深圳大学数学模型讲座new

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1、数学模型与数学建模,数学走向应用的必经之路，启迪数学心灵的必胜之路,什么是数学模型,你常见的模型 玩具、照片、房屋模型 实物模型 地图、电路图、分子结构图 符号模型 模型：为了一定目的，对原型的主要特征进行简化、抽象得到的一个低代价近似替代物。,什么是数学模型,数学模型：通过抽象和简化，使用数学语言对实际对象的刻画，以便于人们更深刻地了解所研究的对象, 从而更有效地解决实际问题。 是指对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定的目的，做出一些必要的简化和假设，运用 适当的数学工具得到一个数学结构。 数学结构：是指数学符号、数学关系式、数学命题、图形图表等，这些基于数学思想与方法的数学问题。,什么

2、是数学模型,总之，数学模型是对实际问题的一种抽象，基于数学理论和方法，用数学符号、数学关系式、数学命题、图形图表等来刻画客观事物的本质属性与其内在联系。是用数学语言表达的实际问题的一个低代价近似, 这一模型对于实际问题的解决应有重要的启发作用。,什么是数学建模,是一种数学的思考方法，是“对现实的现象通过心智活动构造出能抓住其重要且有用的特征的表示，常常是形象化的或符号的表示。”从科学，工程，经济，管理等角度看数学建模就是用数学的语言和方法，通过抽象，简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学工具。是建立数学模型的过程。,你熟悉的数学模型“航行问题”,甲乙两地相距750千米，船从甲到

3、乙顺水航行需30小时， 从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少? 解：用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：,x =20 y =5,答：船速每小时20千米/小时.,你身边的数学模型：购房贷款,作为房产公司的代理人，你要迅速准确回答客户各方面的问题。现在要制作一个软件，根据客户所选房屋的建筑面积、每平方米单价、首付比例，贷款种类、贷款期限、还款方式等信息计算下列信息：房款总额、首付款额、月还款额等。,分析与假设,贷款种类:1 商业 2 公积金 3 组合(一般) 还款方式: 等额本息,等额本金 假设首付比例、贷款期限符合政府规定 假设自借款日一个月后，每月固定时间还款 不考虑贷款利率的变

4、化（当前计算结果贷款利率改变以后失效）,数学建模,房款总额T=建筑面积S每平方米单价R 首付款额F=房款总额T首付比例p 考虑 组合贷款(其他为特例)。设公积金贷款AT-F元， 那么商业贷款为B =T-F-A元 设后台变量：公积金贷款N1月，年利率r1，商业贷款N2月，年利率r2 。,月还款额怎么算？,等额本息情形,设公积金月还M元，第n个月公积金贷款欠款xn. 那么 xn=xn-1(1+r1/12)-M, 计算得 xn= xn-2(1+r1/12)2-M (1+r1/12)-M = x0 (1+r1/12)n-M (1+r1/12)n-1+1 由于 x0=A, xN1=0. 那么 A (1+

5、r1/12)N1-12M (1+r1/12)N1-1/ r1=0 这样 M=A r1 (1+r1/12)N1 /12/ (1+r1/12) N1 -1 同理 可以计算商业贷款月还款额,第n月还款额公式,等额本金情形,月还本贷款本金还款月数，利息月月清 月还款额（贷款本金还款月数）（所欠本金当月利率） 第一个月公积金月还 A/N1+ Ar1/12 第二个月公积金月还 A/N1+ (A-A/N1)r1/12 . 第N1个月公积金月还 A/N1+ A1-(N1-1)/N1r1/12,第n月还款额公式,后继工作/例子,编写软件(界面计算) 写说明书 例子: 100平米, 单价5000元, 首付20%,

