岩土常用土的本构模型.pdf

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1、第 4 章 岩土工程中 常用的 本构模 型 土 体的应 力应变关 系是很 复杂的 ， 通常 具有非线 性 、 弹 塑性 、 剪胀性和 各向异 性等 。 迄 今为止 ， 学者 们所提 出的土体 本构模型 都只能模 拟某 种加载条件 下某类土 的主要特 性 ， 没有 一 种本构模型 能全面地 、 正确 地表示任 何加载条 件下各 类土体的本 构特性 。 另一方 面 ， 经 验表明 有些模型理 论上虽然 很严密 ， 但往往由 于参数取 值不 当， 从而使计 算结果 可能会出 现一些不 合 理的现象 ； 相反 ， 有些 模型尽管 形式简单 ， 但 常由于 参数物理意 义明确 ， 容易确 定 ， 计算结

2、果 反而较为合 理 。 因此 ， 在选择 本构模型 时 ， 通常在精 确性和可靠 性之间找 到一个平 衡点 ， 即本 构模型既要 能反映所 关心的土 体某方面 的特征 ， 又要 便于测定参 数 ， 这两 方面忽略 哪一个都 是 不合适的 。 举例来说 ， 很多学 生认为摩 尔库仑模 型的 参数容易确 定 ， 特别 喜欢在分 析中采用 。 当然 ， 摩 尔库仑模 型在以极 限承载力 为分析重 点的问 题中是很合 适的 。 但是 ， 如果在研 究固结 沉降的问题 中使用它 就显得很 不合适了 。 ABAQUS 提供了一系列用于 模拟岩土 体的本构 模型 ， 本章将对 常用的几 种进行详 细 地 分

3、 析 。 读者应 当注意有 些模型的 表达方式 及参数与 岩土 力学教材中 的略有差 异 。 本章要点 ： 应力状态的 描述 弹性模型 塑性模型 算例分析 4.1 应力状态的描述 本书并不试 图从原理 上介绍本 构模型 ， 而是重点 讨论 ABAQUS 如何应用这些模型 。 因此 ， 读者最好掌 握一些力 学基本知 识 。 为方 便起见 ， 这里 简要介绍一 些涉及到 的名词 。 4.1.1 应力张量 土体中一点 的应力状 态可以由 应力分量 来表示 ： x xy xz 11 12 13 ij 21 22 23 yx y yz 31 32 33 zx zy z （4-1 ） 4.1.2 应力张

4、量的分解 可将应力分 量分解为 偏应力 s 和平均应力 p ： p s I （4-2 ） ABAQUS 在岩土 工程 中的 应用 62 式 中 1 ( ) 3 p t r a c 是 平 均 应 力 ；ABAQUS 中 又 称 为 等 效 压 应 力 （equivalent pressure stress ） ； I 是单位矩阵 。 注意 ： 由于 ABAQUS 以拉为正 ， 而岩 土工程常 受到 压应力， 因 此 为 方便 起见 ABAQUS 令 1 ( ) 3 p t r a c 。 4.1.3 应力张量不变量和偏 应力不变 量 应力张量三 个不变量 为 ： 1 x y z 1 2 3 I

5、 （4-3 ） 2 2 2 2 x y y z z x xy yz zx 1 2 2 3 3 1 ( ) I （4-4 ） 2 2 2 3 x y z xy yz zx x yz y zx z xy 1 2 3 2 I （4-5 ） 偏应力张量 实质上是 一种特殊 的应力张 量 ， 相应 的三 个不变量为 ： 1 x y z 1 2 3 0 J S S S S S S （4-6 ） 2 2 2 2 2 2 2 x y z xy yz zx 1 2 2 3 3 1 1 2 J S S S S S S S S S S S S （4-7 ） 2 2 2 3 x y z xy yz zx x yz y

6、 zx z xy 1 2 3 2 J S S S S S S S S S S S S S S S （4-8 ） 在这些不变 量中 ， 最常用到 的有两个 ， 一个 是 1 I ， 即前 面提到的平 均应力 1 ( ) 3 p t r a c ； 另外一个是 2 J ， 读者可能 更熟悉 2 3 q J 的形 式 ， 即岩 土工程中 常说的偏应 力 ， 在 ABAQUS 中称为等效 Mises 偏应 力 （Mises equivalent stress ） 。 4.1.4 应力空间 应力空间是 一种物理 空间 ， 它是以 1 ， 2 ， 3 作为坐标轴 而 形成的三维 空间 ， 空间中 的 每一

7、个点表 达了一种 应力状态 ， 因而屈 服面就可 用应 力空间中的 曲面图形 来表达 。 通常将三 维 空间转到两 个特殊平 面中进行 分析 ： 等斜面 ： 又称 平面 ， 该平 面通过原 点 ， 其法 线的三个 方向的余弦 都是 1 3 ， 即与三 个坐标轴交 角相等 。 子午线平面 ： 通过原 点与 平面垂直的面 称为子午 线平 面 ， 常用 p q 平面表示 。 提示 ： 以上对应 力张量的 描述同样适 用于应变张 量 。 若本书无特殊说 明 ， 应力 均为有效 应力 。 4.2 弹性模型 4.2.1 线弹性模型 线 弹性模 型基于广 义胡克 定律 ， 包括各 向同性弹 性模型 、 正交

8、 各向异性 模型和 各向异 性第 4 章 岩土 工程 中常 用的 本构 模型 63 模型 。 线弹 性模型适 用于任何 单元 。 1 各向同性 弹性模型 各向同性线 弹性模型 的应力 应变的表 达式为 ： 11 11 22 22 33 33 12 12 13 13 23 23 1/ / / 0 0 0 / 1/ / 0 0 0 / / 1/ 0 0 0 0 0 0 1/ 0 0 0 0 0 0 1/ 0 0 0 0 0 0 1/ E E E E E E E E E G G G （4-9 ） 这里涉及到 的参数有 两个 ， 即 弹性模型 E 和泊松比 v ， 可 以随温度和 其他 场变 量变化

