量子跃迁理论与不含时微扰论的关系.ppt

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1、11.3 量子跃迁理论与不含时微扰论的关系,一、不含时微扰论所处理的两类问题,上学期我们学习了微扰论。仔细分析一下， 发现这种微扰论实际上处理两类问题,1. 纯粹是求能量本征值问题的一种技巧,例如，Stark效应、Zeeman效应等。,在此过程中， 实际上是随时间变化的。但 人们通常仍用不含时微扰论，即定态微扰论 来处理。,2. 真正加上了某种外界微扰,这样做是否合理？我们分析一下。,式中参数 表征微扰加 进来的快慢。 表示 微扰无限缓慢地引进来。 的变化如右图所示：,设,1) 长时微扰,设 时体系处于 的非简并态 ，按微 扰论一级近似公式,时刻体系跃迁到 态 的波幅为,利用初始条件,来自,及

2、前面所给公式,上式右边第一项是 的非简并本征态 ， 第二项正是微扰 带来的一级近似修正。,此式正好是定态微扰论中 的一个 本征态。,但这种微扰是“绝热地”引进来的，即微扰时 间参数 比所处理体系的特征时间长得多. 或者说，体系有足够的时间调整自己的状 态来应对外界的微扰。所以可以用定态微扰 论来处理。,可以求出准确到一级近似下的波函数,上次课复习,对含时Hamilton体系，有,则,含时微扰论的一级近似解为,主要学习了含时微扰论:,有简并的情况下跃迁几率为,通过与含时微扰论比较，发现非含时微扰论主要处 理两类问题：,1）纯粹是求能量本征值问题的一种技巧,2）真正加上了某种外界微扰,而当这种微扰

3、是缓慢地、绝热地加进来时，可 以用定态微扰论来代替含时微扰论,但当这种微扰是常微扰，且持续有限时间时，即有限常微扰时，如何处理?,2) 有限常微扰,即常微扰只在一定时间间隔中起作用。,设,其中 为阶梯函数， 定义为,如右图。,则在时刻 ，微扰 导致的体系从 态 到 态的跃迁振幅的一级近似为,分部积分，得,当t T后,上式右边第一项为0，利用公式,及,因此，跃迁几率 为,下面我们利用上述结论来讨论散射问题中的一个重要公式,二、Fermi黄金规则,对公式,当微扰作用的时间间隔 T足够长 时， 只在 的 一个窄范围中不为0。 见右图。,1. 跃迁速率,利用公式,则有,因此，当 时，,而单位时间的跃迁

4、几率（跃迁速率）为,如常微扰只在 起作用，则只要 足够 长（远大于体系的特征时间），则跃迁速 率与时间无关；,只有当末态能量 和初态能量 相近的情 况下，才有可观的跃迁发生。而 恰是常微扰作用下体系能量守恒的反映。,2. 黄金规则,前面我们讲过，一级微扰论成立的条件是：,跃迁几率很小，体系有很大几率仍停留在 初始状态。,但在公式,中出现了 函数，与 有关。此时一级微 扰论还成立吗？,解释：,函数出现上述公式中只有当能量连续变化的情况下才有意义。,此时我们对所有能量积分时，函数就被积分掉，不存在问题了。,设 表示体系 的末态的态密度，即在 范围中的末态数为 。 因此，从初态 到 附近一系列可能

5、末态的跃迁速率之和（求积分）为,上式应用很广，非常有价值，故人们习惯 称之为Fermi黄金规则(golden role).,物理含义容易理解：跃迁速率与能态密度 成正比，与跃迁矩阵元的平方成正比。,利用公式,下面看Fermi黄金规则在实际问题中的应用。,3. 黄金规则的应用 -弹性散射,前面我们学习过，对于一维入射粒子，碰到 势垒后会发生反射和透射，而且反射和透射 系数定义为,对于三维粒子，入射粒子沿确定方向入射， 动量为 （取为 轴方向）。在受到靶子作 用 （视为微扰 ）后，可以沿不同方向 出射，相应的几率也与出射方向有关。,或者说，出射粒子有一个角分布，见下图：,设出射粒子的动量为 ，与入

6、射粒子动量方 向 夹角为 。对于弹性散射， 。,采用平面波近似，入射波表为,利用流密度公式,可以算出入射流密度为,出射波表为,这样,式中,是 的Fourier变换。,设沿 角方向的立体角 中出射粒子的末 态密度为 ，则能量在 范围内的 末量子态数为,其中：相空间中的一个体积元 相当于一 个量子态,在相对论和非相对论条件下，都可以证明：,v 是粒子的速度.下面举例证明相对论的情况.,所以,故,在相对论情况下，因为,得到沿 角方向的 立体角中出射的速率为,得,因此由,定义散射截面：,及,将,代入上式，得,对于非相对论粒子， 则,这就是粒子与靶碰撞的散射截面，反映了散 射后粒子的空间分布几率。,作业

