振动力学使使系系统统只只在在第第j个个坐坐标标上

19、上产产生生单单位位加加速速度度，而而在在其其他他坐坐标标上上不不产产生加速度所施加的一组外力，正是质量矩阵生加速度所施加的一组外力，正是质量矩阵M M的第的第j列列 结论：质量矩阵结论：质量矩阵M M中的元素中的元素 是使系统仅在第是使系统仅在第j个坐标上产生单个坐标上产生单位加速度而相应于第位加速度而相应于第i个坐标上所需施加的力个坐标上所需施加的力 又又分分别别称称为为质质量量影影响响系系数数和和刚刚度度影影响响系系数数。根根据据它它们们的的物物理理意意义义可可以以直直接接写写出出矩矩阵阵 M M 和和 K K，从从而而建建立立作作用用力力方方程程，这这种方法称为影响系数方法种方法称为影响

20、系数方法 。多自由度系统的振动多自由度系统的振动 /两自由度振动系统两自由度振动系统/动力学方程动力学方程2024/6/2322振动力学振动力学【例例3-33-3】用用刚刚度度影影响响系系数数法法，建建立立图图3-63-6所所示示的的两两自自由由度度系系统的运动微分方程。统的运动微分方程。【解解】用用力力使使质质量量块块m m1 1从从静静平平衡衡位位置置移移动动一一单单位位位位移移，同同时时用用力力制制住住 m m2 2不不动动。这这时时对对m m1 1沿沿x x1 1正正方方向向施施加加的的是是弹弹簧簧k k1 1和和k k2 2的的弹弹力力之之和和。因因位位移移为为1 1，因因此此弹弹力

21、力之之和和为为k k1 1+k+k2 2，即即k k1111=k=k1 1+k+k2 2，这这时时在在质质量量块块m m2 2上上施施加加的的力力的的大大小小等等于于k k2 2，方方向向与与x x1 1位移的方向相反，即位移的方向相反，即k k2121=-k=-k2 2。多自由度系统的振动多自由度系统的振动 /两自由度振动系统两自由度振动系统/动力学方程动力学方程2024/6/2323振动力学振动力学再再用用力力使使质质量量块块m m2 2离离开开静静平平衡衡位位置置单单位位位位移移，同同时时用用力力控控制制住住m m1 1不动，得不动，得k k2222=k=k2 2+k+k3 3，k k1

22、212=-k=-k2 2。将所得刚度影响系数代入将所得刚度影响系数代入,有有整理得整理得多自由度系统的振动多自由度系统的振动 /两自由度振动系统两自由度振动系统/动力学方程动力学方程2024/6/23振动力学振动力学上式即式上式即式(3.1)(3.1)。此式可用矩阵形式表示。此式可用矩阵形式表示或或式式中中 ,分分别别是是系系统统位位移移、加加速速度度列列阵阵，M M、K K分分别别是是系系统的质量矩阵和刚度矩阵。统的质量矩阵和刚度矩阵。从刚度矩阵可知，刚度影响系数从刚度矩阵可知，刚度影响系数k kijij 即为刚度矩阵即为刚度矩阵K K中一中一个元素。个元素。多自由度系统的振动多自由度系统的

23、振动 /两自由度振动系统两自由度振动系统/动力学方程动力学方程25振动力学振动力学例：双混合摆，两刚体质量例：双混合摆，两刚体质量质心质心绕通过自身质心的绕通过自身质心的 z 轴的转动惯量轴的转动惯量求：求：以微小转角以微小转角为坐标，写出在为坐标，写出在x-yx-y平面内摆动的作用力方程平面内摆动的作用力方程 两刚体质量两刚体质量h1C1C2h2lx xy y多自由度系统的振动多自由度系统的振动 /两自由度振动系统两自由度振动系统/动力学方程动力学方程2024/6/2326振动力学振动力学受力分析受力分析h1C1C2h2lx xy yx xy y多自由度系统的振动多自由度系统的振动 /两自由

24、度振动系统两自由度振动系统/动力学方程动力学方程2024/6/2327振动力学振动力学解：解：先求质量影响系数先求质量影响系数 令令有：有：令令有：有：y yh1C1C2h2lx x多自由度系统的振动多自由度系统的振动 /两自由度振动系统两自由度振动系统/动力学方程动力学方程2024/6/2328振动力学振动力学分别对两杆 O1、O2 求矩：多自由度系统的振动/两自由度振动系统/耦合与主坐标对于静定结构，有时通过柔度矩阵建立位移方程比通过刚度矩阵建立作用力方程来得更方便些。多自由度系统的振动/两自由度振动系统/动力学方程这时对m1沿x1正方向施加的是弹簧k1和k2的弹力之和。用振型矩阵AP，将

