《结构力学》第七章力法.ppt

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1、1,第七章 力 法,2,72 超静定次数的确定,73 力法的基本概念,74 力法的典型方程,76 对称性的利用,75 力法的计算步骤和示例,77 超静定结构的位移计算,79 温度变化时超静定结构的计算,710 支座移动时超静定结构的计算,713 超静定结构的特性,78 最后内力图的校核,力 法,71 概述,第七章 力 法,3,71 概 述,1. 静定结构与超静定结构,静定结构：,超静定结构：,A,B,C,P,P,全部反力和内力只用平衡条件便可确 定的结构。,仅用平衡条件不能确定全部反力和 内力的结构。,A,B,P,HA,VA,RB,VA,HA,RB,RC,外力超静定问题,内力超静定问题,力 法

2、,返 回,4,P,A,B,C,P,2 . 超静定结构在几何组成上的特征,多余联系与多余未知力的选择。,是几何不变且具有“多余”联系（外部或内部）。,多余联系：,这些联系仅就保持结构的几何不变 性来说，是不必要的。,多余未知力：,多余联系中产生的力称为多余未 知力（也称赘余力）。,此超静定结构有一个多余联 系，既有一个多余未知力。,此超静定结构有二个多余联 系，既有二个多余未知力。,力 法,返 回,5,3. 超静定结构的类型,（1）超静定梁; （2）超静定桁架； （3）超静定拱；,4. 超静定结构的解法,求解超静定结构，必须 综合考虑三个方面的条件:,（1）平衡条件； （2）几何条件； （3）物

3、理条件。,具体求解时，有两种基本(经典)方法力法和位移法。,（4）超静定刚架；,（5）超静定组合结构。,力 法,返 回,6,72 超静定次数的确定,1. 超静定次数：,2 .确定超静定次数的方法:,解除多余联系的方式通 常有以下几种：,（1）去掉或切断一根链杆，相当于去掉一个联系。,（2）拆开一个单铰，相当 于去掉两个联系。,用力法解超静定结构时，首先必须确定多余联系 或多余未知力的数目。,多余联系或多余未知力的个数。,采用解除多余联系的 方法。,力 法,返 回,7,3. 在刚结处作一切口， 或去掉一个固定端，相当 于去掉三个联系。,4. 将刚结改为单铰联 结，相当于去掉一个联系。,应用上述解

4、除多余 联系(约束)的方法，不难 确定任何 超静定结构的 超静定次数。,X2,X2,力 法,返 回,8,3. 例题:确定图示结构的超静定次数（n）。,n=6,n=37=21,对于具有较多框格的结构，可 按 框格的数目确定，因为一个封 闭框格，其 超 静定次数等于三。 当结构的框格数目为 f ,则 n=3f 。,力 法,返 回,9,73 力法的基本概念,首先以一个简单的例子，说明力法的思路和基本概 念。讨论如何在计算静定结构的基础上，进一步寻求计 算超静定结构的方法。,A,B,EI,L,1判断超静定次数： n=1,q,q,A,B,原结构,2. 确定(选择)基本结构。,3写出变形(位移)条件:,(

5、a),(b),q,基本结构,根据叠加原理，式（a） 可写成,力 法,返 回,10,L,将,代入(b)得,4 .建立力法基本方程,(71),5. 计算系数和常数项,6. 将11、 11代入力法方程式(7-1)，可求得,A,B,EI,L,q,(b),此方程便为一次超静定结 构的力法方程。,=,EI,1,2,L,2,3,2L,11=,11x1,=,EI,1,2,qL,2,4,3L,_,(,3,1,L,),多余未知力x1求出后，其余反力、内力的计算都是静定问题。利用已绘出 的,M1图,和MP图按叠加法绘M图。,q,力 法,返 回,11,结 论,象上述这样解除超静定结构的多余联系而 得到静定的基本结构，

