医药高等数学_第二章

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1、2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,1/109,第二章 导数与微分,第一节 导数概念,第二节 函数的求导法则,第三节 高阶导数,第五节 函数的微分,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,2/109,第一节 导数概念,一、引例,二、导数的定义,三、导数的几何意义,四、函数可导性与连续性的关系,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,3/109,一、 引例,1. 变速直线运动的速度,设描述质点运动位置的函数为,则 到 的平均速度为,而在 时刻的瞬时速度为,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,4/109,2. 曲线的切线斜率,曲线,在 M 点处的切线,割线

2、M N 的极限位置 M T,(当 时),割线 M N 的斜率,切线 MT 的斜率,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,5/109,两个问题的共性:,瞬时速度,切线斜率,所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .,类似问题还有:,加速度,角速度,线密度,电流强度,是速度增量与时间增量之比的极限,是转角增量与时间增量之比的极限,是质量增量与长度增量之比的极限,是电量增量与时间增量之比的极限,变化率问题,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,6/109,二、导数的定义,定义1 . 设函数,在点,存在,并称此极限为,记作:,即,则称函数,若,的某邻域内有定义 ,2020/9/30

3、,南京中医药大学信息技术学院,7/109,运动质点的位置函数,在 时刻的瞬时速度,曲线,在 M 点处的切线斜率,若上述极限不存在 ,在点 不可导.,就说函数,的导数为无穷大 .,也称,在,注:,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,8/109,导函数的定义,如果函数y=f(x)在区间I内每一点x都对应一个导数值 则这一对应关系所确定的函数称为函数y=f(x)的导函数 简称导数 记作,易见,求导数的步骤,(1)求增量,(2)算比值,(3)求极限,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,9/109,例1. 求函数,解:,说明：,对一般幂函数,( 为常数),例如，,2020/9/3

4、0,南京中医药大学信息技术学院,10/109,例2. 求函数,的导数.,解:,则,即,类似可证得,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,11/109,解,即,例4 求函数 的导数,解,即,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,12/109,解,例5,即,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,13/109,单侧导数,1.左导数:,2.右导数:,函数f(x)在某点处可导左导数和右导数都存在且相等.,函数f(x)在开区间(a b)内可导是指函数在区间内每一 点可导,函数f(x)在闭区间a b上可导是指函数f(x)在开区间 (a b)内可导 且在a点有右导数、在b点有左导

5、数,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,14/109,三、导数的几何意义,1.几何意义,切线方程为,法线方程为,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,15/109,解,所求法线方程为,并写出在该点处的切线方程和法线方程,所求切线及法线的斜率分别为,所求切线方程为,即4x+y-4=0,即2x-8y+15=0,例6.求等边双曲线 在点 处的切线的斜率,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,16/109,例7. 问曲线,哪一点有垂直切线 ? 哪一点处,的切线与直线,平行 ? 写出其切线方程.,解:,令,得,对应,则在点(1,1) , (1,1) 处与直线,平行的切线方

6、程分别为,即,故在原点 (0 , 0) 有垂直切线,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,17/109,四、 函数的可导性与连续性的关系,定理1.,证:,设,在点 x 处可导,存在 ,因此必有,其中,故,所以函数,在点 x 连续 .,注意: 函数在点 x 连续未必可导.,反例:,在 x = 0 处连续 , 但不可导.,即,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,18/109,解,例8 讨论函数,在x=0处不可导,在x=0处的连续性和可导性,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,19/109,内容小结,1. 导数的实质:,3. 导数的几何意义:,4. 可导必连续, 但

7、连续不一定可导;,5. 已学求导公式 :,6. 判断可导性,不连续, 一定不可导.,直接用导数定义;,看左右导数是否存在且相等.,2.,增量比的极限;,切线的斜率;,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,20/109,思考与练习,1. 函数 在某点 处的导数,区别:,是函数 ,是数值;,联系:,注意:,有什么区别与联系 ?,？,与导函数,2. 设,存在 , 则,3. 已知,则,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,21/109,4. 设, 问 a 取何值时,在,都存在 , 并求出,解:,故,时,此时,在,都存在,显然该函数在 x = 0 连续 .,2020/9/30,南京中

8、医药大学信息技术学院,22/109,解: 因为,5. 设,存在, 且,求,所以,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,23/109,解: 因为,6. 设,存在, 且,求,所以,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,24/109,二、反函数的求导法则,三、复合函数的求导法则,一、函数的和、差、积、商的求导法则,2.2 函数的求导法则,四、基本求导法则与导数公式,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,25/109,一、四则运算求导法则,定理1.,的和、,差、,积、,商 (除分母,为 0的点外) 都在点 x 可导,且,则,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,