25、原坐标 x变成一组新坐标xp,即定义多自由度系统的振动/两自由度振动系统/动力学方程多自由度系统的振动/多自由度振动系统/主坐标与正则坐标多自由度系统的振动/两自由度振动系统/动力学方程与1对应的振幅比1，对应的主振型称为一阶主振型（主模态），与2对应的振幅比2，对应的主振型称为二阶主振型。63）进行坐标变换，得正则坐标 表示的自由振动方程（3.20），可由用实验或经验直接确定正则振型阻尼比j，再由CNj=2jj,求出CNj及CN。多自由度系统的振动/两自由度振动系统/耦合与主坐标则需要在两杆上施加力矩无质量弹性梁，有若干集中质量在正则坐标中，力列阵为多自由度系统的振动方程39）两端转置后右乘

26、 得主振型是多自由度系统以及弹性体振动的重要特征。分别对两杆 O1、O2 求矩：多自由度系统的振动/多自由度振动系统/对激励的响应令令有：有：令令有：有：质量矩阵：质量矩阵：多自由度系统的振动多自由度系统的振动 /两自由度振动系统两自由度振动系统/动力学方程动力学方程2024/6/2329振动力学振动力学求刚度影响系数求刚度影响系数由于恢复力是重力，所以实际上是求重力影响系数由于恢复力是重力，所以实际上是求重力影响系数 令令有：有：令令有：有：y yh1C1C2h2lx x多自由度系统的振动多自由度系统的振动 /两自由度振动系统两自由度振动系统/动力学方程动力学方程2024/6/2330振动力

27、学振动力学令令有：有：令令有：有：刚度矩阵：刚度矩阵：多自由度系统的振动多自由度系统的振动 /两自由度振动系统两自由度振动系统/动力学方程动力学方程2024/6/2331振动力学振动力学运动微分方程：运动微分方程：y yh1C1C2h2lx x多自由度系统的振动多自由度系统的振动 /两自由度振动系统两自由度振动系统/动力学方程动力学方程2024/6/2332振动力学振动力学例：例：求：求：以微小转角以微小转角为坐标，写出微摆动的运动学方程为坐标，写出微摆动的运动学方程 每杆质量每杆质量 m杆长度杆长度 l水平弹簧刚度水平弹簧刚度 k弹簧距离固定端弹簧距离固定端 akaO1O2多自由度系统的振动

28、多自由度系统的振动 /两自由度振动系统两自由度振动系统/动力学方程动力学方程2024/6/2333振动力学振动力学解：解：令：令：则需要在两杆上施加力矩则需要在两杆上施加力矩分别对两杆分别对两杆 O1、O2 求矩：求矩：令：令：则需要在两杆上施加力矩则需要在两杆上施加力矩分别对两杆分别对两杆 O1、O2 求矩：求矩：aO1O2aO1O2多自由度系统的振动多自由度系统的振动 /两自由度振动系统两自由度振动系统/动力学方程动力学方程2024/6/2334振动力学振动力学刚度矩阵：刚度矩阵：aO1O2aO1O2多自由度系统的振动多自由度系统的振动 /两自由度振动系统两自由度振动系统/动力学方程动力学

29、方程2024/6/2335振动力学振动力学令：令：则需要在两杆上施加力矩则需要在两杆上施加力矩令：令：则需要在两杆上施加力矩则需要在两杆上施加力矩质量矩阵：质量矩阵：aO1O2kaO1O2k多自由度系统的振动多自由度系统的振动 /两自由度振动系统两自由度振动系统/动力学方程动力学方程2024/6/2336振动力学振动力学运动学方程：运动学方程：kaO1O2多自由度系统的振动多自由度系统的振动 /两自由度振动系统两自由度振动系统/动力学方程动力学方程2024/6/2337振动力学振动力学例：两自由度系统例：两自由度系统摆长摆长 l，无质量，微摆动，无质量，微摆动求：运动微分方程求：运动微分方程x

30、m m1 1k1k2多自由度系统的振动多自由度系统的振动 /两自由度振动系统两自由度振动系统/动力学方程动力学方程2024/6/2338振动力学振动力学解：解：先求解刚度矩阵先求解刚度矩阵令：令：令：令：m m1 1k1k2m m1 1k1k2多自由度系统的振动多自由度系统的振动 /两自由度振动系统两自由度振动系统/动力学方程动力学方程2024/6/2339振动力学振动力学将各阶主振型列阵，依序排成构成一个 阶矩阵弹簧距离固定端 a多自由度系统的振动/多自由度振动系统/对激励的响应2)，每个方程式中往往都有耦合项。若x1和x2分别为m1和m2的位移，k1、k2、k3 分别是连接弹簧刚度，则系统

