最新大学物理第九章振动学基础ppt课件

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1、大学物理第九章振动学基大学物理第九章振动学基础础 9-0 9-0 教学基本要求教学基本要求 9-1 9-1 简谐振动的规律简谐振动的规律 9-2 9-2 简谐振动的描述简谐振动的描述 9-3 9-3 简谐振动的合成简谐振动的合成第九章第九章 振动学基础振动学基础其中其中toT2TvatoT2T称为称为速度幅值速度幅值和和加速度幅值加速度幅值.总是和总是和方向相反方向相反A4T2T43TE(5)(5)振动曲线振动曲线 振动曲线振动曲线从图可见,从图可见,动能动能和和势能势能的变化频率是的变化频率是位移位移变化变化频率的频率的2 2倍,总能量并不改变。倍,总能量并不改变。曲线曲线t tT TE E

2、p pE Ek kt to oT T3.3.简谐振动的定义简谐振动的定义4 4.简谐振动的判据简谐振动的判据(1)(1)运动的微分方程运动的微分方程(定义式定义式).).(2)(2)机械振动也可用其受力特征或运动特征判断机械振动也可用其受力特征或运动特征判断.任任一一物理量物理量x随时间随时间t的变化关系如果满足微分方程的变化关系如果满足微分方程 其其中中 是是系系统统固固有有性性质质决决定定的的常常数数,则则此此物物理理量量作作简简谐运动谐运动.二、二、简谐振动的固有周期简谐振动的固有周期周期周期频率频率振动往复一次所需时间振动往复一次所需时间.角频率角频率都表示简谐运动的周期性,反映振动的

3、都表示简谐运动的周期性,反映振动的快慢快慢.弹簧振子固有周期弹簧振子固有周期由由物体不再作简谐振动。物体不再作简谐振动。当当 角不是很小时,角不是很小时,T TG GGcosGcos GsinGsin 单摆单摆例例:质量为质量为m长度为长度为l的均匀细棒,绕的均匀细棒,绕O点作小角度摆点作小角度摆动动.求振动周期求振动周期.重力矩重力矩“”“”表示力矩与逆时针表示力矩与逆时针张角张角方向方向相反相反.解解:当当时时,O令令得到得到振动微分方程振动微分方程由由表明棒作角简谐振动表明棒作角简谐振动三、三、谐振子模型谐振子模型 符符合合简简谐谐振振动动微微分分方方程程的的振振动动体体称称为为谐谐振振

4、子子,它它是是振振动动学学的的研研究究基基础础.弹弹簧簧振振子子、无无阻阻尼尼LC振振荡荡电电路路等等是是典典型型的的经经典典谐谐振振子子模模型型,依依据据量量子子物物理理研研究究微微观观谐振子可揭示其能量量子化谐振子可揭示其能量量子化.9-2 简谐振动的描述简谐振动的描述预习要点预习要点1.简谐振动的振幅和初相位由哪些因素决定简谐振动的振幅和初相位由哪些因素决定?如何确如何确定它们的数值?定它们的数值?2.注意相位在描述振动中的特殊而重要的作用注意相位在描述振动中的特殊而重要的作用.3.注意领会旋转矢量表示及研究谐振动的方法注意领会旋转矢量表示及研究谐振动的方法.一、振幅和初相位一、振幅和初

5、相位1.振幅振幅质点在振动过程中离开平衡位置的质点在振动过程中离开平衡位置的最大位移最大位移的绝对值的绝对值.表征了系统的能量,由初始条件决定表征了系统的能量,由初始条件决定.由由时时,有有得得2.2.相位相位在在 中,中,称为振动的相位称为振动的相位.(1 1),存在一一对应的关系;即其决存在一一对应的关系;即其决定质点在时刻的定质点在时刻的t的的位置和速度位置和速度(即时刻即时刻t的运动状态的运动状态).).(2 2)初初相相位位 描描述述质质点点初初始始时时刻刻的的运运动动状状态态(初初位置位置 和初速度和初速度 .已知初始条件已知初始条件 也可确定初相也可确定初相.上上式式可可求求得得

6、 在在 区区间间内内两两个个解解,应应进进一一步步由由 的的符符号号判判定定 和和 的的符符号号后后选选定定其其中中的一个解的一个解.二、相位差二、相位差 表示两个相位之差表示两个相位之差.对于两个对于两个同同频率的简谐运动,频率的简谐运动,相位差表示它们间相位差表示它们间步调步调上的上的差异差异.两个两个同同频率的简谐运动相位差都等于其初相差而与频率的简谐运动相位差都等于其初相差而与时间无关时间无关.1.1.相位差相位差2.2.超前和落后超前和落后 若若 ,则则x2比比x1较较早早达达到到正正最最大大,称称x2比比x1超前超前(或或x1比比x2落后落后).).3.3.同相和反相同相和反相 当

