六自由度工业机器人运动学和动力学分析设计说明书

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1、 六自由度工业机器人运动学和动力学分析摘 要：本文研究的内容是六自由度串联机器人，使用连杆参数法创建机器人坐标系统，根据齐次变换矩阵求解机器人运动学正问题，求解结果验证了机器人运动学理论的正确性。通过研究机器人的动力学，以牛顿方程和欧拉方程为出发点，分析了机器人构件的速度和加速度以及牛顿欧拉动力学递推计算公式。同时应用拉格朗日方程描述了机器人系统的动力学方程，对动力学的算法进行优化并验证了算法优化的可行性，在Matlab中进行动力学仿真，通过对机器人正向动力学仿真，结果得出关节力、力矩与关节速度、加速度等变量的相互关系，以及机器人在有无重力的情况下的力矩变化，对机器人的运动控制提供了很大帮助。

2、本文实现的机器人正运动学的求解仿真，并根据机器人各个关节的角位移、速度和加速度等参数变化曲线，验证了机器人运动学的正确性和机器人建模的可行性。此外还研究了基于关节空间规划和笛卡尔空间规划对机器人运动轨迹规划等问题，实现了对机器人运动路径的实时规划。关键词：运动学；动力学；Robotics Toolbox；联合仿真 Kinematics and dynamics analysis of six-DOF industrial robotAbstract:The content of this paper is a six-degree-of-freedom series robot, using

3、the linkage parameter method to create the robot coordinate system, according to the homogeneous transformation matrix to solve the robot kinematics problem, the results verify the correctness of the robot kinematics theory. Based on the study of the dynamics of the robot, the velocity and accelerat

4、ion of the robot member and the recursive formula of Newtons Euler dynamics are analyzed with the starting point of Newton and Euler equations. At the same time, the dynamic equation of robot system is described by Lagrange equation, the dynamic algorithm is optimized and the feasibility of algorith

5、m optimization is validated, the dynamic simulation is carried out in MATLAB, and the relationship between joint force, torque and joint velocity, acceleration and so on is obtained. As well as the torque change of the robot in the absence of gravity, the motion control of the robot is greatly helpf

6、ul. In this paper, the kinematics of the robot is simulated, and the kinematic correctness of the robot and the feasibility of the robot modeling are verified according to the variation curves of angular displacement, velocity and acceleration of each joint. In addition, based on joint space plannin

7、g and Cartesian space programming, the motion trajectory planning of robot is realized, and the real-time planning of robot motion path is achieved.Key words: Kinematics; Dynamics; robotics Toolbox; joint simulation目 录1 绪 论11.1 论文研究背景11.2 国内外工业机器人的发展情况21.2.1 国外工业机器人的发展状况21.2.2 国内工业机器人的发展状况31.2.3 工业机

8、器人技术的发展趋势41.3 本文研究的主要内容52 机器人运动学分析72.1机器人运动学基础72.1.1 机器人位姿描述72.1.2 平移和旋转坐标系映射92.1.3 齐次坐标变换102.2 空间连杆描述122.3 连杆参数和连杆坐标系122.3.1 连杆参数122.3.2 建立连杆坐标系的步骤132.4 连杆变换132.5 六自由度串联机器人运动学分析142.6 本章小结173 机器人动力学分析183.1 牛顿-欧拉方程183.1.1 牛顿-欧拉动力学方程183.1.2 连杆的速度和加速度分析193.1.3 递推算法213.2 机器人动力学仿真233.2.1 机器人正动力学仿真233.2.2

9、 机器人逆动力学仿真243.3 本章小结254 结论26参考文献27致 谢28附 录2939 1 绪 论在工业 4.0 时代的道路上，工业机器人的发展必定会对科技的发展起着非常重要的作用，在机器人行业占得重量必将日益增加。如今，工业机器人即将成为工业发展的支撑，它用于汽车制造、制造生产线等多个领域，在制造行业的发展中，传统的人工生产逐渐转变成自动化生产。工业机器人的重要性也逐渐增加，刚开始，只是固定在某个工位上的独立单元体，随着科技的不断发展，现在已经成为制造装配智能化和机电一体化的阶段。1.1 论文研究背景上世纪六十年代，在科学家的共同努力下，第一台机器人问世了。从此以后，人类社会再也离不开