31、的运动方程为又分别称为质量影响系数和刚度影响系数。两自由度系统的振动方程多自由度系统的振动/多自由度振动系统/初始条件响应多自由度系统的振动/多自由度振动系统/阻尼影响再将 代入（a）中第一、二式，并取在正则坐标中，力列阵为多自由度系统的振动/多自由度振动系统/主坐标与正则坐标两自由度系统：用两个独立坐标可以完全描述其在空间位置的系统。【解】取两摆离开铅垂平衡的角位移1与2为独立坐标，以逆时针方向为正。在例3-1中，若以弹簧支承处的位移x1与x2为独立坐标来建立振动方程，x1、x2与x、关系如下：为讨论阻尼对主质量m1强迫振动的影响，计算 B1。多自由度系统的振动/两自由度振动系统/无阻尼强迫

32、振动为讨论阻尼对主质量m1强迫振动的影响，计算 B1。刚度矩阵：刚度矩阵：多自由度系统的振动多自由度系统的振动 /两自由度振动系统两自由度振动系统/动力学方程动力学方程2024/6/2340振动力学振动力学求解质量矩阵求解质量矩阵令：令：令：令：m m1 1k1k2惯性力惯性力m m1 1k1k2惯性力惯性力多自由度系统的振动多自由度系统的振动 /两自由度振动系统两自由度振动系统/动力学方程动力学方程2024/6/2341振动力学振动力学质量矩阵：质量矩阵：xm m1 1k1k2刚度矩阵：刚度矩阵：运动微分方程：运动微分方程：多自由度系统的振动多自由度系统的振动 /两自由度振动系统两自由度振动

33、系统/动力学方程动力学方程2024/6/2342振动力学振动力学位移方程和柔度矩阵位移方程和柔度矩阵对对于于静静定定结结构构，有有时时通通过过柔柔度度矩矩阵阵建建立立位位移移方方程程比比通通过过刚刚度度矩矩阵阵建立作用力方程来得更方便些。建立作用力方程来得更方便些。柔度定义为弹性体在单位力作用下产生的变形柔度定义为弹性体在单位力作用下产生的变形物理意义及量纲与刚度恰好相反物理意义及量纲与刚度恰好相反 以一个例子说明位移方程的建立以一个例子说明位移方程的建立 x1m1x2m2P1P2无质量弹性梁，有若干集中质量无质量弹性梁，有若干集中质量（质量连续分布的弹性梁的简化（质量连续分布的弹性梁的简化

34、）假设假设是常力是常力 以准静态方式作用在梁上以准静态方式作用在梁上 梁只产生位移（即挠度），不产生加速度梁只产生位移（即挠度），不产生加速度 取质量取质量的静平衡位置为坐标的静平衡位置为坐标的原点的原点 多自由度系统的振动多自由度系统的振动 /两自由度振动系统两自由度振动系统/动力学方程动力学方程2024/6/2343振动力学振动力学m1 位移：位移：m2 位移：位移：时时（1 1）时时（2 2）m1 位移：位移：m2 位移：位移：同时作用同时作用（3 3）m1 位移：位移：m2 位移：位移：f11f21P1=1f12f22P2=1x1m1x2m2P1P2多自由度系统的振动多自由度系统的振动

35、 /两自由度振动系统两自由度振动系统/动力学方程动力学方程2024/6/2344振动力学振动力学 同时作用时：同时作用时：矩阵形式：矩阵形式：其中：其中：柔度矩阵柔度矩阵物理意义：物理意义：系统仅在第系统仅在第 j 个坐标受到个坐标受到单位力作用时相应于第单位力作用时相应于第 i i 个坐标上产生的位移个坐标上产生的位移 柔度影响系数柔度影响系数 f11f21P1=1f12f22P2=1x1m1x2m2P1P2多自由度系统的振动多自由度系统的振动 /两自由度振动系统两自由度振动系统/动力学方程动力学方程2024/6/2345振动力学振动力学当当 是动载荷时是动载荷时集中质量上有惯性力存在集中质

36、量上有惯性力存在 位移方程位移方程x1m1x2m2P1P2m1m2P1(t)P2(t)多自由度系统的振动多自由度系统的振动 /两自由度振动系统两自由度振动系统/动力学方程动力学方程2024/6/2346振动力学振动力学位移方程：位移方程：又可：又可：作用力方程：作用力方程：若若K K非奇异非奇异柔度矩阵与刚度矩阵的关系：柔度矩阵与刚度矩阵的关系：或：或：多自由度系统的振动多自由度系统的振动 /两自由度振动系统两自由度振动系统/动力学方程动力学方程2024/6/2347振动力学振动力学对于允许刚体运动产生的系统（即具有刚体自由度的系统），对于允许刚体运动产生的系统（即具有刚体自由度的系统），柔度