6、以多余未知力作为基本未 知量，根据基本结构应与原结构变形相同而建立 的位移条件，首先求出多余未知力，然后再由平 衡条件计算其余反力、内力的方法，称为力法。,力法整个计算过程自始至终都是在基本结构 上进行的，这就把超静定结构的计算问题，转化 为已经熟悉的静定结构的内力和位移的计算问题。,力 法,返 回,12,74 力法的典型方程,1. 三次超静定问题的力法方程,用力法计算超静定结构的关键，是根据位移条件建立力法方 程以求解多余未知力，下面首先以三次超静定结构为例进行推导。,A,B,P,首先选取基本结构（见图b）,X1,X2,A,B,P,X3,基本结构的位移条件为：,1=0 2=0 3=0,设当,

7、和荷载 P 分别作用在结构上时，,A点的位移,沿X1方向：,沿X2方向：,沿X3方向：,据叠加原理，上述位移条件可写成,原结构,基本结构,1=,（72）,（a）,（b）,11,21、22、23和2P ；,31、32、33和3P 。,2=21X1+22X2+23X3+2P=0 3=31X1+32X2+33X3+3P=0,11X1,+12X2,+13X3,+1P,=0,、12,、13,和1P ；,力 法,返 回,13,2. n次超静定问题的力法典型(正则)方程,对于n次超静定结构,有n个多余未知力，相应也有 n个位移条件，可写出n个方程,11X1+ 12X2+ + 1iXi+ + 1nXn+1P=

8、0,（73）,这便是n次超静定结构的力法典型(正则)方程。式中 Xi为多余未知力， i i为主系数，i j(ij)为副系数, iP 为常数项（又称自由项）。,11X1+12X2+13X3+1P=0,（72）,21X1+22X2+23X3+2P=0 31X1+32X2+33X3+3P=0,i 1X1+ i 2X2+ + i iXi+ + i nXn+iP=0,n1X1+ n2X2+ + niXi+ + nnXn+nP=0,力 法,返 回,14,3. 力法方程及系数的物理意义,（1）力法方程的物理意义为：,（2）系数及其物理意义： 下标相同的系数 i i 称为主系数(主位移)，它是单位 多余未知力

9、,单独作用时所引起的沿其自身方向上 的位移，其值恒为正。,系数 i j(ij)称为副系数(副位移)，它是单位多余未知力,单独作用时所引起的沿 Xi方向上的位移， 其值可能为正、为负或为零。据位移互等定理，有,i j= j i,i P称为常数项(自由项)它是荷载单独作用时所引起 的沿Xi方向的位移。其值可能为正、为负或为零。,上述方程的组成具有规律性，故称为力法典型方程。,基本结构在全部多余 未知力和荷载共同作用下，基本结构沿多余未知力方向 上的位移，应与原结构相应的位移相等。,力 法,返 回,15,4. 力法典型(正则)方程系数和自由项的计算,典型方程中的各项系数和自由项，均是基本结构在 已知

10、力作用下的位移，可以用第七章的方法计算。对于 平面结构，这些位移的计算公式为,对不同结构选取不同项计算。系数和自由项求得后， 代入典型方程即可解出各多余未知力。,力 法,返 回,16,75 力法的计算步骤和示例,1. 示例,P,A,B,C,I1,I2=2I1,a,n=2(二次超静定),原,选择基本结构如图示,P,A,C,B,基,X1,X2,力法典型方程为：,11X1,计算系数和常数项，为 此作,a,a,a,计算结果如下,(a),a,21X1 + 22X2+2P=0,+ 12X2,+1P=0,2EI1,1,2,a2,3,2a,=,6EI1,a3,2EI1,1,2,a2,a,=,4EI1,a3,力

11、 法,返 回,17,a,a,a,P,将以上各系数代入方程(a) 并消去(a3/EI1)得,解联立方程得,多余未知力求得后其余反力、内力的计算便是静定问题。,例如,最后内力图的绘制用叠加法,15/88Pa,M图,13/88Pa,P,A,B,C,3/88Pa,a,MAC=,a,.,11,4P,+,a(,88,3P,),2,Pa,力 法,返 回,18,2 .力法的计算步骤,（1）确定原结构的超静定次数。 （2）选择静定的基本结构(去掉多余联系， 以多余未知力代替)。 （3）写出力法典型方程。 （4）作基本结构的各单位内力图和荷载内力 图，据此计算典型方程中的系数和自由项。 （5）解算典型方程，求出各