6、 公积金10万, 期限120月, 商业利率7.56%*0.85,公积金利率5.04% (2007年8月22日). T, F, M=hmorgage07(100, 5000, 0.2, 100000, 120, 120, 1) 等额本息: 4458元/月(总还53.5万) 等额本金: 5360，5343，, 3350元/月(总还52.3万),现状,数学建模是一门新兴的学科，20世纪70年代初诞生于英、美等现代工业国家。在短短几十年的历史瞬间辐射至全球大部分国家和地区。 80年代初，我国高等院校也陆续开设了数学建模课程，随着数学建模教学活动（包括数学建模课程、数学建模竞赛和数学（建模）试验课程等）

7、的开展，这门课越来越得到重视，也深受广大学生的喜爱。,原因：,一是科学技术进入了迅猛发展的时期，信息科学飞速发展，各个学科相互交融，对每个科学工作者提出了更高的要求，他们不仅要全面掌握本专业的知识，还要有广博的知识视野，才能适应多学科的综合研究的需要。数学思想及数学方法正日益广泛地渗透到科学研究、工程设计、管理决策、商务运作、经济分析等各个领域。成为强有力的载体和工具 。,原因（续）：,二是由于新技术特别是计算机技术的飞速发展，为数学应用到实际问题提供了强有力的工具，而计算机与实际问题之间需要数学模型来沟通。社会对大学生的要求越来越高 ，大学生毕业后要适应社会的需求，一到工作岗位就能创造价值。

8、近几年全世界所发表的科技论文中，使用频率最高的关键词即为数学模型,数学建模竞赛起源与历史,美国工业与应用数学学会在1985年发起的一项大学生竞赛活动，目的在于激励学生学习数学的积极性，提高学生建立数学模型和运用计算机技术解决实际问题的综合能力，鼓励广大学生踊跃参加课外科技活动，开拓知识面，培养创精神及合作意识，推动大学数学教学体系、教学内容和方法的改革。,数学建模竞赛起源与历史（续）,我国大学生数学建模竞赛是由教育部高教司和中国工业与数学学会主办、面向全国高等院校的、每年一届的通讯竞赛。其宗旨是：创新意识、团队精神、重在参与、公平竞争。1992年在中国创办自从创办以来，得到了教育部高教司和中国

9、工业与应用数学协会的得力支持和关心，呈现出迅速的发展发展势头,全美大学生数学建模竞赛（MCM）,创办于1985年，由美国运筹与管理学会，美国工业与应用数学学会和美国数学会联合举办，开始主要是美国的大学参赛，90年代以来有来自中国、加拿大、欧洲、亚洲等许多国家的大学参加，逐渐成为一项全球性的学科竞赛,全美大学生数学建模竞赛（MCM）（续）,1985开始Mathematical Competition in Modelling 1987改为Mathematical Contest in Modelling 简称：MCM Outstanding Winner Meritorious Winner H

10、onorable Mention Successful Participant,全美大学生数学建模竞赛（MCM）（续）,宗旨：鼓励大学师生对范围并不固定的各 种实际问题，予以阐明、分析并指 出解法； 规则：每对三人，可配一名指导教师（教 练），参赛者在自己的学校答卷， 可以使用包括计算机、软件包、教 科书、杂志、手册之类的外部资源， 还可以向教练以外的专家咨询； 时间：每年2或3月某周末,全美大学生数学建模竞赛（MCM）（续）,题目：由工业和政府等部门工作的数学家提出建议，由命题组选择，没有固定范围的实际问题； 要求：四天（96小时）内要以有清楚格式写出解法论文：1、问题的适当阐明和重新叙述；

11、2、假定和假设的清楚说明；3、对为什么要用所述模型的分析；4、模型设计；5、怎样测试模型的讨论；8、模型的优缺点讨论，包括误差分析；以及9、放在论文最前面的不超过一页的论文提要等。,全美大学生数学建模竞赛（MCM）（续）,上一年11月份报名，每个大学限报4队，每个系限报2队，2月上旬比赛，4月份评奖。9篇优秀论文刊登在“The Journal of Undergraduate Mathematics and Its Applications（UMAP）”专刊上。详见,交叉学科建模竞赛（ICM）,1999年从MCM分化出来，与MCM时间完全同步。区别是题目需要几个背景学科知识，每个大学限报3队，