7、： P341 4,Heisenberg测不准关系：,一定程度反映经典和微观粒子描述的关系。,一个问题：,电子分别处在基态和激 发态，哪一种状态更稳 定或寿命较长？,讨论另一种测不准关系,11.4 能量与时间测不准关系,一、两个特例,例1 设粒子初始状态为 和 是粒子的两个能量本征态，本 征值分别为 和 ，则有非定态,在此态下，各力学量的几率分布要随时间改变。,比如粒子的空间几率分布,其中,可将 视为测量体系能量时出现的不确定度。,由,可知， 随时间呈周期性变化,其周期为,动量及其它力学量的几率分布也有同样的变 化周期.,故此周期 T 是表征体系性质变化快慢的特征时间，记为,对定态来说，能量是完

8、全确定的，即,定态的特点：所有不显含时间的力学量几率 分布都不随时间改变，或者说，变化周期为 无穷大，特征时间 。这与关系 是一致的。,上次课复习,Fermi黄金规则公式,对有限常微扰,黄金规则公式在散射问题中的应用,对非相对论粒子，有,利用一个特例，给出了下式,下面看另一个例子,例2,此波包所描述的粒子的动量不确定度为,设自由粒子状态用一个波包来描述，波包宽度 ，群速度为 ，相应于经典粒子的运动速度。波包掠过空间某点所需时间为,因此其能量不确定度为,故,上述两个特例给出相同的结论：,二、能量-时间测不准关系的严格推导,有,其中,分别表示在给定状态下能量和力学量的不确 定度。,由前面所学习的测

9、不准关系,设体系的Hamilton量是 ， 为另一个不含 时的力学量。,利用前面学习的不显含时间力学量的平均值 随时间的变化规律,或,令,意义： 改变 所需的时间间隔，表征 变化快慢的周期。,此时，由,得,若最小的 记为 ，它当然满足式,或写成,此所谓能量-时间测不准关系。,三、能量-时间测不准关系的意义,1. 物理含义,表示状态能量的不确定度， 为该状态 的特征时间，可理解为状态性质有明显改 变所需要的时间间隔，或变化周期。,上式表明， 与 不能都任意地小下去， 而要受到一定的制约。,如 激光脉冲：,2. 能量-时间测不准关系与坐标-动量测不准关系的区别,在非相对论情况下，时间 只是一个参

10、量，而不是属于某一特定体系的力学量。 因此不能套用坐标-动量测不准关系的普 遍论证方法。,在坐标-动量测不准关系中， 与 都 是指同一时刻而言，而在能量-时间测不 准关系中，不可能理解“同一时刻”的 是什么含义。,物理意义不同,不能随便地令 ，由此得出,能量-时间: 能量和时间分辨不可能同时达到高 精度要求的。,坐标-动量: 微观粒子坐标和动量不能同时确定,是表征体系随时间演化特性的力学量, 而体系状态的演化要满足方程,但这绝不表明,对于任意 ,上式都成立。,例3,设原子处于激发态，它可以通过自发辐射 而衰变到基态，寿命为 。见下图。,此激发态是非定态,其能量不确定度为 , 称为能级宽度并用

11、表示。,通过测量自发辐射光子的能量。,如何测量激发态的能量？,思考一个问题：,从而能量 的不确定度为,由此得出粒子激发态能量的不确定度 并满足,因而光子动量不确定度为,已知粒子在激发态上的寿命 ,则自发辐射光子相应的辐射波列的长度为,此结论与能量-时间测不准关系相吻合。,11.5 光的吸收与辐射的半经典处理,一、几个基本概念：,1. 光的吸收,在光的照射下，原子 可能吸收光从低能级 跃迁到高能级。,11.5.0 概述,2. 受激辐射,在光的照射下，原子 可能从较高能级跃迁 到较低能级并放出光。,3. 自发辐射,处在激发能级的原子，即使没有外界光的照射，也可能跃迁到某 些较低能级而发出光。,4.

12、 谱线频率（或波数）,按照频率条件， 相对应 的频率,5. 谱线相对强度,是一个与跃迁速率成比例的量，实际上与参与跃迁的粒子数成正比。,比如氢原子的可见光光谱为,二、处理光的吸收和发射常用的方法,1. 量子电动力学：,需要把电磁场量子化(光子即电磁场量子),2. 非相对论量子力学,研究光的吸收和受激辐射现象,研究光的吸收与辐射现象,光子产生和湮灭,此时辐射场的作用可以看作与时间有关的 微扰来处理。,能级跃迁,处理自发辐射时，这种方法无能为力。,3. 相对论量子力学的方法,一个方兴未艾的研究课题,Einstein基于热统中平衡概念的考虑，回 避了光子的产生和湮灭,巧妙地予以解决。,强场物理,外场

13、中电子的动力学行为,以上三种方法并不互相独立,11.5.1 光的吸收与受激辐射,一、 微扰项的给出,假设入射光为平面单色光，其电磁场强度为,在原子中,电子的速度 ，磁场对电子 的作用远小于电场对电子的作用(?),高斯制,只需考虑电场的作用。另外，对于可见光， 波长,即在原子大小范围内，,电场变化极其微小，可以看成是均匀电场。 所以,其相应的电势为,或利用公式,由于常数项对微扰项的贡献仍是常数，对 跃迁矩阵元的贡献为0，不妨略去。,故入射可见光对原子中电子的作用可表为,其中,将 代入跃迁振幅的一级微扰公式,二、 跃迁几率和速率的计算,当 时， , 则 时，后项贡献显著,所以方括号中的两项只有当