12、多余未知力。 （6）按叠加法作内力图。,力 法,返 回,19,例 71 用力法分析两端固定的梁，绘弯矩图。EI=常数。,A,B,L,a,b,P,解：,n=3,选取简支梁为基本结构,P,X1,X2,X3,基本结构,典型方程为,11X1+ 12X2+ 13X3+1P=0 21X1+ 22X2+ 23X3+2P=0 31X1+ 32X2+ 33X3+3P=0,1,1,MP图,P,3=0,故,13= 31= 23= 32= 3P=0,则典型方程第三式为,33X3=0,330(因X3的解唯一),故,作基本结构各,和MP图,由于,X3=0,M图,11X1+ 12X2+1P=0 21X1+ 22X2+2P=

13、0,由图乘法求得,代入典型方程(消去公因子)得,解得,代入典型方程解得,作弯矩图。,按式,力 法,返 回,20,例 72 用力法计算图示桁架内力，设各杆EA相同。,解：,n=1(一次超静定)。,0,1,2,3,4,P,P,2a,2a,a,选择基本结构如图示。,0,1,2,3,4,P,P,X1,基本结构,写出力法典型方程,11X1+1P=0,按下列公式计算系数和自由项,为此，求出基本结构的,和NP值,0,1,2,3,4,X1=1,-1/2,对称,0,1,2,3,4,P,P,NP,+P/2,对称,0,列表计算(见书137页)后得,EA11=(3+,) a,EA1P=Pa,力 法,返 回,21,0,

14、1,2,3,4,X1=1,-1/2,对称,0,1,2,3,4,P,P,NP,+P/2,对称,0,0,1,2,3,4,P,P,N,对称,代入典型方程，解得,各杆内力按式,叠加求得。,0.586P,0.828P,+0.414P,+0.172P,例如,N03=0.7070.172P -0.707 =0.586P,=0.172P,力 法,返 回,22,76 对称性的利用,用力法分析超静定结构，结构的超静定次数愈高， 计算工作量就愈大，主要工作量是组成(计算系数、常数 项)和解算典型方程。利用结构的对称性可使计算得到简 化。简化的原则是使尽可能多的副系数、自由项等于零。,结构的对称性：,例如：,EI1,

15、EI1,EI2,a,a,对称,EI1,EI1,对称,指结构的几何形状、约束、刚度和 荷载具有对称性(正对称或反对称)。正对称简称对称。,力 法,返 回,23,1. 选取对称的基本结构,EI1,EI1,EI2,对称轴,基本结构,X1,X2,X3,多余未知力X1、X2是 正对称，X3是反对称的。,基本结构的各单位弯 矩图(见图)。,、,是正对称，,是反对称。,则,13= 31= 23= 32=0,于是， 力法典型方程简 化为,11X1+12X2+1P=0 21X1+22X2+2P=0 33X3+3P=0,下面就对称结构作进一步讨论。,力 法,返 回,24,（1）对称结构作用对 称荷载,a,a,P,

16、P,P,P,MP图,MP图是正对称的，故3P=0。,11X1+12X2+1P=0 21X1+22X2+2P=0 33X3+3P=0,则 X3=0 。,这表明：对称的超静定结构，在对称的荷载作用下， 只有对称的多余未知力，反对称的多余未知力必为零。,a,a,P,P,P,P,MP图,（2）对称结构作用反 对称荷载,MP图是反对称的，故,1P= 2P=0,则得 X1=X2=0,这表明：对称的超静定结构，在反对称的荷载作用下， 只有反对称的多余未知力，对称的多余未知力必为零。,力 法,返 回,25,例 74 分析图示刚架。,10kN,10kN,6m,6m,6m,解：,这是一个对称结构，为四次超静定。,

