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1、研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是事件的概率.,1.2 随机事件的概率,概率是随机事件 发生可能性大小 的度量,事件发生的可能性 越大，概率就 越大！,了解事件发生的可能性即概率的大小非常有意义，,例如，了解发生意外人身事故的可能性大小，确定保险金额. 了解来商场购物的顾客人数的各种可能性大小，合理配置服务人员. 了解每年最大洪水超警戒线可能性大小，合理确定堤坝高度等.,一概率的统计性定义,1.频率：设在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件 A 出现了 m 次，则称,为事件 A 在这n 次试验中出现的频率，m 称为频数 易
2、见，频率具有如下的性质：,尽管在一次试验中可能出现这种结果,也可能出现那种结果. 但在大量重复试验中, 一个事件的频率将逐渐稳定于某个常数p (0p1)，是一种客观的内在属性，显然p越大, 事件发生的可能性也越大; 反之亦然p 以数量的形式反映了事件发生的可能性的大小我们把p 叫做事件的概率,(2)概率的统计性定义: 在大量重复试验中，事件A频率逐渐稳定于某个常数 p附近，则称该常数 p为事件A的概率记为: P(A)=p,P(A)的性质：,概率的统计性定义形象，直观，但缺乏数学定义的严密性，后面将概率的公理化定义. 下面是古典概率的计算,如：抛硬币时，A=“正面向上”，则P(A)0.5,1.古
3、典概型定义: 若随机试验满足下述两个条件： (1) 它的样本空间只有有限多个样本点； (2) 每个样本点出现的可能性相同. 称这种试验为有穷等可能随机试验 或古典概型随机试验, 简称古典概型.,二、古典概型：,2、古典概型中事件概率的计算,定义2 设试验E是古典概型, 其样本空间由n个样本点组成 , 事件A由k个样本点组成 . 则定义事件A的概率为：,称此概率为古典概率. 这种确定概率的方法称为古典方法 .,下面通过例子来介绍如何计算古典概率.,乘法原理、排列、组合常用工具：,基本事件考虑顺序时用乘法原理、排列， 不考虑顺序时用组合。,乘法原理： 一个过程分为 t 个阶段,无重复排列:,组合:
4、,3、古典概率计算举例,例1 把C、C、E、E、I、N、S七个字母分别写在七张同样的卡片上，并且将卡片放入同一盒中，现从盒中任意一张一张地将卡片取出，并将其按取到的顺序排成一列，假设排列结果恰好拼成一个英文单词：,S C I E N C E,问：出现这一结果的概率是多少？,拼成英文单词SCIENCE 的情况数为,故该结果出现的概率为：,这个概率很小，这里算出的概率有如下的实际意义：如果多次重复这一抽卡试验，则我们所关心的事件在1260次试验中大约出现1次 .,解：七个字母的排列总数为7！,这样小概率的事件在一次抽卡的试验中就发生了，人们有比较大的把握怀疑这是魔术.,具体地说，可以99.9%的把
5、握怀疑这是魔术.,解：,=0.3024,允许重复的排列,问：,错在何处？,例2 某城市的电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0-9这十个数字中的任一个，求电话号码由五个不同数字组成的概率.,计算样本空间样本点总数和所求事件 所含样本点数计数方法不同.,从10个不同数字中 取5个的排列,(1) 有放回抽样,问: A=“抽取3只球全为红球” 的概率 P(A)是多少？,例3 袋中有100只球，其中60只红球,40只白球,从中任意抽取3只，抽法分别为：,(2) 无放回抽样,(3) 一次取出,解：,例 设有N件产品,其中有M件次品,现从这N件中任取n件,求其中恰有k件次品的概率.,这是一种无放回抽样
6、.,解：令A=恰有k件次品 P(A)=？,次品,正品,M件次品,N-M件 正品,解：把2n只鞋分成n堆,每堆2只的分法总数为,而出现事件A的分法数为n!,故,例5. n双相异的鞋共2n只，随机地分成n堆，每堆2只 . 问:“各堆都自成一双鞋”(事件A)的概率是多少？,(乘法原理),(3) C=某指定的一间房中恰有m人(mn).,例6. 有n个人，每个人都以相同的概率 1/N (Nn)被分在 N 间房的每一间中，求下列事件的概率:,(2) B=恰有n间房中各有一人。,(1) A=指定的n间房中各有一人.,解：一个人可进入任一房间，同一房间可进入多人. 由乘法原理n个人分配到N个房间的分法总数为：