12、每个队成员必须来自不同系。详见,评卷标准,假设的合理性 建模的创造性 结果的正确性 文字表达的清晰程度,中国大学生数学建模竞赛CUMCM,由中国工业与应用数学协会(CSIAM)发起组织的每年一度的大学生数学建模比赛。比赛时间一般为每年9月的第四个周末，每个参赛队由三名队员组成要求在三天时间内从给出的两个题目中选择一个(一般是连续模型和离散模型各一个)，利用数学和计算机对问题进行表述、分析、计算，得出可行的，有创造的结果、方案、设计，并撰写报告。队员在比赛中可以使用一切非人力资源，包括计算机、网络、图书馆，但不能与三人以外的任何人针对试题进行交流。,中国大学生数学建模竞赛CUMCM,基本上是MC

13、M的翻版，所不同的是： 1、政府部门（教育部门）组织； 2、时间为9月下旬第一周末（72小时）； 3、所有专业的本、专科生都可参加； 4、A、B题本科生（除农、林、医）做， C、D题专科生、农、林、医专业的学生做。,中国大学生数学建模竞赛CUMCM,这是一项非常具有创造 和挑战 的活动，通过数学建模的锻炼，最重要的是学会一种责任感和敬业精神，一种创造 ，一种团队精神，你可以在计算机编程、数学软件使用、论文写作，口语表达、组织调度能力等各个方便得到最大限度的展现和锻炼，而这些内容正是国内高等教育中的盲点。,中国大学生数学建模竞赛CUMCM,CUMCM的评奖结果一般设置三个等级，一个是全国奖，一个

14、是省级奖，一个是成功参赛奖。全国奖又有1、2等之分，省级奖品也分为1、2、3等奖。,参加数模竞赛通常需要的知识,数学建模竞赛涉及到计算机科学、软件编程、高等数学、线性代数、概率统计、计算方法、运筹学、图论、微分方程还有与计算机知识相交叉的知识：计算机模拟、数学软件等方面的知识，与其它各种单科学科竞赛有很大区别。,参加数模竞赛通常需要的知识,计算机的运用能力，一般来说凡参加过数模竞赛的同学都能熟练地应用字处理软件“Word”(97或2000)，掌握电子表格“Excel”的使用；“Mathematical”软件的使用，最好还具备语言能力。这些知识大部分都是学生自己利用课余时间学习的。,参加数模竞赛

15、通常需要的知识,论文的写作能力，前面已经说过考卷的全文是论文式的，文章的书写有比较严格的格式。我们很多大专生做选择题的时候是“高手”但是要清楚地表达自己的想法的就困难重重了，有时一个问题没说清楚学生就又说另一个问题等等，评卷的教师们有一个共识，一遍文章用10来分钟阅读仍然没有引起兴趣的话，这一遍文章就很有可能被打入冷宫了。,参加数模竞赛通常需要的知识,数学建模竞赛不同于其它各种具有单个学科的竞赛，如：数学竞赛、物理竞赛、计算机程序设计竞赛等的竞赛，因为这些竞赛只涉及到一门学科、甚至一门课程的知识，而数学建模竞赛涉及到数学学科、计算机学科等其他许多学科的知识。学生要想在数学建模竞赛中取得好成绩，

16、除了具有以上数学知识外，还要有较好的计算机编程能力、网上查阅资料的能力及论文写作能力等，此外，他们还应有接触各种新知识的环境和喜好。,参加数模竞赛通常需要的知识,通常数学建模题目只给出问题的描述和要达到的目的，参赛学生要做的事情是将问题用数学语言转化成数学问题，然后在数学的背景下使用计算机或数学软件来求解，最后再根据所得的解来解释和检验所给的实际问题。与数学竞赛不同的是，数学建模赛题没有标准的正确答案，试卷的评分标准是看学生解决问题和创新的能力。因此要做好一个数学建模问题并不是一件容易的事情，需要学生很多的知识以及对所学各种知识的综合运用，对学生是一个挑战。,参加数模竞赛通常需要的知识,数学建

