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1、第六章 二重积分习题课,3、性质,一、内容提要,（一）二重积分的概念、性质,1、定义,2、几何意义：曲顶柱体的体积,（二）二重积分的计算,1 、直角坐标系中,(1) 积分区域D的类型：,X型区域，Y型区域,一般区域分划。,积分区域的不等式表示的是二重积分化为二次积分确定积分限的基本依据。,(2) 积分顺序的确定,先积y还是先积x，要结合被积函数f (x,y)及积分区域两个方面的特点加以考虑。,如仅从积分区域的特点看，D是X 型区域时先积y；D是Y 型区域先积x。,首先是“能积出”，其次是“易积出”。,D既是X 型区域又是Y 型区域时,选择不需分块或分块较少的积分顺序。,(3) 交换积分顺序,2
2、、利用极坐标计算二重积分,由所给的二次积分的顺序及积分限，确定积分区域 D（画出图形），再按新的积分顺序将D用新的不等式表出，即定出新的积分限。,(1) 积分顺序通常是先,(2) D的极坐标表示,如D的边界是由直角坐标方程:y =f (x) 给出，通常可从几何意义去确定D的极坐标表示（图形是重要的）或利用,（三）有关二重积分的对称性的应用（选讲）,1、若D关于y轴对称,其中D1是D的右半区域,即当(x,y)D时，必有(x,y) D，则,2、若D关于x轴对称,D1是D的上半部分区域,即当(x,y)D时，必有(x, y) D，则,3、若D关于原点对称，,即当(x,y)D时，必有( x,y) D，则
3、,其中D1是D的上半部分（或右半部分）区域。,（四）有关二重积分的一些证明题,4、若D关于直线 y =x对称，,即当(x,y)D时，必有(y,x)D，则,中值定理、变上限积分、换元等,例1,解,X-型,二.典型例题,解 D的图形如右。,应先积y,例3 计算积分,解：因为 的原函数不是初等函数， 故只能交换积分次序。积分区域如右图：,解,由上知区域的表达式为：,积分区域如图所示：,例5,交换积分次序：,解,原式=,解,例7. 计算二重积分,其中:,(1) D为圆域,(2) D由直线,解: (1) 利用对称性.,围成 .,(2) 积分域如图:,将D 分为,添加辅助线,利用对称性 , 得,例8,先去掉绝对值符号，如图,解,例9,证,
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