初中数学思想方法选讲

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1、初中数学思想方法选讲,在数学的海洋中，一道道数学题只是大海中的一朵朵浪花，谁能踏遍每一朵浪花呢？,数学思想方法的三个层次:,函数与方程思想,例 如图， 中，BC4， ，P为BC上一点，过点P作PD/AB，交AC于D。连结AP，问点P在BC上何处时， APD 面积最大？,设BPx， APD 的面积为y,如图,已知AB是半圆O的直径,圆O 与圆O内切，圆O切AB于C,CO的延长线交O于E,又AB=6，CE= ,求O半径,D,A,B,E,C,O,O,3-r,r,r,以正方形ABCD的BC边为直径作半圆O, 过点D作直线切半圆于点F, 交AB边于点E. 则三角形ADE和直角梯形EBCD周长之比为（ ）

2、 (A) 3:4 (B) 4:5 (C) 5:6 (D) 6:7,数形结合思想,数形结合百般好,数缺形时少直观,形少数时难入微,隔裂分家万事休,2. 方程 的正根的个数为（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个,1.对于二次函数yax2bxc，若a0，b0，c 0，则下面关于这个函数与x轴的交点情况正确的是（ ） A.只有一个交点 B.有两个，都在x轴的正半轴 C.有两个，都在x轴的负半轴 D.一个在x轴的正半轴，一个在x轴的负半轴,O,y,x,-2,-3,2,y2,4,1,-2,-1,若y12x2，y22x24x2，y3,O,y,x,-3,y1,2,y3,-1,3,( 08湖北恩施州)

3、 如图,C为线段BD上一动点,分别过点B、D作ABBD,EDBD,连接AC、EC.已知AB=5,DE=1,BD=8,设CD=x. (1)用含x的代数式表示ACCE的长； (2)请问点C满足什么条件时,ACCE的值最小? (3)根据(2)中的规律和结论, 请构图求出代数式 的最小值.,如图，RtABCRtADE，A=900，BC和DE交于点P，若AC=3，AB=4，则P点到AB边的距离是_,一般解法：经过添加辅助线，利用相似三角形的判定和性质，解方程等步骤得到结果,解：如图，建立平面直角坐标系， x=,启示：运用坐标系和函数方法解题，思路简捷，思维量少，方法易于掌握，特别是对那些数量关系比较确定

4、的问题，运用坐标系解决问题的效率较理想，常常能出奇制胜的作用,以数解形 以形助数,化归思想,未知向已知转化；复杂问题向简单问题转化，空间向平面的转化；高维向低维转化；多元向一元转化；高次向低次转化；函数与方程的转化；无限向有限的转化等；,1、解方程（组）降次、换元、公式变形 2、方程和函数及不等式转化 3、几何辅助线引发的几何习题的条件和结论的变化和图形的变化 4、代数、几何之间的转化思想,不等式的学习 = +1 +1,如图所示，AB是半圆的直径，AB=4，C、D为半圆的三等分点，求阴影部分的面积?,如图，已知四边形AOBE和四边形CBFD均为正方形，反比例函数 的图象经过D、E两点，则DOE

5、的面积等于_, A, B, B, A,A,B,A,B,L,L,延伸一：某供电部门准备在输电主干线L上连接一个分支线路，分支点为M，同时向新落成的A、B两个居民小区送电。已知两个居民小区A、B分别到主干线的距离AA1=2千米，BB1=1千米，且A1B1=4千米。 （1）如果居民小区A、B位于主干线L的两旁，如左图所示，那么分支点M在什么地方时总路线最短？最短线路的长度是多少千米？（2）如果居民小区A、B位于主干线L的同旁，如图右所示，那么分支点M在什么地方时总路线最短？此时分支点M与A1的距离是多少千米？,延伸二：如图，正方形ABCD的边长为8， M在DC上，且DM=2，N是AC 上一动点，则D

6、N+MN的最小值是多少？,延伸三：如图，A是半圆上一个三等分点， B是弧AN的中点，P是直径MN上一动点， O的半径为1，求AP+BP的最小值。,延伸四：如图所示，在边长为6的菱形ABCD中， DAB=600，E为AB的中点，F是AC 上一动点，则EF+BF的最小值是多少？,延伸五：在直角坐标系XOY中x轴上的动点M（x,0） 到定点P（5，5），Q（2，1）的距离分别为MP 和MQ，那么当MP+MQ取最小值时，点M的横坐标x=?, A, B,牧童放牛 将军饮马 如图，一位小牧童，从A地出发，赶着牛群到河边饮水，然后再到B地，问怎样选择饮水的地点，才能使牛群所走的路程最短？,构建“对称”模型实

7、现转化,分类讨论思想,一.与概念有关的分类,1. 一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是 -3x 6，相应的函数值的取值范围是 -5y-2 ，则这个函数的解析式 。,2. 函数y=ax2-ax+3x+1与x轴只有一个交点，求a的值与交点坐标。,1、对A进行讨论,2、对B进行讨论,3、对C进行讨论,二.图形位置、形状的分类,在三角形的边上找出一点，使得该点与三角形的两顶点构成等腰三角形！,在平面直角坐标系中，已知点P（2，1）.,（1）点T（t，0）是x轴上的一个动点。当t取何值时，TOP是等腰三角形？,P,情况一:OP=OT,情况二:PO=PT,情况三:TO=TP,T3(-4,0),例:,在