37、矩阵不存在柔度矩阵不存在应当注意：应当注意：位移方程不适用于具有刚体自由度的系统位移方程不适用于具有刚体自由度的系统位移方程不适用于具有刚体自由度的系统位移方程不适用于具有刚体自由度的系统m1m2k1k2m3原因：在任意一个坐标上施加单位力，系统将产生刚体运动原因：在任意一个坐标上施加单位力，系统将产生刚体运动而无法计算各个坐标上的位移而无法计算各个坐标上的位移刚度矩阵刚度矩阵 K K 奇异奇异多自由度系统的振动多自由度系统的振动 /两自由度振动系统两自由度振动系统/动力学方程动力学方程2024/6/2348振动力学振动力学例：例：求图示两自由度简支梁横向振动的位移方程求图示两自由度简支梁横向

38、振动的位移方程 已知梁的抗弯刚度矩阵为已知梁的抗弯刚度矩阵为x1x2l/3l/3l/3m1m2P1(t)P2(t)多自由度系统的振动多自由度系统的振动 /两自由度振动系统两自由度振动系统/动力学方程动力学方程2024/6/2349振动力学振动力学由材料力学知，由材料力学知，当当B B点作用有单位力时，点作用有单位力时，A A点的挠度为：点的挠度为：柔度影响系数：柔度影响系数：柔度矩阵：柔度矩阵：位移方程：位移方程：x1x2l/3l/3l/3m1m2P1(t)P2(t)labABP=1多自由度系统的振动多自由度系统的振动 /两自由度振动系统两自由度振动系统/动力学方程动力学方程2024/6/23

39、50振动力学振动力学质量矩阵和刚度矩阵的正定性质质量矩阵和刚度矩阵的正定性质n 阶方阵阶方阵 A A 正定正定并且等号仅在并且等号仅在时才成立时才成立 是指对于任意的是指对于任意的 n 维列向量维列向量 y y，总有，总有 成立成立如果如果时，等号也成立，那么称矩阵时，等号也成立，那么称矩阵 A A 是半正定的是半正定的 根据分析力学的结论，对于定常约束系统：根据分析力学的结论，对于定常约束系统：动能：动能：势能：势能：多自由度系统的振动多自由度系统的振动 /两自由度振动系统两自由度振动系统/动力学方程动力学方程2024/6/2351振动力学振动力学质量矩阵和刚度矩阵的正定性质质量矩阵和刚度矩

40、阵的正定性质n 阶方阵阶方阵 A A 正定正定并且等号仅在并且等号仅在时才成立时才成立 是指对于任意的是指对于任意的 n 维列向量维列向量 y y，总有，总有 成立成立如果如果时，等号也成立，那么称矩阵时，等号也成立，那么称矩阵 A A 是半正定的是半正定的 动能：动能：除非除非所以，所以，正定正定即：即：多自由度系统的振动多自由度系统的振动 /两自由度振动系统两自由度振动系统/动力学方程动力学方程2024/6/2352振动力学振动力学质量矩阵和刚度矩阵的正定性质质量矩阵和刚度矩阵的正定性质n 阶方阵阶方阵 A A 正定正定并且等号仅在并且等号仅在时才成立时才成立 是指对于任意的是指对于任意的

41、 n 维列向量维列向量 y y，总有，总有 成立成立如果如果时，等号也成立，那么称矩阵时，等号也成立，那么称矩阵 A A 是半正定的是半正定的 势能：势能：对于仅具有稳定平衡位置的系统，势能在平衡位置上取极小值对于仅具有稳定平衡位置的系统，势能在平衡位置上取极小值 V 0 当各个位移当各个位移不全为零时，不全为零时，K K 正定正定K K 0对于具有随遇平衡位置的系统，存在刚体位移对于具有随遇平衡位置的系统，存在刚体位移对于不全为零的位移对于不全为零的位移 存在存在 V 0 K K 半正定半正定多自由度系统的振动多自由度系统的振动 /两自由度振动系统两自由度振动系统/动力学方程动力学方程202

42、4/6/2353振动力学振动力学振动问题中主要讨论振动问题中主要讨论 K K 阵正定的系统及阵正定的系统及 K K 阵半正阵半正定的系统，前者称为正定振动系统，后者称为半正定的系统，前者称为正定振动系统，后者称为半正定振动系统定振动系统 多自由度系统的振动多自由度系统的振动 /两自由度振动系统两自由度振动系统/动力学方程动力学方程2024/6/2354振动力学振动力学2024年6月23日振动力学55教学内容教学内容多自由度系统的振动多自由度系统的振动/两自由度系统的振动两自由度系统的振动2024年6月23日振动力学55l两自由度系统的振动两自由度系统的振动两自由度系统的振动两自由度系统的振动两