10、机器人。刚开始，人们只是对机器人进行理论研究，随着社会的发展，从社会生产到家庭服务，机器人已经遍布我们人类社会生活的每一个角落。现今投入研究使用的机器人有很多种类，比如航天上的机器人、生活服务性机器人、工业型机器人等。图1.1 工业机器人工业机器人图1.1所示，是一种具有多个关节机械臂或者多个自由度的机械设备，它主要用于工业上的生产。将其自身控制和动力系统的相结合，就可以自动进行一系列生产。其中，工业机器人的主体分为基座和执行机械臂，包括末端执行器，腰部，腕部，甚至有些机器人自带着行走装置，比如带轮、链轮、足部行走机构。一般情况下，对工业机器人进行预编程，就可以使其产生先前设定的运动，即通过示

11、教器对机器人的运行路径进行示教，或者在上位机编写运行指令，也可以使机器人执行人的指令。而先进的工业机器人则可以在人工智能的控制下运行1。伴随着工业机器人的不断发展和应用，吸引了更多的学者对其进行研发，科学家们相继研发出各种功能的机器人，从工业上法人生产到生活中的服务，人类生活的各方面都充满了智能化的痕迹，其中包括多关节机械臂、并联多自由度机器人。机器人行业的理论与实践积累更加丰富了，机器人学科正在不断的发展和壮大起来。1.2 国内外工业机器人的发展情况在当今世界，工业机器人技术的研发为各个国家所重视。在世界的各个区域，都离不开他们。由此可见，在经过大约500年的飞速发展与市场拓宽，用于工业中的

12、机器人已经非常普遍。在传统的制造业中，从最开始的简单、单一的人工生产到现今大量的智能机器人生产，机器人行业的发展已经成为了制造行业中的不可或缺的科技力量；在现代化制造业领域，上至航天中的机器人，下到海底探险、军事作战，无不体现了工业机器人的重要角色。工业机器人每一项技术的突破，都会对世界的科学发展带来新的动力，每一项新的机器人技术出现，就说明现代社会在机器人技术上又一次突破。1.2.1 国外工业机器人的发展状况一九六二年，通过美国科学家的共同努力，世界上第一台工业机器人诞生了。至今，国内外对工业机器人研发已经持续超过五十年，机器人在当今社会上应用也有很多年。其中美国、德国、法国、日本、这些国家

13、走在机器人技术发展的前沿，他们对于机器人的研发技术越来越深入。他们国家造的工业机器人早已遍及全世界，并且带动一些关于机器人研发的公司的发展，其中包括德国 KUKA Roboter、美国 Adept Technology、American Robot、Emerson Industria Automation、S-T Robotics、跨国集ABB Robotics，日本发那科（FANUC）、安川电机（Yaskawa）、意大利COMAU、英国Auto Tech Robot、加拿大Jcd International Robotics、以色列Robogroup Tek公司等。日本也是最早研发机器人的国

14、家之一，大家都知晓日本机器人公司有发那科、三菱等。这些公司以生产工业机器人为主，国际机器人联合会数据表明，日本的机器人市场占有全球工业机器人市场的最大比例，无论是销售额还是销售数都排名前列。这些工业机器人按照工业分支应用的比例为：自动化零部件工业占 35.1%；电机械制造工业占 27.3%；塑料制品工业占 9.7%。美国并不是最早研发工业机器人的国家，但是这些年，在机器人技术研发的潮流带动以及自身的快速学习发展下，它们在机器人方面也有了很大的发展。今天，已成为全世界第三大工业机器人体。事实上，美国主要研究的是比较高端的市场比如：航天机器人等领域。美国在这些领域，一直掌握着前端的技术。相关技术专