17、选取对称的基本结构 如图示，,X1,只有反对称多余未知力X1,基,为计算系数和自由项分别作,和MP图(见图)。,EI=常数,3,3,图,(m),10kN,MP图 (kNm),60,60,120,由图乘法可得,EI11=(1/2332) 4 +（363）2 =144,EI1P=(3630+1/23 380) 2=1800,代入力法方程 11X1+1P=0,X1=,弯矩图由,作出。,解得,力 法,返 回,26,这样，求解两个多余未知 力的问题就转变为求解新 的两对多余未知力的问题。,当选基本结构为时，,2. 未知力分组及荷载分组,（1）未知力分组,A,B,P,X1,X2,P,为使副系数等于零，可采

18、 取未知力分组的方法。,P,Y1,Y1,Y2,Y2,有,X1=Y1+Y2 ，,X2=Y1Y2,作,、M2图。,图,M2图,正对称,反对称,故,12= 21=0,典型方程化简为,11Y1+1P=0 22Y2+2P=0,力 法,返 回,27,（2）荷载分组,当对称结构承受一般非对称荷载时，可以将荷 载分解为正、反对称的两组，分别求解然后叠加。,若取对称的基本 结构计算，在正对称 荷载作用下将只有对 称的多余未知力。,若取对称的基本结构计算，在反对称荷载作用下将 只有反对称的多余未知力。,P,P,2,P,2,P,2,P,2,X1,X1,X2,X2,2,P,2,P,2,P,2,P,力 法,返 回,28

19、,3.取一半结构计算,当结构承受正对称或反对称荷载时，也可以只截取结 构的一半进行计算，又称为半刚架法。下面分别就奇数跨 和偶数跨两种对称刚架进行讨论。,（1）奇数跨对称刚架,p,p,对称,p,二次超静定,对称荷载,反对称荷载,p,p,反对称,p,。,一次超静定,力 法,返 回,29,（2）偶数跨对称刚架,对称荷载,p,p,对称,p,三次超静定,反对称荷载,p,p,I,p,I/2,三次超静定,p,p,I/2,I/2,p,p,I/2,I/2,C,QC,QC,力 法,返 回,30,77 超静定结构的位移计算,上一章所述位移计算的原理和公式，对超静定结构也是适用的，下面以75的例题予以说明。,求CB

20、杆中点K的竖向位移KY,K,P=1,P,A,B,C,I1,I2=2I1,a,原,虚拟状态如图,为了作,8/44a,3/44a,需解 算一个二次超静定问题，较为麻烦。,K,图中所示的M图 就是实际状态。,基本结构的内力和位移与原结构完全 相同，则可以在基本结构上作,。,K,P=1,a/4,图乘得,6/44a,(),力 法,返 回,31,结 论,综上所述，计算超静定结构位移的步骤是：,（1）解算超静定结构，求出最后内力， 此为实际状态。 （2）任选一种基本结构，加上单位力求 出虚拟状态的内力。 （3）按位移计算公式或图乘法计算所求 位移。,力 法,返 回,32,78 最后内力图的校核,用力法计算超

21、静定结构，因步骤多易出错，应注意 检查。尤其是最后的内力图，是结构设计的依据，应加 以校核。校核应从两个方面进行。,1.平衡条件校核,取结构的整体或任何部分为隔离体，其受力应满足 平衡条件。,（1）弯矩图：通常检查刚结点处是否满足M=0的 平衡条件。例如,取结点E为隔离体,E,MED,MEB,MEF,应有 ME=MED+MEB+MEF=0,M图,力 法,返 回,33,（2）剪力图和轴力图,可取结点、杆件或结构的某一部分为隔离体，检查 是否满足 X=0和 Y=0的平衡条件。,2.位移条件校核,检查各多余联系处的位移是否与已知的实际位移相 符。对于刚架，可取基本结构的单位弯矩图与原结构的 最后弯矩