43、自由度系统的振动方程两自由度系统的振动方程两自由度系统的振动方程两自由度系统的振动方程无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动耦合与主坐标耦合与主坐标耦合与主坐标耦合与主坐标无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动阻尼对强迫振动的影响阻尼对强迫振动的影响阻尼对强迫振动的影响阻尼对强迫振动的影响2024/6/2355振动力学振动力学无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动 图图3-2 3-2 示是一两自由度无阻尼系统的力学模型。示是一两自由度无阻尼系统的力学模型。若若x x1 1和和x x2 2分分别别为为m m1

44、1和和m m2 2的的位位移移，k k1 1、k k2 2 、k k3 3 分分别别是是连连接接弹弹簧刚度，则系统的运动方程为簧刚度，则系统的运动方程为多自由度系统的振动多自由度系统的振动/两自由度振动系统两自由度振动系统/无阻尼自由振动无阻尼自由振动2024/6/2356振动力学振动力学或或其矩阵形式为其矩阵形式为 设设系系统统每每个个质质量量作作同同一一频频率率的的谐谐振振动动且且同同时时通通过过平平衡衡位位置置,则则式中振幅式中振幅A A1 1、A A2 2 ，频率频率和相位角和相位角为待定常数。为待定常数。式（式（3.43.4）代入（）代入（3.23.2），有），有多自由度系统的振动多

45、自由度系统的振动/两自由度振动系统两自由度振动系统/无阻尼自由振动无阻尼自由振动2024/6/2357振动力学振动力学于是式（于是式（3.53.5）可简写为）可简写为上述方程中上述方程中A A1 1，A A2 2要有非零解，其充分必要条件为要有非零解，其充分必要条件为展开后得展开后得多自由度系统的振动多自由度系统的振动/两自由度振动系统两自由度振动系统/无阻尼自由振动无阻尼自由振动2024/6/23振动力学振动力学上上式式称称为为系系统统的的频频率率方方程程或或特特征征方方程程。显显然然，方方程程有有两两个个特特征根，即征根，即 1 12 2和和 2 22 2是是两两个个正正实实根根，它它们们

46、反反映映系系统统本本身身的的物物理理性性质质（质质量量和和弹弹簧簧刚刚度度），称称为为振振动动系系统统的的固固有有频频率率。较较低低的的一一个个称称为为一一阶阶固固有有频频率率，简简称称基基频频；较较高高的的一一个个称称为为二二阶阶固固有有颇率。颇率。多自由度系统的振动多自由度系统的振动/两自由度振动系统两自由度振动系统/无阻尼自由振动无阻尼自由振动2024/6/23振动力学振动力学分分别别将将1 12 2 与与2 22 2代代回回方方程程（3.63.6）。由由于于方方程程（3.63.6）的的系系数数行行列列式式为为零零，方方程程中中的的两两式式彼彼此此不不独独立立。由由方方程程（3.63.6

47、）不不能能求求得得振振幅幅A A1 1与与A A2 2的的具具体体数数值值。但但可可将将特特征征值值1 12 2 与与2 22 2 分分别别代代回回方方程程(3.6)(3.6)中中任任一一式式，可可求求得得对对应应于于每每一一固固有有频频率率的的振振幅幅比比,以以 1 1和和 2 2表示，即表示，即 可见，虽然振幅的大小与初始条件有关可见，虽然振幅的大小与初始条件有关,但系统按任一但系统按任一多自由度系统的振动多自由度系统的振动/两自由度振动系统两自由度振动系统/无阻尼自由振动无阻尼自由振动2024/6/23振动力学振动力学固固有有频频率率振振动动时时，其其振振幅幅比比和和固固有有频频率率一一

48、样样只只决决定定于于系系统统本本身身的的物物理理性性质质，同同时时两两个个质质量量任任一一瞬瞬时时的的位位移移比比值值x x2 2/x/x1 1也也是是确定的，等于振幅比。确定的，等于振幅比。振振幅幅比比决决定定了了整整个个系系统统振振动动形形态态，该该振振动动形形态态对对应应的的图图形形称称为为主主振振型型(模模态态），称称为为第第i i阶阶振振型型列列阵阵。与与1 1对对应应的的振振幅幅比比1 1，对对应应的的主主振振型型称称为为一一阶阶主主振振型型（主主模模态态），与与2 2对对应应的的振振幅幅比比2 2，对对应应的的主主振振型型称称为为二二阶阶主主振振型型。将将 1 1与与 2 2代入