9、。 提示 ： ABAQUS 中的大多数模型中的 参数都可 以与温 度等场变量 挂钩 ， 从 而实现参 数在 分析过程中 的变化 。 强度折减 法就 是利 用了这一 点 。 2 正交各向 异性弹性 模型 正交各向异 性的独立 模型参数 为 3 个正 交方向的 杨氏 模量 1 E 、 2 E 和 3 E ，3 个泊 松比 12 v 、 13 v 和 23 v ，3 个剪切 模量 12 G 、 13 G 和 23 G ， 其应力 应变 的表达式 为 ： 11 1 21 2 31 3 11 22 12 1 2 32 3 22 33 13 1 23 2 3 33 12 12 12 13 13 13 23

10、 23 23 1/ / / 0 0 0 / 1/ / 0 0 0 / / 1/ 0 0 0 0 0 0 1/ 0 0 0 0 0 0 1/ 0 0 0 0 0 0 1/ E E E E E E E E E G G G （4-10 ） 在正交各向 异性模型 中 ， 如果材料 的某个平 面上的性 质相同 ， 即为横 观各向同 性弹性体 ， 假定 1-2 平面 为各向同 性平面 ， 那 么有 E 1 E 2 E p ， 31 32 tp ， 13 23 pt 以及 G 13 G 23 G t ， 其 中 p 和 t 分别 代 表横 观各 向 同性 体的 横 向 和 纵向 ， 因此 ， 横观 各 向同

11、 性体 的应 力 应 变表 达式 为 ： p p p tp t 11 11 p p p tp t 22 22 pt p pt p t 33 33 12 12 p 13 13 p 23 23 p 1/ / / 0 0 0 / 1/ / 0 0 0 / / 1/ 0 0 0 0 0 0 1/ 0 0 0 0 0 0 1/ 0 0 0 0 0 0 1/ E E E E E E E E E G G G （4-11 ） 其中 ， p p p 2 1 G E 。 所以该模型的 独立模型 参数为 5 个 。 横观各 向同性弹性 模型的 用法与正交 各向异性 用法相同 。 3 各向异性 弹性模型 完全各向异

12、性的弹性 模型的独 立模型参 数为 21 个 ， 其应力 应 变表达式 为 ： ABAQUS 在岩土 工程 中的 应用 64 11 1111 1111 1111 1111 1111 1111 11 22 2222 2233 2212 2213 2223 22 33 3333 3312 3313 3323 33 12 1212 1213 1223 12 13 1313 1323 13 23 2323 23 D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D （4-12 ） 4 线弹性模 型的用法 （1 ） 在 ABAQUS/CAE 中使用线弹性模 型 。 在 Pr

13、operty 模块中 ， 执行 【Material 】/ 【Create 】 命 令 ， 在 Edit Material 对话框中执行 【Mechanical 】/ 【Elasticity 】/ 【Elastic 】 命令 ， 此时 对话框如 图 4-1 所 示 。 在 Type 下拉列表 中有以下几 个选项 ： Isotropic ： 在 Data 数据列 表填入各 向同性弹 性模量和 泊松比 。 Engineering Constants data ： 在 Data 数据 列表设置 正交 各向异性的 弹性参数 。 Lamina ： 适用于定义平面 应力问题 的正交各 向异性 参 数 。 O

14、rthotropic ： 在 Data 数据 列表直接 给出刚 度矩阵的 9 个弹性刚度 参数 。 Anisotropic ： 在 Data 数据列 表直接给 出 21 个弹 性刚 度参数 。 Traction 和 Coupled Traction 用于定义 Cohesive 单元的弹性参数 ， 本书 未 涉及 。 图 4-1 定 义弹 性模 型 若勾选 【No compression 】 和 【No tension 】 复选框 ， 可认为弹性 模型不能 受压或受 拉 。 （2 ） 在 inp 输入文件中使用线弹 性模型 。 这三种弹性 模型的关 键字行语 句是类似 的 ， 即 ： *Elas

15、tic ，type ISOTROPIC （ENGINEERING CONSTANTS 或ORTHOTROPIC 或ANISOTROPIC; ） 第 4 章 岩土 工程 中常 用的 本构 模型 65 type 关键词的选项指定了弹 性模型的 种类 ， 其 中 ISOTROPIC （ 各向同性 ） 是 默认选项 。 各选 项 符号 的含义与 前面介绍 的 图 4-1 中 Type 下拉列表的含义是 一致的 ， 这里不再 赘述 。 该关键字行 需跟随数 据行定义 弹性参数 。 4.2.2 多孔介质弹性模型 多孔介质弹 性模型是 一种非线 性的各向 同性弹性 模型 。 1 模型基本 理论 （1 ） 体

16、积应 力应变关 系 。 该 模型认 为平均应 力是体 积应变 的指数 函数 ， 更 准确 地 说 ， 弹 性体积应 变与平 均应力 的 对数成正比 （ 如图 4-2 所示 ） ： 图 4-2 多 孔介 质弹 性模 型的 体积 应力 应变 关系 0 t 0 t ln 1 1 e l e l e l p p J e p p （4-13 ） 式 中 0 e 是 初 始 孔 隙 比 ； 0 p 是 初 始 平 均 应 力 ； t e l p 是 弹 性 状 态 的 拉 应 力 极 限 值 ； el J 是 弹 性体 积应 变 ； 是对数 体 积模 量 ， 对 于土 体而 言 ， 其 就 是 ln e