7、当 =2k,(k=0,1,2,),两两振振动动步步调调相相同同,称称同相同相.当当=(2k+1),(k=0,1,2,),两两振振动动步步调调相相反反,称称反相反相.OA1-A1A2-A2x1x2Tt同相同相两同相振动的振动曲线两同相振动的振动曲线 x2TxOA1-A1A2-A2x1t反相反相两反相振动的振动曲线两反相振动的振动曲线振动系统本身性质振动系统本身性质初始条件初始条件 一质点作简谐振动,振动方程为x=Acos(t+),当时间t=T/2(T为周期)时,质点的速度为 (A)-A sin (B)A sin (C)-A cos (D)A cos 三、简谐振动的旋转矢量表示法三、简谐振动的旋转

8、矢量表示法MP 可见,旋转矢量的长度可见,旋转矢量的长度A、角速度角速度 和和t=0时与时与x轴轴的夹角的夹角 分别代表投影点分别代表投影点简简谐振动的三个特征量:振幅、谐振动的三个特征量:振幅、角频率和初相位角频率和初相位.如图,一长度为如图,一长度为A的矢量的矢量 绕其始端绕其始端O以恒角速度以恒角速度沿逆时针方向转动,其矢端沿逆时针方向转动,其矢端M在在Ox轴上的投影点轴上的投影点P将以将以O为平衡位置做为平衡位置做简谐振动简谐振动.任任一一时时刻刻旋旋转转矢矢量量与与x轴轴的的夹夹角角 为为投投影影点点简简谐谐振动的相位振动的相位.规定规定 沿逆时针方向转动,则相位沿逆时针方向转动,则

9、相位便唯一确定了投影点作简谐振动在时刻便唯一确定了投影点作简谐振动在时刻t的运动状态的运动状态.所所以以,作作匀匀速速转转动动的的矢矢量量,其其矢矢端端在在过过其其始始端端的的直线直线(x轴轴)上的投影的运动就是上的投影的运动就是简谐振动简谐振动.A简谐振动简谐振动旋转矢量旋转矢量t+T振幅振幅初相初相相位相位圆频率圆频率谐振动周期谐振动周期半径长半径长初始角坐标初始角坐标角坐标角坐标角速度角速度旋转周期旋转周期物理模型与数学模型比较物理模型与数学模型比较物理模型与数学模型比较物理模型与数学模型比较如图为旋转矢量法如图为旋转矢量法AM t PM0Ox自自Ox轴的原点轴的原点O作一矢量,作一矢量

10、,使其模等于振幅使其模等于振幅A,使使A绕点绕点O作逆时针的匀角速转动作逆时针的匀角速转动。看矢量看矢量A的矢端的矢端M矢量矢量A在在Ox轴上投影轴上投影恰是沿恰是沿Ox轴作简谐运动的物体在轴作简谐运动的物体在t时刻相对于原点时刻相对于原点O的位移。的位移。因此,旋转矢量因此,旋转矢量A的矢端的矢端M在在Ox轴上的投影点轴上的投影点P的运的运动,可表示物体在动,可表示物体在Ox轴上的简谐运动。矢量轴上的简谐运动。矢量A以角以角速度速度 旋转一周,相当于物体在旋转一周,相当于物体在x轴上作一次完全振轴上作一次完全振动。动。txoxA t+旋转矢量法旋转矢量法与与振振动曲线法动曲线法相对照相对照旋

11、转矢量本身并不作简谐运动,而是利旋转矢量本身并不作简谐运动,而是利用矢量端点在用矢量端点在Ox轴上的投影点的运动,轴上的投影点的运动,来形象地展示简谐运动的规律。来形象地展示简谐运动的规律。注意:注意:x轴正方轴正方向竖直向上。向竖直向上。利用旋转矢量法,可以很容易地表示两个简利用旋转矢量法,可以很容易地表示两个简谐振动的位相差,即两个旋转矢量之间的夹角。谐振动的位相差,即两个旋转矢量之间的夹角。矢量在参考圆上的不同位置代表了质点的不矢量在参考圆上的不同位置代表了质点的不同振动状态同振动状态。例:例:一物体沿一物体沿X X作谐振动振幅作谐振动振幅A=20cm,A=20cm,周期周期T=4s,t