49、（代入（3.83.8），得），得多自由度系统的振动多自由度系统的振动/两自由度振动系统两自由度振动系统/无阻尼自由振动无阻尼自由振动2024/6/23振动力学振动力学 可可见见，当当系系统统以以频频率率 1 1振振动动时时，质质量量块块m m1 1、m m2 2总总是是按按同同一一方方向向运运动动，而而当当系系统统以以频频率率2 2 振振动动时时,则则两两质质量量按按相相反反的的方向运动。方向运动。系系统统以以某某一一阶阶固固有有频频率率按按其其相相应应的的主主振振型型振振动动，称称为为系系统的主振动。第一阶主振动为统的主振动。第一阶主振动为第二阶主振动为第二阶主振动为多自由度系统的振动多自由

50、度系统的振动/两自由度振动系统两自由度振动系统/无阻尼自由振动无阻尼自由振动2024/6/23振动力学振动力学 可可见见系系统统的的每每一一阶阶主主振振动动，都都是是具具有有确确定定频频率率和和振振型型的简谐振动。的简谐振动。系系统统在在一一般般情情况况下下的的运运动动即即微微分分方方程程组组（3.23.2）的的通通解解是（是（3.103.10）和（）和（3.113.11）两种主振动的叠加，即）两种主振动的叠加，即 在在一一般般情情况况下下，系系统统的的自自由由振振动动是是两两种种不不同同频频率率的的主主振振动的叠加，其结果不一定是简谐振动。动的叠加，其结果不一定是简谐振动。多自由度系统的振动

51、多自由度系统的振动/两自由度振动系统两自由度振动系统/无阻尼自由振动无阻尼自由振动2024/6/2363振动力学振动力学【例例3-13-1】车车辆辆振振动动在在简简单单计计算算中中可可简简化化为为一一根根刚刚性性杆杆（车车体体）支支承承在在弹弹簧簧（悬悬挂挂弹弹簧簧或或轮轮胎胎）上上，作作上上下下垂垂直直振振动动和和绕绕刚刚性性杆杆质质心心的的前前后后俯俯仰仰振振动动如如图图3-33-3。设设刚刚性性杆杆质质量量为为m m，两两端端弹弹簧簧刚刚度度为为k k1 1、k k2 2 ,杆杆质质心心C C与与弹弹簧簧k k1 1、k k2 2 的的距距离离为为l l1 1与与l l2 2,杆杆绕绕过

52、过质质心心并并垂垂直直于于纸纸面面轴轴的的转转动动惯惯量量为为J Jc c。求求此此系系统的固有频率，并分析统的固有频率，并分析k k2 2l l2 2kk1 1l l1 1 时的主振型。时的主振型。多自由度系统的振动多自由度系统的振动/两自由度振动系统两自由度振动系统/无阻尼自由振动无阻尼自由振动2024/6/23振动力学振动力学【解解】以以质质心心垂垂直直位位移移x x(向向下下为为正正）及及杆杆绕绕质质心心的的转转角角 (顺顺针针向向为为正正)为为两两个个独独立立坐坐标标,x,x的的坐坐标标原原点点取取在在静静平平衡衡位位置置，前前后后弹弹簧簧作作用用在在杆杆上上的的弹弹性性力力如如图图

53、3.3(b)3.3(b)。由由刚刚体体平平面运动方程得面运动方程得整理得整理得记记多自由度系统的振动多自由度系统的振动/两自由度振动系统两自由度振动系统/无阻尼自由振动无阻尼自由振动2024/6/23振动力学振动力学得得系统的固有频率为系统的固有频率为 振幅比将是角位移振幅比将是角位移 与垂直位移与垂直位移x x的比值。的比值。当当k k2 2l l2 2kk1 1l l2 2 时，时，b b00，c0,c0,由式由式(3.8)(3.8)可知可知 第一阶主振动时，第一阶主振动时，x x与与同时朝正向或同时朝负向运动，而同时朝正向或同时朝负向运动，而第二阶主振动时，第二阶主振动时，x x与与是反

54、向运动。是反向运动。多自由度系统的振动多自由度系统的振动/两自由度振动系统两自由度振动系统/无阻尼自由振动无阻尼自由振动2024/6/23振动力学振动力学实际中，振幅比的绝对值实际中，振幅比的绝对值 ，表明两种振动如以相同的角位移表明两种振动如以相同的角位移作比较，第一阶主振动的作比较，第一阶主振动的质心位移远大于第二阶主振动的质心位移，也就是第一阶主质心位移远大于第二阶主振动的质心位移，也就是第一阶主振动以上下垂直振动为主，其振型如图振动以上下垂直振动为主，其振型如图3-43-4（a a），第二阶主），第二阶主振动以杆绕质心轴的俯仰振动为主，其主振动如图振动以杆绕质心轴的俯仰振动为主，其主振