17、p 平面上 的回 弹 曲线 的斜 率 。 事实 上 ， 若将 图 4-2 顺 时 针 旋 转 90 度 后和 土 体压 缩 e p 曲线 是一 致的 。 （2 ） 剪切应 力应变关 系 。 多孔介质弹 性模型的 剪切应力 应变关系 为 ： 2 el G s e （4-14 ） 式中 G 为 弹性剪切模量 ； el e 为弹性偏应变 ， 其余参数 意义 如前 。 剪切模量的 定义方式 有两种 ： 直接给定剪 切模量 ： 剪切模量 为常数 。 给定泊松比 ： 剪切 模量由泊 松比和体 积弹性模 量确定 ， 与平均 应力也是 相关的 ， 即压 缩后剪切模 量增加 。 2 多孔介质 弹性模型 的用法

18、（1 ） 在 ABAQUS/CAE 中使用线弹性模 型 。 在 Property 模块中 ， 执行 【Material 】/ 【Create 】 命 令 ， 在 Edit Material 对话框中执行 【Mechanical 】/ 【Elasticity 】/ 【Porous Elastic 】 命令 ， 此时对话 框 如图 4-3 所示 。 在 Shear 下 拉列表中有两个选项 【G 】 和 【Poisson 】 ， 分别对应 于直接定义剪切模量和按泊松比定义剪切 模量 ， 其中 默认按泊 松比定义 。 当选中 不同选项 之后 ， 在 Data 数 据列表定 义 、 v （ 或 G ）

19、和 t e l p 。 ABAQUS 在岩土 工程 中的 应用 66 图 4-3 定 义多 孔介 质弹 性模 型 注意 ：ABAQUS/CAE 不能定义 0 p 和 0 e 。 （2 ） 在 inp 输入文件中使用线弹 性模型 。 在 inp 文件中通过以下 语句定义 多孔介质 弹性模型 ： *Porous elastic,shear= Poisson （ 默 认 ） 或 G ； Poisson 和 G 分别对应于 图 4-3 Shear 下拉列 表的两个 选项 。 、 v （ 或 G ） 和 t el p ； 数据 行定 义参 数 。 除此 之外 ， 还需以下 面 两个语 句定义初 始应力和

20、 初始 孔隙比 。 *Initial conditions ，type stress ； 定义 初始 应力 。 *Initial conditions ，type ratio ； 定 义初 始孔 隙比 。 3 多孔介质 弹性模型 使用注意 事项 （1 ） 多孔介 质弹性模 型只能用 于 ABAQUS/Standard 。 （2 ） 多孔介 质弹性模 型可单独 使用 ， 也 可作为 以下 弹塑性模型 的弹性部 分 ： 推广的 （Extended ）Drucker-Prager 模型 。 修正的 Drucker-Prager 帽盖模型 。 临界状态塑 性 （ 剑桥 粘土 ） 模 型 。 （ 3 ）

21、 多 孔 介 质 弹 性 模 型 不 能 应 用 于 杂 交 元 或 平 面 应 力 单 元 ， 但 可 应 用 于 ABAQUS/Standard 中 其他 的所有应力/ 位移单元 。 第 4 章 岩土 工程 中常 用的 本构 模型 67 （4 ） 若 单元采用 了沙漏 控制 ， 如果通 过泊松比 定义剪 切模量 ， ABAQUS/Standard 无法自 动计算沙漏 刚度 ， 必 须自己指 定 。 4.3 塑性模型 这 里的塑 性模型定 义了弹 塑性本 构关系 中的塑性 部分 ， 弹塑性 本构关系 中的弹 性部分 由 弹性模型定 义 。 4.3.1 Mohr-Coulomb （ 摩 尔 库

22、仑 ） 模型 Mohr-Coulomb 塑性模型主要适用 于在单调 载荷 下颗 粒状材料 ， 在岩土 工程中应 用非 常广 泛 。 1 模型基本 理论 （1 ） 屈服面 。 Mohr-Coulomb 模 型屈服面函数为 ： mc tan 0 F R q p c （4-15 ） 其中 是 q- p 应力 面上 Mohr-Coulomb 屈服面的倾斜角 ， 称为材料的 摩擦角 ， 0 90 ； c 是材料的粘 聚力 ； mc R ， 按下式计算 ， 其控制 了屈服面 在 平面的形状 。 mc 1 1 sin cos tan 3 3 3 3 cos R （4-16 ） 是极偏角 ， 定义为 3 3

23、cos 3 r q ， r 是第三偏 应力不变 量 J 3 。 图 4-4 给 出 了 Mohr-Coulomb 屈 服 面 在 子 午 面 和 面 上 的 形 状 ， 由 图 可 以 比 较 其 与 Drucker-Prager 屈服面 ，Tresca 屈服面 ，Mises 屈服面 之间的相对 关系 。 图 4-4 Mohr-Coulomb 模型中 的屈 服面 （2 ） 塑性势 面 。 由 图 4-4 可见 ，Mohr-Coulomb 屈服面存在尖角 ， 如 采用相关联 的流动法 则 （ 即塑 性势面ABAQUS 在岩土 工程 中的 应用 68 与屈服面相 同 ） ， 将会 在尖角处 出现塑

24、性 流动方 向不 是唯一的现 象 ， 导致 数值计算 的 烦 琐 、 收 敛缓慢 。 为了 避免这些 问题 ， ABAQUS 采用了如下形 式的连续光 滑的椭圆 函数作为 塑性势面 ， 其形状 如图 4-5 所 示 。 2 2 mw 0 tan tan G c R q p （4-17 ） 图 4-5 Mohr-Coulomb 模型中 的塑 性势 面 式中 是剪胀角 ； 0 c 是初始粘聚力 ， 即没有塑性变形时的 粘聚力 。 为子午面上的偏心 率 ， 它控制 了 G 在 子午面上 的形状与 函数 渐 近线之间 的相似度 。 若 0.0 ， 塑性势面在子 午 面上将是一 条倾斜向 上的直线 ，A