9、26/109,此法则可推广到任意有限项的情形.,证:,设, 则,故结论成立.,例如,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,27/109,(2),证: 设,则有,故结论成立.,推论:,( C为常数 ),2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,28/109,解,例1,例2 y=ex (sin x+cos x) 求y,=2excos x,解,y=(ex)(sin x+cos x)+e x (sin x+cos x),= e x,(sin x+cos x),+e x,(cos x -sin x),求导法则,例4 ysec x 求y,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,29

10、/109,二、反函数的求导法则,定理2.,y 的某邻域内单调可导,证:,在 x 处给增量,由反函数的单调性知,且由反函数的连续性知,因此,则,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,30/109,例6 求(arctan x)及(arccot x),解,因为y=arctan x是x=tan y的反函数 所以,例5 求(arcsin x)及(arccos x),解,因为y=arcsin x是x=sin y的反函数 所以,反函数的求导法则:,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,31/109,在点 x 可导,三、复合函数求导法则,定理3.,在点,可导.,复合函数,且,在点 x 可导

11、,证:,在点 u 可导,故,（当 时 ),故有,则,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,32/109,例如,关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.,推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,33/109,解,复合函数的求导法则:,例7,例8. 求下列导数:,解: (1),(2),2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,34/109,例9,复合函数的求导法则:,例10,解,解,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,35/109,四、基本求导法则与导数公式,1. 常数和基本初等函数的导数 (P94),2020/9

12、/30,南京中医药大学信息技术学院,36/109,2. 导数的四则运算法则,( C为常数 ),4. 复合函数求导法则,3.反函数求导法则,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,37/109,例11.,求,解:由于,例12.,设,解:,求,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,38/109,例13.,求,解:,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,39/109,例14. 设,求,解:,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,40/109,例15. 若,存在 , 求,的导数.,练习: 设,解:,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,41/109,思考

13、与练习,1. 设,其中,在,因,故,正确解法:,时, 下列做法是否正确?,在求,处连续,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,42/109,2. 求下列函数的导数,解: (1),(2),或,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,43/109,3. 设,求,解: 方法1 利用导数定义.,方法2 利用求导公式.,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,44/109,二、高阶导数的运算法则,一、高阶导数的概念,2.3 高阶导数,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,45/109,一、高阶导数的概念,速度,即,加速度,即,引例：变速直线运动,2020/9/30,南

14、京中医药大学信息技术学院,46/109,定义.,若函数,的导数,可导,或,即,或,类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 ,阶导数的导数称为 n 阶导数 ,或,的二阶导数 ,记作,的导数为,依次类推 ,分别记作,则称,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,47/109,所以y 3y10,证明,例1,证明,:,函数,满足关系式,.,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,48/109,设,存在，求下列函数的二阶导数,解:（1）,例2.,（1）,（2）,（2）,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,49/109,设,求,解:,依次类推 ,例3.,思考: 设,问,可得,2

15、020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,50/109,例4. 设,求,解:,特别有:,解:,规定 0 ! = 1,例5. 设,求,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,51/109,例6. 设,求,解:,一般地 ,类似可证:,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,52/109,例7. 设,求使,存在的最高,分析:,但是,不存在 .,2,又,阶数,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,53/109,二、高阶导数的运算法则,都有 n 阶导数 , 则,(C为常数),莱布尼兹(Leibniz) 公式,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,54/109,用数

16、学归纳法可证莱布尼兹公式成立 .,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,55/109,例8.,求,解: 设,则,代入莱布尼兹公式 , 得,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,56/109,(1) 逐阶求导法,(2) 利用归纳法,(3) 间接法, 利用已知的高阶导数公式,(4) 利用莱布尼兹公式,高阶导数的求法,如,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,57/109,例9. 如何求下列函数的 n 阶导数?,解:,解:,(3),解:,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,58/109,二、由参数方程所确定的函数的导数,一、隐函数的导数,2.4隐函数和参数方

17、程求导,三、相关变化率,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,59/109,一、隐函数的导数,显函数与隐函数 形如yf(x)的函数称为显函数 例如 ysin x yln xex 都是显函数 由方程F(x y)0所确的函数称为隐函数,把一个隐函数化成显函数 叫做隐函数的显化,例如 方程xy310确定的隐函数为,隐函数的求导法 把方程两边分别对x求导数 然后从所得的新的方程中把隐函数的导数解出.,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,60/109,例1 求由方程eyxye0所 确定的隐函数y的导数,(ey)(xy)(e)(0),即 eyyy+xy0,方程中每一项对x求导得,解,

