数学分析第一章实数集与函数

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1、第一章 实数集与函数,1 实数 教学内容：实数的概念与性质；绝对值与其不等式性质 教学重点：绝对值与其不等式性质 教学要求：理解绝对值不等式性，会解绝对值不等式。,一 实数及其性质,实数,1,有理数，无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的为以下讨论的需要，我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”为此作如下规定：,对于正有限小数,其中,记:,2,对于正整数,则记,对于负有限小数（包括负整数）,则先将,小数，再在所得的小数之前加负号.,表示为无限,例：,3,4,5,不足近似值;,过剩近似值.,不减，,不增。,6,命题：,7,实数的主要性质,8,9,10,11,12,(3)Berno

2、ulli不等式,13,作业P4,1(1),2(2),3,4,5(2),14,2 数集确界原理 教学内容：区间与邻域；有界集与确界原理 重点：区间与邻域的概念，确界定义与确界原理 要求：正确理解数集上下确界与数集上下界的定 义。,15,一 区间与邻域 区间（用来表示变量的变化范围）,设,且,称为开区间，记为,16,17,18,19,（见下页示图）,20,点a的,右邻域和点a的空心,右邻域,，,点a的,左邻域和点a的空心,左邻域,，,。,21,邻域，,邻域，,邻域,（其中为充分大的正数）；,22,23,24,25,26,.,例1 讨论数集,的确界。,例2 设数集,证明:,。,；,27,3 确界原理

3、,为非空数集，若,有上界，则,上确界；若,有下界，则,必有下确界。,定理1.1 设,必有,数集的确界可能属于，也可能不属于；,、确界的性质 唯一性：若数集存在上（下）确界，则一定是唯一的； 若数集存在上、下确界，则有,例3设数集有上(下)界，证明：,28,29,30,作业P9,1(1)(2),2(1),4(2)(4),5,31,教学目的：使学生深刻理解函数概念。,教学要求：（）深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数和 初等函数的定义，熟悉函数的各种表示方法； （）牢记基本初等函数的定义、性质及其图象。会求 初等函数的存在域，会分析初等函数的复合关系。,教学重点：函数的概念。 教学难点：初等函数

4、复合关系的分析。,第一章 函数概念,32,一 函数的定义,定义 设,，如果存在对应法则,，使对,，存在唯一的一个数,与之对应，则称,是定义在数集上的函数，记作,(,).,函数,在点,的函数值，记为,称为函数,，全体函数值的集合,的值域，记作,。即,33,。,几点说明 （1）函数定义的记号中“,”表示按法则,建立到的函数关系，,元素之间的对应关系，也记作,。习惯上称,自变量，,为因变量。,表示这两个数集中,34,当对应法则和定义域确定后，值域便自然确定下来。因此，函数的基本要素为两个：定义域和对应法则。所以函数也常表示为： 由此，我们说两个函数,相同，是指它们有相同的定义域和对应法则。,例如：1

5、）,（不相同，对应法则相同，定义域不同）,（相同，对应法则的表达形式不同）。,2）,（2） 函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域。,35,（3）函数用公式法（解析法）表示时，函数的定义域 常取使该运算式子有意义的自变量的全体，通常称 为存在域（自然定义域）。此时，函数的记号中的 定义域可省略不写，而只用对应法则,个函数。即“函数,”或“函数,”。,来表示一,（4）“映射”的观点来看，函数,本质上是映射。,（5）函数定义中，,，只能有唯一的一个,值与它对应，这样定义的函数称为“单值函数”，,若对同一个,值，可以对应多于一个,这种函数为多值函数。本书中只讨论单值函数。,值，则称,36,二 函数

6、的表示方法,1 主要方法：解析法（公式法）、列表法和图象法。 2 可用“特殊方法”来表示的函数。,（1）分段函数：在定义域的不同部分用不同的公式来表示。,例如,，（符号函数）,（借助于Sgnx可表示,即,）。,37,（）用语言叙述的函数。（注意；以下函数不是分段函数）,例 ）,（取整函数）,（irichlet）,（Riemman函数）,）,）,38,三 函数的四则运算,39,一质点作自由落地运动,求该质点的动能.,40,41,42,五 反函数,43,44,45,六 初等函数,1、常数函数 2、幂函数,46,47,48,49,50,5 三角函数 6 反三角函数 arcsinx , arccosx