25、BAQUS 中默认为 0.1 。 mw R e ， ， 则控制了 其在 面上 的形状 ， 由 下式计算 ： 2 2 2 mw mc 2 2 2 2 4 1 cos 2 1 3 2 1 cos 2 1 4 1 cos 5 4 ， e e R R e e e e e （4-18 ） e 是 面 上 的 偏 心 率 ， 主 要 控 制 了 面 上 0 3 的 塑 性 势 面 的 形 状 。 默 认 值 由 下 式 计 算 ： 3 sin 3 sin e （4-19 ） 按照上式计 算的 e 可保证塑性势 面在 面受拉和受压 的角 点上与屈服 面相 切 。 当然用 户也 可指定 e 的大小 ， 但 其

26、范围必 须为 ： 0.5 1.0 e 。 图 4-5 给 出了不 同的大小对 应的塑性 势面 。 （3 ） 硬化规 律 。 ABAQUS 中的 Mohr-Coulomb 模型可以考虑屈服面 大小的变化 ， 即硬化 或软化 ， 通过控 制凝聚力 c 的大小来实 现的 。 用 户必须指 定 c 与等效塑性 应变 （Equivalent plastic strain ） 之间 的变化关系 ， 通常通 过表格输 入 。 2 Mohr-Coulomb 模型的用法 （1 ） 在 ABAQUS/CAE 中使用 Mohr-Coulomb 模型 。 在 Property 模块中 ， 执行 【Material 】

27、 / 【Create 】 命令 ， 在 Edit Material 对话框中执 行 【Mechanical 】/ 【Plasticity 】/ 【Mohr coulomb plasticity 】 命令 ， 此时对话 框如 图 4-6 所 示 。 通 过对话框 上的 Deviatoric eccentricity 和 Meridional eccentricity 可 以 分 别定 义 面 上的 偏心 率 e 和 子午 面上的 偏 心率 ， 一 般无 需变 动 。 在 Edit Material 的 Plasticity 的选项卡中用户可 以指定 Friction angle （ 摩擦角 ）

28、和 Dilation angle （ 剪胀 角 ） ； 在 Hardening 选项卡中用户可以指定 Cohesion Yield Stress （ 粘聚力 ） 和 Abs Plastic Strain第 4 章 岩土 工程 中常 用的 本构 模型 69 （ 塑性应变 ） ， 若不指 定 塑性应 变 ，ABAQUS 认为粘聚力保持不 变 ， 即为 理想线弹 塑性模型 。 图 4-6 定义 Mohr-Coulomb 模型 （2 ） 在 inp 输入文件中使用 Mohr-Coulomb 模型 。 定义 Mohr-Coulomb 模型的关键字行语 句有两条 ： *Mohr coulomb ，DEVI

29、ATORIC ECCENTRICITY= e （ 可 选 ） ，ECCENTRICITY= （ 可 选 ） ， ； 摩擦角 和剪胀角 。 *Mohr coulomb hardening ； 该语 句定 义凝 聚力 。 c ， p l ； 粘聚力 和对应的 塑性应变 ， 该行可 重复多次 。 3 Mohr-Coulomb 模型的使用注意事项 （1 ）Mohr-Coulomb 模型只适用于 ABAQUS/Standard 。 （2 ）Mohr-Coulomb 模型需和线弹性模型 联合使用 。 （3 ） 由于 Mohr-Coulomb 模型采用了非关联流 动法 则 ， 因此必 须采用非 对称求解 器

30、 ， 尤 其是对应极 限承载力 分析的情 况 ， 否则 可能会出 现计 算不易收敛 的情况 。 提示 ： 非对 称算法在 Edit step 对话框中的 Other 选项卡中进行设 置 。 （4 ） 除了一 维单元和 平面应力 类单元外 ，Mohr-Coulomb 模型可用于 ABAQUS/Standard 中的任何具 有位移自 由度的单 元 。 （5 ）Mohr-Coulomb 模 型中 的粘 聚力 必 须大 于 0 ， 对 于砂 土等 材料 ， 可将 粘聚 力 取一 较 小值 。 （6 ） 剪 胀角的取 值必须慎 重 ， 一 些分析人 员喜欢将 其选为与摩 擦角相同 ， 这意 味着在剪 切

31、过程总会 产生无限 制的体积 膨胀现象 ， 与土体 实际 性状并不吻 合。 ABAQUS 在岩土 工程 中的 应用 70 （7 ）Mohr-Coulomb 模型没有考虑率相关 性 。 4.3.2 扩展的 Drucker-Prager 模型 ABAQUS 对经典的 Drucker-Prager 模型进行了 扩展 ， 屈服面在 子午面的 形状则可 以通过 线性函数 、 双曲线函 数或指数 函数模型 模拟 ， 其 在 面上的形状也 有所区别 。 1 线性 Drucker-Prager 模型 （1 ） 屈服面 。 线性 Drucker-Prager 模型的屈服面如 图 4-7 所 示 ， 函数 为 ：

32、 tan 0 F t p d （4-20 ） 图 4-7 线性 Drucker-Prager 模 型的 屈服 面 式中 3 1 1 1 1 2 q r t k k q ， 这里不采用 q 作为偏应力 是为了反 映中主应 力的 影响 。 是屈服面在 p t 应力空间 上的倾角 ， 与摩擦 角 有关 。 k 是三轴拉伸 强度与三 轴压缩强 度之比 ， 反映了 中主应 力对屈服的 影响 ， 为了保证 屈服面 是凸面 ， 要 求 0.778 1.0 k 。 不同的 k 的屈服面在 面上的形状是 不一 样的 ， 参照 图 4-7 。 当 1 k 时 ， 有 t q ， 此时屈服 面为米塞 斯屈服面 的圆