12、=0T=4s,t=0时物体的位移为时物体的位移为-10-10cmcm且向且向 X X轴轴负向运动。负向运动。求:(求:(1 1)t=1s t=1s 时物体的位移;时物体的位移;(2 2)何时物体第一次运动到)何时物体第一次运动到x=10cmx=10cm处;处;(3 3)再经多少时间物体第二)再经多少时间物体第二次运动到次运动到x=10cmx=10cm处;处;0 0 X XO O解:解:如图,如图,0 0 X XO O (1 1)t=1s t=1s 时物体的位移;时物体的位移;(2 2)何时物体第一次运动到)何时物体第一次运动到x=10cmx=10cm处;处;(3 3)再经多少时间物体第二次运动

13、到)再经多少时间物体第二次运动到x=10cmx=10cm处;处;X XO O试用旋转矢量法求这两个谐振动的初相差。试用旋转矢量法求这两个谐振动的初相差。以及两个质点第一次通过平衡位置的时刻。以及两个质点第一次通过平衡位置的时刻。解:解:设两质点的谐振动方程分别为设两质点的谐振动方程分别为 1010A A1 1 2020A A2 2 两质点沿两质点沿X X轴作同方向轴作同方向,同振幅同振幅A A振动振动.其周期其周期为为5 5s,s,当当t=0t=0时时,质点质点1 1 在在 处向处向X X轴负方向运轴负方向运动动,而质点而质点2 2在在-A A处,处,例:例:质点质点1 1第一次经过平衡位置的

14、时刻第一次经过平衡位置的时刻质点质点2 2第一次经过平衡位置的时刻第一次经过平衡位置的时刻X XO O 1010A A1 1 2020A A2 2例例:已知已知简谐振动曲线简谐振动曲线x t,试写出此试写出此振动的运动方程振动的运动方程 解解:由图可以看出由图可以看出由题意由题意(解析法解析法)otx-0.050.1此题也可用此题也可用旋转矢量法旋转矢量法求解。求解。解解:由图可以看出由图可以看出otx-0.050.1 0 xO9-3简谐振动的合成简谐振动的合成预习要点预习要点1.注意两个同方向同频率简谐振动的合振动规律注意两个同方向同频率简谐振动的合振动规律.分分振动之间的相位差与合振动振幅

15、有什么关系?振动之间的相位差与合振动振幅有什么关系?2.了解两个互相垂直的简谐振动的合成了解两个互相垂直的简谐振动的合成.一、一、两个同方向同频率的简谐振动的合成两个同方向同频率的简谐振动的合成 两两个个同同方方向向同同频频率率简简谐谐运运动动合合成成后后仍仍为为简简谐谐运运动动,角速度不变角速度不变.1.当当时时,合振动振幅合振动振幅最大最大.2.当当时时,合振动振幅合振动振幅最小最小.3.3.一般情况一般情况一般情况一般情况为其它任意值,则:为其它任意值,则:上述结果说明上述结果说明两个振动的相位差两个振动的相位差对合振动起着对合振动起着重要作用。重要作用。合成振动合成振动tT2To例例

16、已知两个同方向振动分别为:已知两个同方向振动分别为:(1)求合振动的振幅和初相位;求合振动的振幅和初相位;(2)另有一同方向的振动另有一同方向的振动 ,问问 为何值时为何值时 的振幅为最大?的振幅为最大?为何值时,为何值时,的振幅最小?的振幅最小?解解(1)当当 时,时,与与 合成合成振幅最小。振幅最小。(2)当当 时,时,与与 合成振幅最大。合成振幅最大。例例 两条谐振动的曲线如图所示,两条谐振动的曲线如图所示,求合振动方程。求合振动方程。解解 由谐振动曲线可写由谐振动曲线可写出两个分振动方程:出两个分振动方程:由图知,由图知,t(s)x(cm)-I-0.5今用今用旋转矢量法旋转矢量法来求合振动:来求合振动:合振幅合振幅合振动的初相位由图可见合振动的初相位由图可见:故故*二、二、两个互相垂直的同频率的简谐振动的合成两个互相垂直的同频率的简谐振动的合成两式消去两式消去t,合振动合振动分振动分振动为为椭圆椭圆轨迹方程,顺时针运行轨迹方程,顺时针运行.为直线方程为直线方程.讨论讨论1.同相位同相位2.为标准椭圆方程,逆时针运行为标准椭圆方程,逆时针运行.3.反相位反相位4.为标准椭圆方程,逆时针运行为标准椭圆方程,逆时针运行.为直线方程为直线方程.结束语结束语谢谢大家聆听!谢谢大家聆听!48

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