17、模竞赛是教育部认可的少数国家级竞赛之一，我国还有很多省市常把每年一次的全国大学生数学建模竞赛结果作为衡量高校教学水平的一个重要指标,而在考研和毕业找工作方面,很多研究生导师或应聘单位也更愿意要从事过数学建模竞赛的学生。,数学建模竞赛的竞赛形式,数学建模竞赛的形式也与通常用一支笔、一张纸、一个人完成的数学竞赛不同，它是开卷的通讯比赛，可以自由的收集资料、调查研究，随意使用计算机、软件和互联网。一般由三名学生组成一队，在三天时间内，团结合作、奋力攻关，完成一篇数学建模全过程的论文。这种方式有利于培养参赛选手勇于创新、理论联系实际的学风和相互协调、团结合作的精神，有利于优秀人才脱颖而出。数学建模是毅

18、力的一种考证，是知识的一次爆发。如果您在完成学业的同时，注意培养自己的综合研究能力，这项竞赛可是一个不可多得的机会。,数学建模竞赛的评卷标准,数学建模竞赛一般没有事先设定的标准答案，而留有较大的灵活性供参赛者发挥创造能力。由多名专家对于参赛论文进行从问题分析及假设的合理性，模型的正确性和创造性，运算结果的合理性，结论和讨论的科学性，论文表达的清晰性等方面来评定。,数学软件介绍,美国Mathwork公司于1984年推出的“Matrix Laboratory”（缩写为Matlab）软件包是当今世界上最好的科学计算工具。目前最新的7.x版本（windows环境）是一种功能强、效率高、便于进行科学和工

19、程计算的交互式软件包。它集应用程序和图形于一体，具有极强的直观显示功能，因而非常便于使用。Matlab软件包中包含有科研和工程设计中常用的各种数值计算方法的计算程序。,数学软件介绍,大量的基本的数值计算可在Matlab环境下直接进行，其语言表述形式极其简洁，几乎与通常的数学表达形式相同，不需像传统的算法语言那样进行编程。Matlab的简单的编程语言又使你可以把它的不同的计算程序连接起来完成复杂的数值计算过程。Matlab可以在计算机上直接输出结果和精美的图形显示，Matlab大大降低了对使用者的数学基础和计算机语言知识的要求,数学软件介绍,Matlab语言表述形式和其数学表达形式相同，不需要按

20、传统的方法编程。不过，Matlab作为一种新的计算机语言，要想运用自如，充分发挥它的威力，也需先系统地学习它。但由于使用Matlab编程运算与人进行科学计算的思路和表达方式完全一致，所以不象学习其它高级语言-如Basic、Fortran和C等那样难于掌握。实践证明，你可在几十分钟的时间内学会Matlab的基础知识，在短短几个小时的使用中就能初步掌握它.从而使你能够进行高效率和富有创造性的计算。 Matlab大大降低了对使用者的数学基础和计算机语言知识的要求，而且编程效率和计算效率极高，还可在计算机上直接输出结果和精美的图形拷贝，所以它的确为一高效的科研助手。自推出后即风行美国，流传世界。,全国

21、大学生数学建模竞赛题,2000网易杯全国大学生数学建模竞赛题目 A题 DNA序列分类 2000年6月，人类基因组计划中DNA全序列草图完成，预计2001年可以完成精确的全序列图，此后人类将拥有一本记录着自身生老病死及遗传进化的全部信息的“天书”。这本大自然写成的“天书”是由4个字符A，T，C，G按一定顺序排成的长约30亿的序列，其中没有“断句”也没有标点符号，除了这4个字符表示4种碱基以外，人们对它包含的“内容”知之甚少，难以读懂。破译这部世界上最巨量信息的“天书”是二十一世纪最重要的任务之一。在这个目标中，研究DNA全序列具有什么结构，由这4个字符排成的看似随机的序列中隐藏着什么规律，又是解