22、图相乘，看所得位移是否与原结构的已知位移 相符。例如,P,A,B,C,I1,I2=2I1,a,原,检查A支座的水 平位移 1是否 为零。,将M图与,相乘得,=0,力 法,返 回,34,79 温度变化时超静定结构的计算,对于超静定结构，温度变化时不但产生变形和位移， 同时产生内力。,用力法分析 超静定 结构在温度变化时产生的内力， 其原理与荷载作用下的计算相同。例如图示刚架温度发 生变化，选取基本结构（见图），,t1,t1,t2,t3,t1,t1,t2,t3,X1,X2,X3,典型方程为,11X1+12X2+13X3+1t=0 21X1+22X2+23X3+2t=0 31X1+32X2+33X3

23、+3t=0,其中系数的计算同前， 自由项1t、 2t、 3t 分别为基本结构由于温 度变化引起的沿X1、X2 X3方向的位移。即,力 法,返 回,35,例76 刚架外侧温度升高25，内侧温度升高35， 绘弯矩图并求横梁中点的竖向位移。刚架EI=常数，截面 对称于形心轴，其高度h=L/10,材料的膨胀系数为。,L,L,+ 25,+35,解：,n=1,选取基本结构,X1,基,+ 25,+35,典型方程为:,11X1+1t=0,计算,并绘制,图,1,图,L,L,0,0,-1,求得系数和自由项为,=,故得,=230L,力 法,返 回,36,按,M图,作弯矩图,求横梁中点K的位移K， 作基本结构虚拟状态

24、的,图 并求出,，然后计算位移,K,1,0,图,L/4,138EI/L,1/2,1/2,力 法,返 回,37,710 支座位移时超静定结构的计算,超静定结构当支座移动时，位移的同时将产 生内力。,对于静定结构，支座移动时将使其产生位移， 但并不产生内力。例如,A,B,C,A,B,C,力 法,返 回,38,用力法分析超静定结构在支座移动时的内力，其原 理同前，唯一的区别仅在于典型方程中的自由项不同。,例如图示刚架，,A,B,h,L,a,b,可建立典型方程如下：,11X1+12X2+13X3+1=0 21X1+22X2+23X3+2= 31X1+32X2+33X3+3=a,A,B,X1,X2,X3

25、,基,式中系数的计算同前，自由项按式(615)计算。,最后内力按下式计算,在求位移时，应加上支座移动的影响：,力 法,返 回,39,例：77 两端固定的等截面梁A端发生了转角，分析其内力。,A,B,L,解： n=3,选取基本结构如图，,X1,X2,X3,基本结构,因X3=0,则典型方程为,11X1+12X2+1= 21X1+22X2+2=0,绘出,图，,1,1,图乘得,，,，,由题意知：1t= 2t=0,将上 述结果代入方程后解得,按式,作弯矩图。,A,B,M图,力 法,返 回,40,711 用弹性中心法计算无铰拱,拱是一种曲轴的推力结构，除三铰拱外均是 超静定的，超静定拱有无铰拱和两铰拱两种

26、形式。,一般说无铰拱弯矩分布比较均匀，且构造简单， 工程中应用较多，例如钢筋混凝土拱桥和石拱桥，,无铰拱,两铰拱,拱桥,拱圈,隧道的混凝土拱圈等。,超静定拱,返 回,41,因为超静定结构的内力与变形有关，所以计 算超静定拱之前，须事先确定拱轴线方程和截面 变化规律。,在初步计算时，常采用相应三铰拱的合理拱 轴线作为超静定拱的轴线，然后根据计算结果加 以修正，以尽量减小弯矩。拱截面的变化规律， 在拱桥设计中可采用下列经验公式,（78）,x,y,Ic,I,x,L1=L/2,L1,IK、K,超静定拱,返 回,42,由式（78）有,可见n愈小，Ic与IK之比愈小，拱厚变化愈剧烈。 n的范围一般为0.2