33、形 。 d 是屈服面在 p t 应力空间 t 轴上的截 距 ， 可按 如下方式 确定 ： c (1 1 3tan ) d ， 根据单轴 抗压强度 c 定义 。 t (1 1 3tan ) d k ， 根据单轴 抗压强度 t 定义 。 3 1 1 2 d k ， 根据剪切 强度 定义 。 （2 ） 塑性势 面 。 线 性 Drucker-Prager 模型的塑性势面 如 图 4-8 所示 ， 函 数为 ： tan G t p （4-21 ） 由于塑性势 面与屈服 面不相同 ， 流动法 则是非关 联的 。 需要指出当 ， 1 k 时线性 Drucker-Prager 模型即退化为经 典 的 Dru

34、cker-Prager 模型 。 （3 ） 硬 化 规 律 。 硬 化 规 律 的 实 质 是 控 制 屈 服 面 大 小 的 变 化 。ABAQUS 中 的 扩 展 Drucker-Prager 模型允许屈服 面放大 （ 硬化 ） 或 缩小 （ 软化 ） 。 屈服 面大小的 变化是由 某一个等 效 应 力 控 制 的 ， 用 户通 过 给出 与 等 效 塑 性应 变 p l 的 关系 来 控 制 ， 其 中等 效塑 性 应变 为 d p l p l t 。 针对线性 Drucker-Prager 模型 ，ABAQUS 中提 供了以下三种形 式 ： 取为单轴抗 压强度 c ， 11 p l p

35、 l d d 。 第 4 章 岩土 工程 中常 用的 本构 模型 71 取为单轴抗 压强度 ， 11 p l p l d d 。 取为凝聚力 d ， 3 p l p l d d 。 图 4-8 线性 Drucker-Prager 模 型的 塑性 势面 2 双曲线 Drucker-Prager 模型 （1 ） 屈服面 。 双 曲线 Drucker-Prager 模型的屈服面 如 图 4-9 所 示 ， 是由 Rankine 最大拉应 力状态和高 围压下线 性 Drucker-Prager 应力状态组合 而成的连续 函数 ， 函 数形式为 ： 2 2 0 tan 0 F l q p d （4-22

36、 ） 式中 0 t 0 0 tan l d p ， t 0 p 为材料的初始 平均应力 抗拉强 度 ； 为高围压下 的摩擦角 ， 如 图 4-9 所示 。 d 为硬化参数 ， 0 d 为 d 的初始值可按 如下方式 确定 ： 2 2 c 0 c tan 3 l ， 根据单轴 抗压强度 c 定义 。 2 2 t 0 t tan 3 l ， 根据单轴 抗压强度 t 定义 。 2 2 0 l d ， 根据粘聚 力定义 。 提示 ： 由于 屈服面函 数中未包 含第三应 力不变量 ， 其 在 面是一个 圆形 。 图 4-9 双 曲线 Drucker-Prager 模型 的屈 服面 （2 ） 塑性势 面

37、。 双曲 线 Drucker-Prager 模型的塑性势 面如 图 4-10 所示 ， 函数为 ： 2 2 0 | tan tan G q p （4-23 ） ABAQUS 在岩土 工程 中的 应用 72 图 4-10 双 曲线 Drucker-Prager 模型 的塑 性势 面 式中 为子午面上的偏 心率 ， 它控制 了 G 在 子午面上 的 形状与函数 渐近线之 间的相似 度 ， ABAQUS 会自动根据采用的 模型设置 默认值 ， 用户无 需理会 。 其 余参数意 义如前 。 类似 地 ， 当 时退化为 相关联的 流动法则 。 （3 ） 硬化 规律 。 双曲线 Drucker-Prage

38、r 模型的屈服 面 硬化思路 （ 如 图 4-11 所示 ） 和线性 Drucker-Prager 模型是一致的 ， 只 不过 ， 等效塑性 应 变的定义有 所区别 ， 其 为 : p l p l d d 。 图 4-11 双曲线 Drucker-Prager 模 型屈 服的 硬化 3 指数 Drucker-Prager 模型 （1 ） 屈服面 。 指数 Drucker-Prager 模型的屈服面如 图 4-12 所 示 ， 其函 数形式 为 ： t 0 b F a q p p （4-24 ） 图 4-12 指 数 Drucker-Prager 模 型的 屈服 面 式中 a 与 b 是与塑性

39、变形无关 的材料参 数 。 p t 是 硬化 参数 ， 表示材料 的抗拉强 度 ， 按下列 方式确定 ： 第 4 章 岩土 工程 中常 用的 本构 模型 73 t c c 3 b p a ， 根据单轴 抗压强度 c 定义 。 t t t 3 b p a ， 根据单轴 抗压强度 t 定义 。 t b p a d ， 根据粘聚 力定义 。 提示 ： 由于 屈服面函 数中未包 含第三应 力不变量 ， 其 在 面是一个 圆形 。 （2 ） 塑性势 面 。 指 数 Drucker-Prager 模型的塑性势面 与双曲线 Drucker-Prager 模型相同 。 （3 ） 硬化规 律 。 指数 Druc

40、ker-Prager 模型采用 p t 作为硬化参数 （ 如 图 4-13 所示 ） ， 此时 等效塑性应 变的定义 与双曲线 Drucker-Prager 模型相同 ， 即 : p l p l d d 图 4-13 指 数 Drucker-Prager 模 型屈 服的 硬化 4 Drucker-Prager 模型的用法 （1 ） 在 ABAQUS/CAE 中使用 Drucker-Prager 模型 。 在 Property 模块中 ， 执行 【Material 】 / 【Create 】 命令 ， 在 Edit Material 对 话 框中执 行 【Mechanical 】/ 【Plast

41、icity 】/ 【Drucker Prager 】 命令 ， 此时 对话框如 图 4-14 所示 。 对话框的 Shear criterion 下拉列表中有三个选 项 ，Linear 、 Hyperbolic 和 Exponent form ， 分别对应 于 线性 、 双曲 线和指数模 型 。 随着 选项不同 ，Data 数 据列表所需 要设置的 参数也不 同 ： Linear ： 设置 、 k 和 。 Hyperbolic ： 设置 、 t 0 p 和 。 Exponent form ： 设置 a 、 b 和 。 在如 图 4-14 所示右 侧的 Suboptions 选项中 ， 选择 D