7、 图像,-1,-0.5,0,0.5,1,-1.5,-1,-0.5,0,0.5,1,1.5,x,asin,(,x,),-1,-0.5,0,0.5,1,0,0.5,1,1.5,2,2.5,3,x,acos,(,x,),51,-6,-4,-2,0,2,4,6,-1.5,-1,-0.5,0,0.5,1,1.5,x,atan,(,x,),arctgx 图 像,52,定义给定实数,，设,为无理数，我们规定：,初等函数,定义由基本初等函数经过在有限次四则运算 与复合运算所得到的函数，统称为初等函数.,如：,不是初等函数的函数，称为非初等函数。如Dirichlet函数、 Riemann函数、取整函数等都是非初

8、等函数。,53,注：初等函数是本课程研究的主要对象。为此，除对基本初 等函数的图象与性质应熟练掌握外，还应常握确定初等函数 的定义域。确定定义域时应注意两点。,例求下列函数的定义域。,（）,（）,作业:P15 3,4(2)(3),5(2),6,7(2)(3),8,54,55,授课章节：4 具有某些特性的函数,教学目的：熟悉与初等函数性态有关的一些常见术语. 教学目的：深刻理解有界函数、单调函数的定义；理解奇偶 函数、周期函数的定义；会求一些简单周期函数的周期。 教学重点：函数的有界性、单调性。,教学难点：周期函数周期的计算、验证。,有界函数,有上界函数、有下界函数的定义,定义 设,为定义在上的

9、函数，若存在数,使得对每一个,有,，则称,为上的有上（下）界函数，,称为,的一个上（下）界。,在上,56,注：（）,在上有上（下）界，意味着值域,是一个有上（下）界的数集；,（）又若,为,则任何大于（小于）的数也是,的上（下）界。,在上的一个上（下） 界，,在上,（3）任给一个函数，不一定有上（下）界；,（4）由（）及“有界集”定义，可类比给出 “有界函数”定义：,57,2,注：（）,在上有界,在上既有上界又有下界；,（2）,在上无界,在上无下界或无上界,58,定义,设,为定义在上的函数。若对每一个正数，,，使得,，则称,为上的无界函数。,都存在,例1 证明,上是无界函数。,在,59,二 单调

10、函数,定义 设,为定义在上的函数，,（）若,，则称,为上的增函数；若,，则称,为上的严格增函数。,（）若,，则称,为上的减函数；若,，则称,为上的严格减函数。,例2 设,为D上的有界函数。,证明：,（1）,（2）,。,60,例3 讨论函数,在上的单调性,61,定理.2 设,为严格增（减）函数，则,必有反函数,，且,在其定义域,严格增（减）函数。,上也是,62,例讨论函数,在,上反函数的存在性；如果,在,上不存在反函数，在,上存在反函数否？,的子区间,63,例证明：,当,时在上严格增，当,时在上严格递减。,64,三 奇函数和偶函数,定义. 设为对称于原点的数集，,为定义在上的,有:,，则称,为上

11、的奇函数；,，则称,为上的偶函数。,函数。若对每一个,奇函数的图象关于原点对称（中心对称），偶,轴对称,函数的图象关于,奇偶性的前提是定义域对称,（）,注：（）,（）,（）,65,两条件缺一不可。,66,67,四 周期函数,定义,设,为定义在数集上的函数，若存在,，使得对一切,有,，则称,为,周期函数，,称为,的一个周期。,68,几点说明：,（1）若,是,的周期，则,也是,的周期,若在周期函数,最小的正周期，则称此最小正周期为,简称“周期”。,的所有周期,2）任给一个函数不一定存在周期,；,中有一个,的“基本周期”，,周期也不一定有基本周期 .,，即使存在,例 求,的周期。,如:Dirichlet函数以任一有理数为周期,但无基本周期.,69,作业P20,1,2(2),3(1),4(4),5(3),6,70,