27、51。当取 n=1时，,为简化计算常近似取,当拱高 fL/8时，因角较小，可近似取,A=AC=常数,超静定拱,返 回,43,无铰拱是三次超静定结构。对称无铰拱在 计算时为简化计算取对称的基本结构。,P,P,x1,x2,x3,故副系数,13= 31=0 23= 32=0,但仍有12= 210,如果能设法使12= 21=0，则典型方程中的 全部副系数都为零，计算就更加简化。这可以用 下述引用“刚臂”的办法来达到目的。,超静定拱,返 回,44,EI=,P,x1,x2,x3,原结构,可以设想，对称无铰拱沿拱顶 截面切开后，在切口两边沿竖向引 出两个刚度无穷大的伸臂刚臂， 然后在两刚臂下端将其刚结。,选

28、取基本结构，,它是两个带刚 臂的悬臂梁，利用对称性，并适当 选取刚臂的长度，便可以使典型方 程中全部副系数都等于零。,选取坐标，写出各单位多余未 知力作用下基本结构的内力表达式。,x,（79）,y,P,超静定拱,返 回,45,x1,x2,x3,x,y,（79）,式中：弯矩内侧受拉为正，剪力以 绕隔离体顺时针方向为正，轴力以 压力为正。为拱轴的弦切角，右半拱取正，左半拱取负。,由于多余未知力X1和X2是对称的，X3是反对称的， 故有,13= 31=0 23= 32=0,超静定拱,返 回,46,12= 21,x1,x2,x3,x,y,ys,y1,y,K,令 12= 21=0，可得,（710）,设想

29、沿拱轴作宽度等于1/EI的图形，则ds/EI 就代 表此图形的微面积，式（710）就是计算这个图形面 积的形心坐标的公式。,x,y,ys,o,1/EI,y1,ds,由于此图形 的面积与结构的弹性性质EI有 关,故称它为弹性面积图，它的 形心则称为弹性中心。,超静定拱,返 回,47,由此可知，把刚臂端点引到弹性中心上，且 将X1、X3置于 x、y 轴方向上，就可以使全部副 系数都等于零。这一方法称为弹性中心法。此时 典型方程简化为：,11X1+1P=0 22X2+2P=0 33X3+3P=0,计算系数和自由项时，仍可采用直杆的位移计算 公式：,超静定拱,返 回,48,712 两铰拱及系杆拱,两铰

30、拱是一次超静定结构，,P,L,f,当其发生竖向位移时并不引起内 力，故在地基可能发生较大的不 均匀沉陷时易采用。两铰拱的弯 矩在两拱趾处为零而逐渐向拱顶 增大，所以其截面一般也相应设 计为由拱趾向拱顶逐渐增大的形 式。通常采用的变化规律为：,（715）,A,B,C,为计算方便，当 fL/4时，可采用,当跨度不大时，也常做成等截面。,I=Iccos,超静定拱,返 回,49,P,L,f,A,B,C,P,计算两铰拱时，通常采用简 支曲梁为基本结构，以支座的水 平推力X1为多余未知力。,X1,典型方程为,11X1+1P=0,计算系数和自由项时，一般 略去剪力的影响，而轴力影 响仅 当fL/5 时才在1

31、1中予以考虑。 因此有,x,y,x,y,且,（716）,超静定拱,返 回,50,有时为了避免支座承受推力，可采用带拉杆的两铰拱，也称系铰拱。,拱的水平推力由系杆承受。 计算时以系杆的内力X1为 多余未知力。,X1,x,y,典型方程为：,11X1+1P=0,计算11时，要考虑系杆轴 向变形的影响，即,EI、A,E1、A1,将,代入得,超静定拱,返 回,51,713 超静定结构的特性,超静定结构与静定结构对比，具有以下一些重要特性：,1.由于存在多余联系，当结构受到荷载外其他因素 影响，如温度变化、支座移动时结构将产生内力。,2.超静定结构的内力仅由平衡条件不能全部确定， 必须考虑变形条件，因此内力与杆件的刚度有关。,3.超静定结构的多余联系被破坏后，仍能维持几何 不变，故有较强的防御能力。,4.超静定结构由于存在多余联系，一般地说要比相 应的静定结构刚度大些，内力分布也均匀些。,力 法,返 回,