55、动如图3-4(b)3-4(b)。多自由度系统的振动多自由度系统的振动/两自由度振动系统两自由度振动系统/无阻尼自由振动无阻尼自由振动2024/6/2367振动力学振动力学2024年6月23日振动力学682024年6月23日振动力学68教学内容教学内容2024年6月23日振动力学68l两自由度系统的振动两自由度系统的振动两自由度系统的振动两自由度系统的振动两自由度系统的振动方程两自由度系统的振动方程两自由度系统的振动方程两自由度系统的振动方程无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动耦合与主坐标耦合与主坐标耦合与主坐标耦合与主坐标无阻尼系统的强迫振动无阻尼系

56、统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动阻尼对强迫振动的影响阻尼对强迫振动的影响阻尼对强迫振动的影响阻尼对强迫振动的影响多自由度系统的振动多自由度系统的振动/两自由度振动系统两自由度振动系统/耦合与主坐标耦合与主坐标耦合与主坐标耦合与主坐标2024/6/2368振动力学振动力学耦合与主坐标耦合与主坐标 一般情况下两自由度系统振动方程如一般情况下两自由度系统振动方程如(3.2)(3.2)，每个方程，每个方程式中往往都有耦合项。这种坐标式中往往都有耦合项。这种坐标x x1 1和和x x2 2之间有耦合的情况称之间有耦合的情况称为静力耦合或弹性耦合。为静力耦合或弹性耦合。在例在例3-13

57、-1中，若以弹簧支承处的位移中，若以弹簧支承处的位移x x1 1与与x x2 2为独立坐标为独立坐标来建立振动方程，来建立振动方程，x x1 1、x x2 2与与x x、关系如下：关系如下：转换后得转换后得多自由度系统的振动多自由度系统的振动/两自由度振动系统两自由度振动系统/耦合与主坐标耦合与主坐标耦合与主坐标耦合与主坐标2024/6/23振动力学振动力学将上式代入刚体平面运动微分方程将上式代入刚体平面运动微分方程有有整理得整理得多自由度系统的振动多自由度系统的振动/两自由度振动系统两自由度振动系统/耦合与主坐标耦合与主坐标耦合与主坐标耦合与主坐标2024/6/23振动力学振动力学上面的方程

58、中不仅坐标上面的方程中不仅坐标x x1 1和和x x2 2有耦合，而且加速度有耦合，而且加速度 的的项项也也有有耦耦合合，这这种种加加速速度度之之间间有有耦耦合合的的情情况况，称称为为动动力力耦合或惯性耦合。耦合或惯性耦合。选选取取坐坐标标使使振振动动方方程程组组中中的的耦耦合合项项全全等等于于零零（既既无无静静力力耦耦合合，又又无无动动力力耦耦合合），是是系系统统相相当当于于两两个个单单自自由由度度系系统，这时的坐标就称为主坐标。统，这时的坐标就称为主坐标。选选取取不不同同的的独独立立坐坐标标时时，虽虽然然振振动动方方程程形形式式不不同同，但但坐标的转换并不影响固有频率的计算结果。坐标的转换

59、并不影响固有频率的计算结果。多自由度系统的振动多自由度系统的振动/两自由度振动系统两自由度振动系统/耦合与主坐标耦合与主坐标耦合与主坐标耦合与主坐标2024/6/23振动力学振动力学 在例在例3-13-1中，是以中，是以x x与与 为两个独立坐标。如果为两个独立坐标。如果k k1 1l l1 1=k=k2 2l l2 2,则则b=c=0b=c=0，则式，则式(3.2)(3.2)中的耦合项均为零，简化成中的耦合项均为零，简化成相当于两单自由度系统各自独立作不同固有频率的主振动相当于两单自由度系统各自独立作不同固有频率的主振动:这时这时x x与与 就是主坐标。就是主坐标。多自由度系统的振动多自由度

60、系统的振动/两自由度振动系统两自由度振动系统/耦合与主坐标耦合与主坐标耦合与主坐标耦合与主坐标2024/6/2372振动力学振动力学【例例3-23-2】长长为为l l质质量量为为m m的的两两个个相相同同的的单单摆摆。用用刚刚度度为为k k的的弹弹簧簧相相连连，如如图图3-5(a)3-5(a)。设设弹弹簧簧原原长长为为ABAB，杆杆重重不不计计，试试分分析两摆在图示平面内作微振动时的固有频率和主振型。析两摆在图示平面内作微振动时的固有频率和主振型。【解解】取取两两摆摆离离开开铅铅垂垂平平衡衡的的角角位位移移1 1与与2 2为为独独立立坐坐标标，以以逆逆时时针针方方向向为为正正。任任一一瞬瞬时时