42、rucker Prager Hardening ， 弹出如 图 4-15 所示的 Suboption Editor 对话框 ， 在该对 话框中 用户 可以选择硬 化的模式 ， 并设置 硬化参数 随 塑性应变的 变化 。 对于指数 Drucker-Prager 模型 ， 用户 可以通过 Suboptions 选项中的 Triaxial Test Data 命令 （ 如 图 4-15 所 示 ） 直 接拟合模 型参数 ， 此时之前 定义的硬化 性质将被 覆盖 。 提示 ： 在通 过试验数 据拟合参 数时 ， 用 户可指定 a 、 b 和 t p 中的部分参 数 ，ABAQUS 会 自动拟合余 下的

43、参数 。 （2 ） 在 inp 输入文件中使用 Drucker-Prager 模型 。 定 义 Drucker-Prager 模型的关键字行语 句为 ： *DRUCKER PRAGER, SHEAR CRITERION=LINEAR 或 HYPERBOLIC 或 EXPONENT FORM ； 关键 字 SHEAR CRITERION 指定了Drucker-Prager 模型 类别 。 ABAQUS 在岩土 工程 中的 应用 74 图 4-14 定 义 Drucker-Prager 模 型 图 4-15 定 义 Drucker-Prager 模 型的 硬化 参数 、 k 或 、 t 0 p 、

44、 或 a 、 b 、 。 针对不同选 项 ， 数据行应 定义相 应的参数 。 如 图 4-16 所 示 。 *DRUCKER PRAGER HARDENING ，TYPE=COMPRESSION ( 默 认) 或TYPE=TENSION 或 TYPE=SHEAR ； type 选 项指 定了 硬化 的规 律 ， p l ； 硬化参 数 ， 等效 塑性应变 ， 可重复 多行 。 第 4 章 岩土 工程 中常 用的 本构 模型 75 图 4-16 三 轴试 验数 据获 得 Drucker-Prager 模 型的 参数 5 模型 参数 的实验标 定 岩土体本构 模型的参 数通常用 三轴 实 验 获得

45、 （ 如 图 4-17 所示 ） ， 用 户在 实 验 曲线上选 择合 适的点重新 绘到应力 空间中以 便确定模 型参数 。 图 4-17 利 用三 轴实 验确 定模 型参 数 实 验数据 标定模型 参数看 似很简 单 ， 只 要将实验 数据点 标在相 应的应力 空间 ， 然后按 照 模型理论进 行拟合 。 但是 ， 这 其中要 特别注意 实 验结 果的表达方 式 ， 如偏应力 用的是 q 还是 t 。 这里将三轴 实验中的 应力变量 符合含义 解释如下 ： （1 ） 三轴压 缩试 验 。 在三轴压缩 试验中 ， 试件受 到均布围 压 ， 然后在某 一 个方向上受 到附加的 压应力 。 这样

46、， 三个主应力 均为负值 ， 即 ： 1 2 3 0 （4-25 ） 因而有 ： 1 3 1 (2 ) 3 p （4-26 ） 1 3 q （4-27 ） 3 3 1 3 r （4-28 ） 1 3 t q （4-29 ） ABAQUS 在岩土 工程 中的 应用 76 （2 ） 三轴拉 伸试验 。 在 三轴压 缩 实 验中 ， 试件 受到均 布围压 ， 然后在 某一个 方向压 力减小 。 三个主 应力的 关 系为 ： 1 2 3 0 （4-30 ） 因而有 ： 1 3 1 ( 2 ) 3 p （4-31 ） 1 3 q （4-32 ） 3 3 1 3 r （4-33 ） 1 3 1 q t K

47、 K （4-34 ） 提示 ：ABAQUS 中应力符号与土力学 中相反 。 6 Drucker-Prager 模型与 Mohr-Coulomb 模型参数之 间的关系 Drucker-Prager 模型与 Mohr-Coulomb 模型的参数并不 相等 。 如 Mohr-Coulomb 的摩擦角 不同于 Drucker-Prager 的 角 。 但两个 模型之间 的参数 是可以互换 的 。 （1 ） 平面应 变问题 。 由于是平面 应变问题 ， 可以假 定 1 k 。Drucker-Prager 模型与 Mohr-Coulomb 模型的参数 之间有如下 关系 ： 2 tan 3 9 tan si

48、n 9 tan tan （4-35 ） 2 3 9 tan cos 9 tan tan （4-36 ） 对于相关联 的流动法 则 ， ， 从而得 ： 2 3sin tan 1 1 sin 3 （4-37 ） 2 3 cos 1 1 sin 3 d c （4-38 ） 对于非相关 联流动法 则 ， 由 0 ， 可得 ： tan 3 sin （4-39 ） 3 cos d c （4-40 ） 相 关联流 动与非相 关联流 动法则 ， 两者 的差异是 随着摩 擦角的 增加而减 小的 ， 对于典 型 的摩擦角 ， 两者的差 异并不大 ， 如 表 4-1 所示 。 第 4 章 岩土 工程 中常 用的 本

49、构 模型 77 表 4-1 Mohr-Coulomb 与 Drucker-Prager 参 数相 互转 化表 相关 联流 动 非相 关联 流动 Mohr-Coulomb 摩 擦角 Drucker-Prager 摩擦 角 d/ c Drucker-Prager 摩擦 角 d/ c 10 16.7 1.70 10 1.70 20 30.2 1.60 10 1.63 30 39.8 1.44 10 1.50 40 46.2 1.24 10 1.33 50 50.5 1.02 10 1.11 （2 ） 三维问 题 。 三维问题中 Mohr-Coulomb 模型与 Drucker-Prager 模型参数