22、读这部天书的基础，是生物信息学（Bioinformatics）最重要的课题之一。,DNA序列分类,虽然人类对这部“天书”知之甚少，但也发现了DNA序列中的一些规律性和结构。例如，在全序列中有一些是用于编码蛋白质的序列片段，即由这4个字符组成的64种不同的3字符串，其中大多数用于编码构成蛋白质的20种氨基酸。又例如，在不用于编码蛋白质的序列片段中，A和T的含量特别多些，于是以某些碱基特别丰富作为特征去研究DNA序列的结构也取得了一些结果。此外，利用统计的方法还发现序列的某些片段之间具有相关性，等等。这些发现让人们相信，DNA序列中存在着局部的和全局性的结构，充分发掘序列的结构对理解DNA全序列是

23、十分有意义的。目前在这项研究中最普通的思想是省略序列的某些细节，突出特征，然后将其表示成适当的数学对象。这种被称为粗粒化和模型化的方法往往有助于研究规律性和结构。,DNA序列分类,作为研究DNA序列的结构的尝试，提出以下对序列集合进行分类的问题： 1）下面有20个已知类别的人工制造的序列（见下页），其中序列标号110 为A类，11-20为B类。请从中提取特征，构造分类方法，并用这些已知类别的序列，衡量你的方法是否足够好。然后用你认为满意的方法，对另外20个未标明类别的人工序列（标号2140）进行分类，把结果用序号（按从小到大的顺序）标明它们的类别（无法分类的不写入）： A类 ； B类 。 请详

24、细描述你的方法，给出计算程序。如果你部分地使用了现成的分类方法，也要将方法名称准确注明。 这40个序列也放在如下地址的网页上，用数据文件Art-model-data 标识，供下载：,B题 钢管订购和运输,要铺设一条 的输送天然气的主管道, 如图一所示(见下页)。经筛选后可以生产这种主管道钢管的钢厂有 。图中粗线表示铁路，单细线表示公路，双细线表示要铺设的管道(假设沿管道或者原来有公路，或者建有施工公路)，圆圈表示火车站，每段铁路、公路和管道旁的阿拉伯数字表示里程(单位km)。 为方便计，1km主管道钢管称为1单位钢管。 一个钢厂如果承担制造这种钢管，至少需要生产500个单位。钢厂 在指定期限内

25、能生产该钢管的最大数量为 个单位，钢管出厂销价1单位钢管为 万元，如下表：,钢管订购和运输,1单位钢管的铁路运价如下表：,钢管订购和运输,1000km以上每增加1至100km运价增加5万元。 公路运输费用为1单位钢管每公里0.1万元（不足整公里部分按整公里计算）。 钢管可由铁路、公路运往铺设地点（不只是运到点 ，而是管道全线）。 （1）请制定一个主管道钢管的订购和运输计划，使总费用最小（给出总费用)。 （2）请就（1）的模型分析：哪个钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大，哪个钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大，并给出相应的数字结果。 （3）如果要铺设的管道不是一条

26、线，而是一个树形图，铁路、公路和管道构成网络，请就这种更一般的情形给出一种解决办法，并对图二按（1）的要求给出模型和结果。,钢管订购和运输,数学建模的基本方法,机理分析：根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律 测试分析：将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型 二者结合：用机理分析建立模型结构, 用测试分析确定模型参数,数学建模的一般步骤,模 型 准 备,了解实际背景,明确建模目的,搜集有关信息,掌握对象特征,形成一个 比较清晰 的问题,数学建模的一般步骤,模 型 假 设,针对问题特点和建模目的,作出合理的、简化的假设,在合理与简化之间作出折中,模