61、位位置置，两两个个摆摆上上所所受受的的力力如如图图3-3-5(b)5(b)。系统作微振动时，其运动微分方程为。系统作微振动时，其运动微分方程为多自由度系统的振动多自由度系统的振动/两自由度振动系统两自由度振动系统/耦合与主坐标耦合与主坐标耦合与主坐标耦合与主坐标2024/6/23振动力学振动力学或或此方程组与式此方程组与式(3.1)(3.1)形式相同，频率方程为形式相同，频率方程为固有频率为固有频率为多自由度系统的振动多自由度系统的振动/两自由度振动系统两自由度振动系统/耦合与主坐标耦合与主坐标耦合与主坐标耦合与主坐标2024/6/23振动力学振动力学相应有相应有将将(a)(a)式两个方程相加

62、和相减后得一组新的方程：式两个方程相加和相减后得一组新的方程：取取 1 1=1 1+2 2，2 2=1 1-2 2上列方程可转换为上列方程可转换为或或多自由度系统的振动多自由度系统的振动/两自由度振动系统两自由度振动系统/耦合与主坐标耦合与主坐标耦合与主坐标耦合与主坐标2024/6/23振动力学振动力学2024年6月23日振动力学762024年6月23日振动力学762024年6月23日振动力学762024年6月23日振动力学762024年6月23日振动力学76作业作业第第第第94949494页页页页3.1,3.23.1,3.23.1,3.23.1,3.2多自由度系统的振动多自由度系统的振动/两

63、自由度系统的振动两自由度系统的振动2024/6/2376振动力学振动力学2024年6月23日振动力学772024年6月23日振动力学77教学内容教学内容2024年6月23日振动力学77l两自由度系统的振动两自由度系统的振动两自由度系统的振动两自由度系统的振动两自由度系统的振动方程两自由度系统的振动方程两自由度系统的振动方程两自由度系统的振动方程无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动耦合与主坐标耦合与主坐标耦合与主坐标耦合与主坐标无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动阻尼对强迫振动的影响阻尼对强迫振动的影响阻尼对

64、强迫振动的影响阻尼对强迫振动的影响多自由度系统的振动多自由度系统的振动/两自由度系统的振动两自由度系统的振动2024/6/2377振动力学振动力学3.3.无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动 如如图图3-73-7，设设两两质质量量是是分分别别在在简简谐谐激激振振力力F F1 1sinsint t和和F F2 2sinsint t 作用下运动。系统强迫振动方程作用下运动。系统强迫振动方程多自由度系统的振动多自由度系统的振动/两自由度振动系统两自由度振动系统/无阻尼强迫振动无阻尼强迫振动2024/6/23方程（方程（3.163.16）写为）写为由由于于阻阻尼尼的的存存在在，其其齐齐次次方方程程

65、解解在在一一段段时时间间以以后后就就逐逐渐渐衰衰减减掉掉。非非齐齐次次的的特特解解则则是是稳稳态态阶阶段段的的等等幅幅振振动动，系系统统按按与与激振力相同的频率激振力相同的频率 作强迫振动。设其解为作强迫振动。设其解为式中振幅式中振幅B B1 1、B B2 2为待定常数，代入式（为待定常数，代入式（3.173.17），有），有多自由度系统的振动多自由度系统的振动/两自由度振动系统两自由度振动系统/无阻尼强迫振动无阻尼强迫振动2024/6/2379振动力学振动力学则系数行列式为则系数行列式为式中式中1 1、2 2为系统的两个固有频率。有为系统的两个固有频率。有 将将 B B1 1、B B2 2代

66、代回回得得系系统统在在激激振振力力作作用用下下的的稳稳态态响响应应，是是与激振力的频率相同的简谐振动。其振幅不仅与激振力的频率相同的简谐振动。其振幅不仅多自由度系统的振动多自由度系统的振动/两自由度振动系统两自由度振动系统/无阻尼强迫振动无阻尼强迫振动2024/6/23振动力学振动力学取决于激振力的振幅取决于激振力的振幅F F1 1与与F F2 2，特别与系统的固有频率和激振，特别与系统的固有频率和激振频率之比有较大关系。当激振频率频率之比有较大关系。当激振频率 等于等于1 1或或2 2时，系统时，系统振幅无限增大，即为共振。两自由度系统的强迫振动有两个振幅无限增大，即为共振。两自由度系统的强迫振动有两个共振颇率。共振颇率。两质量的振幅比为两质量的振幅比为可可见见在在一一定定激激振振力力的的幅幅值值和和频频率率下下，振振幅幅比比是是定定值值，也也就就是是说说系系统统具具有有一一定定的的振振型型。当当激激振振频频率率等等于于第第一一阶阶固固有有频频率率 1 1时，振幅比为时，振幅比为多自由度系统的振动多自由度系统的振动/两自由度振动系统两自由度振动系统/无阻尼强迫振动无阻尼强迫振动202