50、的转 换关系如 下 ： 6sin tan 3 sin （4-41 ） 3 sin 3 sin k （4-42 ） 0 c cos 2 1 sin c （4-43 ） 在 线性 Drucker-Prager 模 型 中 ， 为 了使 屈服 面保 持为 凸面 ， 需 要 0.778 1.0 k 。 而 式 （4-42 ） 又可写成 ： 1 sin 3 1 K K （4-44 ） 上 式 意 味 着 22 ， 而 工 程 中 许 多 实 际 材 料 的 摩 擦 角 都 大 于 22 ， 此 时 可 选 择 0.778 K ， 同时用式 （4-41 ） 求 出 ， 用式 （4-43 ） 定 义 0 c

51、 来进行处理 。 这样 处理仅在 三轴 压缩的情况 下是正确 的 。 因此 若摩擦角 比 22 大 很多 ， 建议 实 验 Mohr-Coulomb 模型 。 7 Drucker-Prager 模型的使用注意事 项 （1 ） 线性 Drucker-Prager 模型可用于 ABAQUS/Standard 和 ABAQUS/Explicit ， 双曲线和 指数 Drucker-Prager 只能用于 ABAQUS/Standard 。 （2 ）Drucker-Prager 模型可和线弹性 模型或多 孔介质 弹性模型联 合使用 。 （3 ） 由于 Drucker-Prager 模型采用了 非关联流

52、 动法则 ， 因此必须 采用非对 称求解器 。 （4 ）Drucker-Prager 模型可用于平 面应变 、 广义平面 应变 、 轴对 称和三维 单元 ， 除了考虑 率效应的线 性 Drucker-Prager 模型之外 ， 其余 模型也 可用于平面 应力单元 。 （5 ）Drucker-Prager 模型可考虑率相 关性 。 4.3.3 修正 Drucker-Prager 帽盖模 型 前面介绍的 Mohr-Coulomb 模型和 Drucker-Prager 模型最大的问 题在于其 不能反映 土体压 缩导致的屈 服 ， 也 就是说在 等向压应 力作用下 ， 材料 永远不会屈 服 ， 这 显

53、然与土 体的特性 是不 吻合的 。 为 了解决这 一问题 ，ABAQUS 提供了修正 Drucker-Prager 帽盖模型 ， 其 是 在 线性的 Drucker-Prager 模型上增加一个 帽盖状的 屈服面 ， 从 而引入了压 缩导致的 屈服 ， 同 时也能控 制 材料在剪切 作用下的 无限制剪 胀 现象 。 ABAQUS 在岩土 工程 中的 应用 78 1 模型基本 理论 （1 ） 屈服面 。 修正的 Drucker-Prager 帽盖模型的 屈服面如 图 4-18 所示 。 由图 可见 ， 屈 服面主要 由两段 组成 ，Drucker-Prager 给出的剪切破坏 面和右 侧的帽 盖

54、曲面 。 注 意 ， 这里 称为剪切 “ 破坏面 ” ， 意味着这一 部分不会 发生硬化 ， 即是理 想的塑性 ， 在 后面的流动 法则中我 们会看到 该处的塑 性 变形增量方 向指向左 上方 ， 即发生 剪胀变形 ， 造 成体 积增加 ， 随着会 造成帽盖 的缩小 （ 软化 ） 。 帽盖面是一 个椭圆曲 线 ， 其实 可以放大 或缩小的 （ 与 塑性体积应 变有关 ） 。 在剪切破 坏面和帽 盖屈服面之 间 ABAQUS 用渐变 曲线光滑连接 。 图 4-18 修 正 Drucker-Prager 帽 盖模 型的 屈服 面 剪切破坏面 为 ： s tan 0 F t p d （4-45 ）

55、帽盖面为 ： 2 2 c a a tan 0 1 / cos R t F p p R d P （4-46 ） 式中 R 是 控制帽盖 几何形状 的参数 ； 是一个数 值很 小的数 ， 决 定了过渡 区的形状 ， 会 在后面讨论 ； b p 是帽盖面 与 p 轴的交点 ， 称为压 缩屈服平 均应力 （hydrostatic compression yield stress ） ， 控制了帽盖 的大小 。 a p 是帽盖面与过渡 面交点 对应的 p 值 ， 由下式确 定 ： b a 1 tan p R d p R （4-47 ） 过渡面为 ： 2 2 t a a a 1 tan tan 0 cos

56、 F p p t d p d p （4-48 ） 这里的 是一个数值很 小的 数 ， 通常为 0.01 0.05 。 0 表示没有过 渡 区 ， 此时 由 于帽盖面的 法线方向 都指向右 侧 （ 体积压 缩 ） ， 帽盖 面上不会出 现软化 ； 取得越大其 过渡面 的曲率也就 越大 ， 有 利于拟合 剪切破坏 数据点 。 第 4 章 岩土 工程 中常 用的 本构 模型 79 （2 ） 塑性势 面 。 修正 Drucker-Prager 帽盖模型的塑性 势面同样 也采用 几段组成 （ 如 图 4-19 所示 ） ， 其 在帽 盖面上是相 关联的 ， 而在剪切 破坏面和 过渡区是 非关 联的 。

57、图 4-19 修 正 Drucker-Prager 帽 盖模 型的 塑性 势面 帽盖面上的 塑性势面 函数为 ： 2 2 c a 1 / cos R t G p p （4-49 ） 剪切破坏面 和过渡区 的塑性势 面函数为 ： 2 2 s a tan 1 / cos t G p p （4-50 ） （3 ） 硬化规 律 。 修正 Drucker-Prager 帽盖模型 中的硬化 参数为 b p ， 用户 可以分段指 定 b p 与塑性体积应变 vol p l 的关系 （ 如 图 4-20 所示 ） 。 图 4-20 中的 vol c r 是蠕变引起的 塑性体积应 变 ， 塑 性体积应 变轴 的