18、例2 求由方程y52yx3x70 所确定的隐函数yf(x)在 x0处的导数y|x0,因为当x0时 从原方程得 y0 所以,5y4y2y121x60,方程两边分别对x求导数得,解,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,61/109,例3. 求椭圆,在点,处的切线方程.,解: 椭圆方程两边对 x 求导,故切线方程为,即,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,62/109,解,上式两边再对x求导 得,方程两边对x求导 得,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,63/109,y f(x)ln f(x) 对数求导法适用于求幂指函数yu(x)v(x)的导数及多因子之积和商的导

19、数,此方法是先在yf(x)的两边取对数 然后用隐函数求导法求出y的导数,设yf(x) 两边取对数 得 ln yln f(x) 两边对x 求导 得,对数求导法,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,64/109,例5 求yx sin x (x0)的导数,解法二,这种幂指函数的导数也可按下面的方法求.,解法一,上式两边对x 求导 得,两边取对数 得,ln ysin xln x,yx sin xe sin xln x ,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,65/109,上式两边对x求导 得,说明 严格来说 本题应分x4 x1 2x3三种情况讨论 但结果都是一样的,例6,先在两边

20、取对数 得,解,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,66/109,设xj(t)具有反函数tj-1(x) 且tj-1(x)与yy(t)构成复合函数yyj-1(x) 若xj(t)和yy(t)都可导 则,二、由参数方程所确定的函数的导数,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,67/109,解,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,68/109,再求速度的方向 设a是切线的倾角 则轨道的切线方向为,于是抛射体在时刻 t 的运动速度的大小为,x (t)=v1,y(t)=v2-gt,速度的水平分量与铅直分量分别为,先求速度的大小,解,2020/9/30,南京中医药大学信息技

21、术学院,69/109,讨论: 已知xj(t), yy(t) 如何求y对x的二阶导数y?,例9. 设,求,例10. 设, 且,求,解:,解:,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,70/109,的函数yf(x)的二阶导数,解,(t2np n为整数),2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,71/109,三、相关变化率,为两可导函数,之间有联系,之间也有联系,称为相关变化率,相关变化率问题解法:,找出相关变量的关系式,对 t 求导,得相关变化率之间的关系式,求出未知的相关变化率,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,72/109,例12. 一气球从离开观察员500 m

22、处离地面铅直上升,其速率为,当气球高度为 500 m 时, 观察员,视线的仰角增加率是多少?,解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为 ,则,两边对 t 求导,已知,h = 500m 时,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,73/109,二、微分的几何意义,一、微分的概念,2.5函数的微分,三、微分的运算法则,四、微分在近似计算中的应用,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,74/109,一、微分的概念,引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?,设薄片边长为 x , 面积为 A , 则,面积的增量为,关于x 的线性主部,故,当 x 在,

23、取,变到,边长由,其,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,75/109,的微分,定义: 若函数,在点 的增量可表示为,( A 为不依赖于x 的常数),则称函数,而 称为,记作,即,定理: 函数,在点 可微的充要条件是,即,在点,可微,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,76/109,定理 : 函数,证: “必要性”,已知,在点 可微 ,则,故,在点 的可导,且,在点 可微的充要条件是,在点 处可导,且,即,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,77/109,定理 : 函数,在点 可微的充要条件是,在点 处可导,且,即,“充分性”,已知,即,在点 的可导,则,2

24、020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,78/109,注:,时 ,所以,时,很小时, 有近似公式,与,是等价无穷小,当,故当,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,79/109,例1 求函数yx2在x1和x3处的微分,dy(x2)|x1Dx2Dx 函数yx2在x3处的微分为 dy(x2)|x3Dx6Dx,例2 求函数 yx3当x2 Dx 002时的微分,yf(x)在点x0可微DyADxo(Dx) dy= f (x0)Dx ,解,函数yx2在x1处的微分为,解,先求函数在任意点x 的微分,dy(x3)Dx3x2Dx 再求函数当x2 Dx002时的微分,dy|x=2, Dx=0.0

25、2,=3220.02=0.24,=3x2| x=2, Dx=0.02,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,80/109,当|Dx|很小时 |Dydy|比|Dx|小得多 因此 在点M的邻近 我们可以用切线段来近似代替曲线段,Dy是曲线上点的纵坐 标的增量;,dy是过点(x0 f(x0)的切 线上点的纵坐标的增量.,当x从x0变到x0+Dx时,二、微分的几何意义,则有,从而,导数也叫作微商,自变量的微分,记作,记,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,81/109,d(xm)m xm1dx d(sin x)cos xdx d(cos x)sin xdx d(tan x)sec