27、型 构 成,用数学的语言、符号描述问题,发挥想像力,使用类比法,尽量采用简单的数学工具,数学建模的一般步骤,模型 求解,各种数学方法、软件和计算机技术,如结果的误差分析、统计分析、 模型对数据的稳定性分析,模型 分析,模型 检验,与实际现象、数据比较， 检验模型的合理性、适用性,模型应用,数学建模的全过程,现实对象的信息,数学模型,现实对象的解答,数学模型的解答,(归纳),(演绎),表述,求解,解释,验证,根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题,选择适当的数学方法求得数学模型的解答,将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象,用现实对象的信息检验得到的解答,现实世界,数学世界,实践,数学模

28、型的分类,1）按变量的性质分：,2）按时间变化对模型的影响分,3）按模型的应用领域（或所属学科）分 人口模型、交通模型、生态模型、城镇规划模型、水资源模型、再生资源利用模型、污染模型、生物数学模型、医学数学模型、地质数学模型、数量经济学模型、数学社会学模型等。,4）按建立模型的数学方法（或所属数学分支）分 初等模型、几何模型、线性代数模型、微分方程模型、图论模型、马氏链模型、运筹学模型等。,5）按建模目的分 描述性模型、分析模型、预报模型、优化模型、决策模型、控制模型等。,6）按对模型结构的了解程度分 白箱模型：其内在机理相当清楚的学科问题，包括力学、热学、电学等。 灰箱模型：其内在机理尚不十

29、分清楚的现象和问题，包括生态、气象、经济、交通等。 黑箱模型：其内在机理（数量关系）很不清楚的现象，如生命科学、社会科学等。,数学应用题与数学建模的区别,怎样学习数学建模,数学建模 技术+艺术,技术大致有章可循,艺术无法归纳成普遍适用的准则,想像力,洞察力,判断力,学习、分析、评价、改进别人作过的模型,亲自动手，认真作几个实际题目,背景,世界人口增长概况,中国人口增长概况,研究人口变化规律,控制人口过快增长,数学建模示例：人口的增长,指数增长模型马尔萨斯提出 (1798),常用的计算公式,x(t) 时刻t的人口,基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数,今年人口 x0, 年增长率 r,k年

30、后人口,随着时间增加，人口按指数规律无限增长,指数增长模型拟合(1790-2000),r = 0.2080，x1790 =5.8160，x2000 = 458.6648,程序jye11c,指数增长模型拟合(1860-2000),r = 0.1563，x1860 =37.1889，x2000 = 331.5627,程序jye11b,指数增长模型拟合(1900-2000),r = 0.1308，x1900 =79.844，x2000 = 295.3584,程序jye11a,指数增长模型的应用及局限性,可用于短期 人口增长预测,不能预测较长期 的人口增长过程,分析人口增长率,阻滞增长模型(Logis

31、tic模型),人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：,资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用,且阻滞作用随人口数量增加而变大,假设,r固有增长率(x很小时),xm人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）,x(t)S形曲线, x增加先快后慢,阻滞增长模型(Logistic模型),程序jye15c,阻滞增长模型拟合(1790-2000),x1790=7.1191, r= 0.2254, xm=397.6, x2000 = 268.1307,程序jye15c,阻滞增长模型拟合(1860-2000),r = 0.1998，x1860 =35.9655，xm=480.59, x2000 = 274.08,

32、程序jye15b,阻滞增长模型拟合(1900-2000),r = 0.1646，x1900 =77.7659，xm=745.76, x2000 = 280.6681,程序jye15a,参数估计,用指数增长模型或阻滞增长 模型作人口预报，必须先估 计模型参数 r 或 r, xm,利用统计数据用最小二乘法作拟合,例：美国人口数据（单位百万）,阻滞增长模型(Logistic模型),模型检验,用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较,实际为281.4 (百万),模型应用预报美国2010年的人口,加入2000年人口数据后重新估计模型参数,Logistic 模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量),阻滞增长模型(Logistic短期模型),