8、平面直角坐标系中，已知点P（2，1）.,x,y,0,P,A,（1）点T（t，0）是x轴上的一个动点。当t取何值时，TOP是等腰三角形？,(2) 过P作y轴的垂线PA,垂足为A.点T为坐标系中的一点。以点A.O.P.T为顶点的四边形为平行四边形,请写出点T的坐标?,(2) 过P作y轴的垂线PA,垂足为A.点T为坐标系中的一点。以点A.O.P.T为顶点的四边形为平行四边形,请写出点T的坐标?,例:,在平面直角坐标系中，已知点P（2，1）.,x,y,0,P,A,(3) 过P作y轴的垂线PA,垂足为A.点T为坐标轴上的一点。以P.O.T 为顶点的三角形与AOP相似,请写出点T的坐标?,半径为R的两个等

9、圆外切，则半径为2R且和这两个圆都相切的圆有几个？,如图，边长为2的正方形ABCD中，顶点A的坐标是（0，2）.一次函数yxt的图象l随t的不同取值变化时，正方形中位于l的右下方部分的图形面积为S写出S与t的函数关系式,三、在运动中进行分类,解含有字母系数（参数）的题目时，必须 根据参数的不同取值范围进行讨论.,四、含参型分类.,分式方程、一次二次方程函数,数学方法,例 计算,换元法,换元法,消元法,例.（a-1）:（b+1）:（c+2）=1:2:3,配方法,反证法,1589年，25岁的意大利物理学家伽利略登上比萨斜塔，同时丢下两个重量不同的铁球，用实验推翻了古希腊哲学家亚里斯多德的“不同重量

10、的物体从高处下落的速度与其重量成正比”的错误论断。,伽利略还进行了如下的推理论证：假设亚里斯多德的论断是正确的，设物体A比物体B重得多，则A比B先落地，现在把A和B捆在一起，成为物体A+B。一方面，由于A+B比A重，则A+B比A应先落地；另一方面，由于B比A轻，按亚里斯多德的理论，B下落的速度比A慢，把A、B捆在一起时，B便“拉了A的后腿”，使A下落的速度减慢，所以，A+B应该比A后落地。,自相矛盾的结论：一方面，A+B比A应先落地，另一方面，A+B应比A后落地。根源是亚里斯多德的论断。,已知抛物线， ， 中至少有一条与轴相交，求实数a的取值范围。,正难则反,设 a、b、c为实数， 则x、y、

11、z中至少有一个( ) A大于零 B等于零 C不大于零 D小于零,如图所示，在 中, 点P由点C出发以2cm/s的速度沿线段CA向点A运动（不运动到A点），圆O的圆心在BP上，且圆O与边AC、AB相切，当点P运动2s时，求圆O的半径r。,面积法,数学思想方法的实施途径,1 在知识的发生、形成过程中发掘并强化渗透数学思想方法 2 在知识的运用过程中，注重数学思想方法的分析和指导 3 在知识的归纳和总结中提炼概括数学思想方法,定义,在同一平面内，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。,研究什么,如何研究,四边形转化为三角形,类比知新,在同一平面内，由不在同一条直线上的n条线段首尾顺次

12、相接所组成的图形。,内角、外角,多边形转化为三角形四边形,多边形的内角和,1180,3180,4180,2180,合作学习,你能用适当的方法探究多边形的内角和吗？,边数,图形,3,4,5,6,n,今天我们研究了什么?,我们得到了哪些成果?,如何得到这些成果?,在研究过程中有何体会?,学习梳理,(a+b)(m+n),=,am,1,2,3,4,多项式的乘法,+an,+bm,+bn,a,a,b,b,c,c,(a+b+c)2,你能读懂下图吗?,图形的语言,a2 ab ab b2,=a2 +b2+c2 +2ab+2ac+2bc,思维健美操,a2 ab ac ab b2 bc ac bc c2,(a+b)

13、2,=a2 +2ab +b2,直线与圆的位置关系,当dr ，那么直线l与O相离,当d=r ，那么直线l与O相切,当dr ，那么直线l与O相交,d表示圆心O到直线l的距离，r表示O的半径,r,r,r,用圆心到直线的距离和圆半径的数量关系，来揭示圆和直线的位置关系。,点与圆、圆与圆的位置关系数形结合思想 分类思想,在代数的教学中，二元一次方程组、整式乘法、因式分解三个部分中经常用到一种方法就是换元法，体现的就是整体思想。,整体加减 1、解方程组:（1） （2） 2、已知方程组 ，则 是多少？,整体改造 1、如果 ，那么a的值是 多少？ 2、若 的结果不含x的一次项， 则p的值是什么？ 3、若 对于n的任何值都成立，求m, n 的值。,（2009绵阳中考12题）如图，ABC是直角边长为a的等腰直角三角形，直角边AB是半圆O1的直径，半圆O2过C点且与半圆O1相切，则图中阴影部分的面积是,“作为知识的数学出校门不到两年就可能忘了，唯有深深铭记在头脑中的是数学的精神、数学的思想、研究方法和着眼点等，这些随时地发生作用，使他们终身受益”,