26、2xdx d(cot x)csc2xdx d(sec x)sec x tan xdx d(csc x)csc x cot xdx d(a x)ax ln adx d(e x)exdx,(xm)m xm1 (sin x)cos x (cos x)sin x (tan x)sec2 x (cot x)csc2x (sec x)sec x tan x (csc x)csc x cot x (a x)ax ln a (e x)ex,微分公式:,导数公式:,1.基本初等函数的微分公式,三、微分的基本公式和运算法则,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,82/109,微分公式:,导数公式:,20

27、20/9/30,南京中医药大学信息技术学院,83/109,2、 微分的四则运算法则,设 u(x) , v(x) 均可微 , 则,(C 为常数),分别可微 ,的微分为,微分形式不变,3. 复合函数的微分,则复合函数,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,84/109,在求复合函数的导数时 可以不写出中间变量,例3 ysin(2x1) 求dy,2cos(2x1)dx,cos(2x1)2dx,cos(2x1)d(2x1),dyd(sin u),cos udu,若yf(u) uj(x) 则dyf (u)du,解,把2x1看成中间变量u 则,例4,解,2020/9/30,南京中医药大学信息技术

28、学院,85/109,例5. 设,求,解: 利用一阶微分形式不变性 , 有,例6. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:,说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.,注意: 数学中的反问题往往出现多值性.,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,86/109,四、微分在近似计算中的应用,1.函数的近似计算,当,很小时,使用原则:,得近似等式:,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,87/109,特别当,很小时,常用近似公式:,很小),证明:,令,得,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,88/109,的近似值 .,解: 设,取,则,例7. 求,的近似值 .,解

29、:,例8. 计算,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,89/109,例9. 有一批半径为1cm 的球 ,为了提高球面的光洁度,解: 已知球体体积为,镀铜体积为 V 在,时体积的增量,因此每只球需用铜约为,( g ),用铜多少克 .,估计一下, 每只球需,要镀上一层铜 ,厚度定为 0.01cm ,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,90/109,2.误差估计,某量的精确值为 A ,其近似值为 a ,称为a 的绝对误差,称为a 的相对误差,若,称为测量 A 的绝对误差限,称为测量 A 的相对误差限,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,91/109,误差传递公式

30、:,已知测量误差限为,按公式,计算 y 值时的误差,故 y 的绝对误差限约为,相对误差限约为,若直接测量某量得 x ,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,92/109,例10. 设测得圆钢截面的直径,测量D 的,绝对误差限,欲利用公式,圆钢截面积 ,解:,计算 A 的绝对误差限约为,A 的相对误差限约为,试估计面积的误差 .,计算,(mm),2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,93/109,练习,1.,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,94/109,4. 设,由方程,确定,解:,方程两边求微分,得,当,时,由上式得,求,2020/9/30,南京中医药大学信

31、息技术学院,95/109,二、导数和微分的计算,一、导数和微分的概念及应用,第二章习题课,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,96/109,一、 导数和微分的概念及应用,导数 :,当,时,为右导数,当,时,为左导数,微分 :,关系 :,可导,可微,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,97/109,应用 :,(1) 利用导数定义解决的问题,(3)微分在近似计算与误差估计中的应用,(2)用导数定义求极限,1) 推出三个最基本的导数公式及求导法则,其他求导公式都可由它们及求导法则推出;,2) 求分段函数在分界点处的导数 ,及某些特殊,函数在特殊点处的导数;,3) 由导数定义证

32、明一些命题.,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,98/109,例1.设,存在,求,解:,原式=,例2.设,在,处连续,且,求,解:,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,99/109,例3.设,试确定常数 a , b 使 f (x) 处处可导,并求,解:,得,即,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,100/109,是否为连续函数 ?,判别:,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,101/109,设,解:,又,例4.,处的连续性及可导性.,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,102/109,二、 导数和微分的求法,1. 正确使用导数及微分

33、公式和法则,2. 熟练掌握求导方法和技巧,(1) 求分段函数的导数,注意讨论界点处左右导数是否存在和相等,(2) 隐函数求导法,对数微分法,(3) 参数方程求导法,(4) 复合函数求导法,(可利用微分形式不变性),(5) 高阶导数的求法,逐次求导归纳 ;,间接求导法;,利用莱布尼兹公式.,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,103/109,例5.设,其中,可微 ,解:,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,104/109,例6,解,先去掉绝对值,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,105/109,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,106/109,例7,解,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,107/109,例8,解,两边取对数,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,108/109,例9.设由方程,确定函数,求,解:方程组两边对 t 求导,得,故,2020/9/30,南京中医药大学信息技术学院,109/109,