7、,所以,我们介绍了古典概型. 古典概型 虽然比较简单，但它有多方面的应用.,是常见的几种模型 .,箱中摸球,分球入箱,随机取数,分组分配,掷两颗均匀骰子, 求出现点数之和是8的概率.,答案：P=5/36,掷一颗骰子, 有6个等可能的结果, 掷两颗骰子, 有66=36个等可能结果. 设X为第一颗骰子掷出的点数, Y为第二颗骰子掷出的点数。A=X+Y=8, 只有 (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)。,取数问题:,在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不要重复计数，也不要遗漏.,例如：从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”（事件A）的概率是多
8、少？,下面的算法错在哪里？,错在同样的“4只配成两双”算了两次.,从5双中取1双，从剩 下的 8只中取2只,应为:,“分球入箱”问题(分房问题、生日问题),设有n个球，每个都以相同的概率1/N(Nn)落入N个箱子中的每一个中。根据以下条件，求: 事件A=某预先指定的n个箱子中各有一球 的概率 p.,生日问题：,有n个人，设每个人的生日是任一天的概率为1/365. 求这n (n 365)个人的生日互不相同的概率.,早在概率论发展初期，人们就认识到， 只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不够的.,把等可能推广到无限个样本点场合,人们引入了几何概型. 由此形成了确定概率的另一方法几何方法.,三几何概
9、型,设事件A是的某个区域，它的面积为 (A)，则向区域上随机投掷一点，该点落在区域A的概率为,(*),假如样本空间可用一线段，或空间中某个区域表示，并且向上随机投掷一点的含义如前述，则事件A的概率仍可用(*)式确定, 只不过把()理解为长度或体积即可.,例: 会面问题。 甲乙欲在某一长度为 T 的时间段内会面，二人在该时间段内任何时刻到达的可能性相同，约定某人到达后最多等待时间为 t 求：A=“二人能会面的概率”,解：设 x, y 表示甲乙到达的时刻瞬间, 则,(x,y) 落在 内任一区域内的概率与面积成正比, 所以,四概率的公理化定义,公理2 P()=1 (2),公理3 若事件A1, A2
10、, 两两互不相容，则有 P(A1+A2 + )=P(A1)+P(A2)+ (3) 这里事件个数可以是有限或无限的 .,公理1 0P(A)1 (1),设E是随机试验, 是它的样本空间，对于中的每一个事件A，赋予一个实数，记为P(A) ，称为事件A的概率，如果函数 P(A) 满足下述三条公理:,性质1. 对任一事件A ，有,五. 概率的性质,由概率的三条公理, 可以推导出概率的若干性质. 下面我们就来讨论概率的一些简单性质.,性质2P()=0,即不可能事件的概率为0 .,因为,再利用性质1及公理2即得.,移项得 (1),再由 P(B-A)0 便得 (2) .,由可加性,又因 再由性质 3 便得 (1) .,性质4可推广到多个事件的情形,例1: 将一颗骰子抛掷4次，问至少出一次“6”点的概率是多少？,令 事件A=至少出一次“6”点,A发生,出1次“6”点,出2次“6”点,出3次“6”点,出4次“6”点,直接计算A的概率较麻烦, 我们先来计算A的对立事件的概率.,=4次抛掷中都未出“6”点,4次抛掷中都未出现“6”点的结果数有 5555 = 625 种, 因此,由于将一颗骰子抛掷4次,共有 6666 =1296 种等可能结果,于是,例2 有r 个人，设每个人的生日是365天的任何一天是等可能的，试求事件“至少有两人同生日”的概率.,为求P(A), 先求P( ),
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