58、原点可取 任意值 。 vol vol vol 0 0 0 i n p l c r 为分析开始时材 料的初始 状态在 该轴上对应 的位置 ， 这就定义了 分析开始 时帽盖的 位置 ， 或 称初始屈 服面 大小 。 图 4-20 b p 与 vol p l 的关 系 ABAQUS 在岩土 工程 中的 应用 80 2 修正 Drucker-Prager 帽盖模型的用 法 （1 ） 在 ABAQUS/CAE 中使用修正 Drucker-Prager 帽盖模型 。 在 Property 模块中 ， 执行 【Material 】/ 【Create 】 命 令 ， 在 Edit Material 对话框中执

59、行 【Mechanical 】/ 【Plasticity 】/ 【Cap Plasticity 】 命令 ， 此时对话框 如 图 4-21 所示 。Data 数 据列 表中需要设 置的参数 有 ： Material Cohesion ： p t 平面上的粘聚 力 d 。 Angle of Friction ： p t 平面上的摩擦角 。 Cap Eccentricity ： R ， 需大 于 0 。 Init Yld Surf Pos ： 定义初始屈服面位置 vol 0 i n 。 Transition Surf Rad ： ， 包含蠕 变效应时 0 。 FlowStress Ratio ：

60、k ， 三轴拉伸强 度与三轴 压缩强度 之 比 。 在如 图 4-21 所示右 侧的 Suboptions 选项中 ， 选择 Cap Hardening ， 在弹出 Suboption Editor 对话框中用 户可以通 过表格给 定 b p 随 vol p l 的变化 。 图 4-21 Edit Material 对 话框 提示 ： 需要 将对话框 向右放大 才能显示 所有参 数 选项 。 （2 ） 在 inp 输入文件中使用修正 Drucker-Prager 帽盖模型 。 定义 修正 Drucker-Prager 帽盖模型 的 关键字行 语句为 ： *CAP PLASTICITY d ，

61、， R ， vol 0 i n ， 0 ， k *CAP HARDENING b p ， vol p l ； 该行 可重 复多 次 。 第 4 章 岩土 工程 中常 用的 本构 模型 81 3 修正 Drucker-Prager 帽盖模型 的使 用注意事 项 （1 ） 修正 Drucker-Prager 帽盖模型 可 用于 ABAQUS/Standard 和 ABAQUS/Explicit 。 （2 ） 修正 Drucker-Prager 帽盖模型 可 和线弹性 模型或 多孔介质弹 性模型联 合使用 。 （3 ） 修正 Drucker-Prager 帽盖模型 采 用了非关 联流动 法则 ， 因

62、此必 须采用 非 对称求解 器 。 （4 ） 修正 Drucker-Prager 帽盖模型 可用于平 面应变 、 广义平面应 变 、 轴 对称和三 维单元 ， 不能用于平 面应力单 元 。 （5 ） 用户必须定 义初始应 力条件 ， 如 果初始应 力状态 点落在初始 帽盖面的 外侧 ， ABAQUS 会自动调整 帽盖面的 初始位置 ， 使得应 力状态点 落在 帽盖面上 。 但 如果初 始应力状 态点落在 剪 切破坏面的 外侧 ，ABAQUS 将不能继续计算 。 （6 ） 修正 Drucker-Prager 帽盖模型 可 考虑率相 关性 ， 如蠕变效应 。 （7 ） 若使用 了 修正 Druck

63、er-Prager 帽盖模型 ， 此时输 出变量 PEEQ 不再代 表等效塑 性应 变 ， 而是帽 盖的位置 b p 。 4.3.4 临界状态塑性模型 （Critical state plasticity model ） 临界状态塑 性模型 ， 我们更习 惯称之为 （ 修正 ） 剑桥 模型 ， 是由 英国剑桥 大学 Roscoe 等 人建立的一 个有代表 性的土的 弹塑性模 型 ， 该模 型采 用了椭圆屈 服面和相 适应的流 动准则 ， 并 以塑性体应 变为硬化 参数 ， 在国 际上已被 广泛 接受 和 应用 。 ABAQUS 中对 Roscoe 等人提出的 剑桥模型做 了一定的 推广 ， 但

64、 本质上是 一致的 。 1 模型的基 本理论 （1 ） 屈服面 。 剑 桥模 型的屈服 面如 图 4-22 所示 ，ABAQUS 内的屈服面函数与土力 学中 的表达形式 虽略有差 异 ， 但实 质上都是 一样的 ： 2 2 2 1 1 1 0 p t a M a （4-51 ） 式中 M 是临界状态线 （critical state line ，CSL ） 在 p-t 平面上的斜率 ； a 是椭圆与 CSL 线 的交点所对 应的 p 大小 。 是控制屈 服面形状 的参数 ， 在 t M p 的一侧 1 ； 在 t M p 的一 侧 ， 可不等于 1 ， 影 响该侧屈 服面的形 状 。 图 4-

65、22 剑 桥模 型的 屈服 面 （2 ） 塑性势 面 。 剑桥 模型采用 相关联的 流动法 则 ， 即塑性势面 与屈服面 相同 。 （3 ） 硬化 规律 。 常规土力 学中的剑 桥模型 1 ， 以 椭圆 屈 服面与 p 轴的交点的 p 值大小ABAQUS 在岩土 工程 中的 应用 82 c p 来控制屈服 面大小的 变化 。 在 ABAQUS 中 ， 由于 可 不等于 1 ， 因而用 前面提到 的 a 作为 硬化参数 ， 两者之间 的关系为 c 1 a p ， 当 1 时 ， 有 0 2 a p 。 ABAQUS 提供了两种方式定 义硬化规 律 ： 指数形式 （Exponential form ） ： 以土体为例 ， 若