14、时才有显著贡献。,当 时， , 则 时，前项贡献显著,对于原子吸收光的跃迁， ,此时，只有当入射光 的情况，才会引起 的跃迁。此时保留后项贡献，有,一个具体的例子：,从而 的跃迁几率为,利用公式,上式可以写为,可以发现，当 时， 有一极大值（见下图）,可以发现，当时间 充分长以后，只有 的入射光对 的跃迁有 明显贡献。这种吸收叫共振吸收。,而跃迁速率为,式中 是 与 的夹角。,如入射光是非偏振光，光偏振的方向是完全 无规的，此时可把 换为它对空间各方向 的平均值，即,所以,这里 是角频率 的单色光的电场强度值。,问题解答,在光的吸收理论中讨论微扰项时，我们说到,原子中电子的速度 ，故磁场对电子

15、的作 用远小于电场对电子的作用，即,其中光速 c 的出现是高斯单位制的缘故。,有的同学问，高斯单位制下电场力公式中为 何无c？,原因（见电动力学）：,高斯单位制下洛仑兹力的表达式,但高斯单位制下,即公式本身就相差一个常数c，故造成了,从而有,上次课复习,能量时间测不准关系,代入跃迁振幅的一级微扰公式，有,对光的吸收和受激辐射，将微扰,当 k k， ，且时间较长时，出现共振吸收现象。跃迁几率公式为,跃迁速率为,对单色非偏振光，有,但自然界中不存在严格的单色光，只不过 有的光单色性比较好，如激光。,对自然光引起的跃迁，要对上式中各种成分的贡献求和。,令 表示角频率为 的电磁场的能量密度。,利用,可

16、将 换为 ，就得出非偏振自然光引起的跃迁速率, 代入,由上式,有,从上式可以看出：,跃迁快慢与入射光中角频率为 的光强 度 成比例。,跃迁速率还与 成比例，即与初末态的 性质相关。,对,下面举例予以介绍。,设,首先考虑到 为奇宇称算符，对于 ， 只有当宇称 时才可能不为零。,由此得出电偶极辐射的宇称选择定则：,宇称： 改变,其次考虑角动量的选择定则。,三、电偶极辐射选择定则,？,利用基本公式,在具体计算 的矩阵元时，需要求解因子,即求解 的矩阵元，分析上述 基本公式，可知下面的递推公式是重要的 (见曾谨言习题精选与剖析相关内容)：,再根据球谐函数的正交性，可以知道，只当,时， 才可能不为0。,

17、由此得电偶极辐射的角动量选择定则：,以上未考虑电子自旋。,可以证明，电偶极辐射的选择定则为(见曾书习题精选与剖析相关内容),在考虑电子自旋及旋轨耦合作用后,电子状态用好量子数nljmj来描述。,11.5.2 自发辐射的Einstein理论,前面提过,在非相对论量子力学理论框架内是 无法解释原子的自发辐射现象的。,Eintein曾提出一个很巧妙的半唯象理论来说 明原子的自发辐射现象。,如初始时原子处于某一定态,则原子将保持在 该定态,不会跃迁到较低能级去。,因为此时Hamilton量是守恒量-,借助于物体与辐射场达到平衡时的热力学理论。,一、受激辐射和吸收系数,按照上节的讨论，在强度为 的光的照

18、射 下，原子从 态到 态的跃迁速率可表为,其中,称为吸收系数。,与此类似，对于从 态的受激辐射，跃迁速率也可以表成,由于 为厄米算符，所以,即受激辐射系数等于吸收系数，它们都与入 射光强度无关。,二、自发辐射和自发辐射系数的给出,现在用热力学与统计物理的知识来处理这个 问题。,设处于平衡态下体系的绝对温度是 分别为处于能级 上的原子数目。,可知,式中 为Boltzman常数。,由Boltzman分布律,吸收粒子数,辐射粒子数,故只有受激辐射无法与吸收过程达到平衡。,根据平衡的要求，必须引进自发辐射。由于 ，必须在上式右边再加上一项，使体 系能达到平衡,称为自发发射系数.,平衡方程,左边是单位时间内 跃迁的原子数目 (通过吸收)，右边则是单位时间内从 跃迁的原子数目(通过受激辐射与自发辐射)。,利用上面所得到的三个方程,联立可得,我们知道，在温度极高的情况下，有大量原 子处于激发能级，物体可以吸收和发射各种 频率的辐射，接近于完全黑体。,上式与式,比较，得,此时 ，可以用Rayleigh-Jeans公式 来描述与黑体达到平衡时的辐射场的强度分 布，即,而,所以自发辐射系数为,由上式可见，自发辐射的选择定则，与受激 辐射和吸收完全相同。,作业：p341 1,