15、利也多达一万多，在国际上的影响力也是非常大。除此之外，由于韩国和德国对于汽车生产制造有很大的需求，所以他们在机器人行业也有很大的突破，现今，在全球工业机器人领域的影响力也不可小看。这些国家将工业机器人用于生产汽车零部件，以及用在很多有害的人类无法完成的工作岗位，现如今那些环境恶劣的工作岗位已经完全被人工智能所取代。在工业 4.0 的推动下，工业机器人在汽车生产线的发展非常迅速，可以预测，在不久的未来，人来社会将会实现智能的工业机器人自动化生产。1.2.2 国内工业机器人的发展状况我国在上世纪七十年代初开始学习和研究工业机器人技术，到今天已经发展了四十多年，从一开始的国外引进技术到现今国产机器人

16、的技术发展，我们国家对于工业机器人技术有了很大的突破，如今已经取得了巨大的成果。一九七二年，我国开始对工业机器人进行研究。通过“七五”期间，对于工业机器人硬件和理论知识的学习和研究，我们国家已经掌握了各种工业机器人整套技术，包括机械的结构、驱动传动结构、运动控制等基础相关技术的研发，研制出了各种工业机器人的样机。其中有喷涂、弧焊以及搬运等工业机器人为代表。另外还包括一些机器人的主要零部件和控制系统等，并且已具备小批量生产的能力。随着国际上机器人技术的快速发展，许多国家在此方面有了很大的突破，上世纪我国开始制定智能机器人的研究计划。研究的对象主要涉及智能化材料、机器视觉、运动算法。经过多年的学习

17、和研发，终于获得了巨大的成果。在九十年代，我国决定将焊接机器人的工程应用作为研究的重点，通过研究者们的群策群力，我国迅速掌握了焊接机器人应用工程成套开发技术、工程配套、关键设备制造、现场运行等技术。在九十年代左右，我国自己研发的工业机器人逐渐量产化，实现从商业化转型到产业化。如今，我国生产的工业机器人已占国际总市场很大的一部分。但是，我们国家所掌握的工业机器人技术与其他国家的一些领先企业比较起来还是比较落后，像国外一些比较领先的企业比如：ABB、fanuc、库卡、安川，他们一直在机器人技术的发展中占取非常重要的角色，在这一方面我国还有许多需要要改进和学习的地方。按照机器人在市场销售情况如图1.

18、2，我们国家自己生产的机器人销售量也在逐渐增高，但是实际上，这些机器人大多都是三轴、四轴的机器人，那些真正能够得以使用的机器人还是要依靠国外技术。现今在全球范围内，我国的工业机器人在应用数量上面所占取的比例还是很低，在研发和管理方面，政府似乎对其投入的精力有点少。目前来说，我们国家图1.2 2012-2017年工业机器人销量统计对于工业机器人的开发和利用都是实行“一个客户，一次重新设计”，这种方式存在许多缺点，比如：生产的批量比较小、其供货的周期比较长、成本也较高、在可靠性和质量方面相比较于其他国家比较差。总而言之，虽然我们国家的工业机器人技术一直在迅速发展，但是与国外成熟而又超前的机器人技术

19、相比较，我们还有很长的一段路要走。随着国家提出工业 4.0 的主题的开展，我们国家在工业机器人方面的研发力度将逐渐加大，加强对于工业机器人的监督与管理工作，完善机器人生产体系以及售后服务体系，提高国内机器人核心竞争力。在应用上，自动化生产和机器人的服务性将在机器人市场中占非常重要的地位，这也势必成为时代的一种发展趋势。1.2.3 工业机器人技术的发展趋势现今，人工智能的范围不断的扩大化，我们可以猜测在未来，人工智能技术必将朝着更加精确化、普遍、集成化的方向发展。我们可以将发展的趋势加以总结，主要可以分为以下几点：(1)现今，工业机器人的技术处于不断发展、不断完善的过程中，在这个过程中工业机器人

20、会越来越标准化，以便于工业机器人的全球通用和售后服务。再者，机械的结构也会趋近于集成化、模块化，到那时，机器人的结构体系也会更加完善、功能会更加齐全、操作也会更加方便。(2)为了提高生产的精确度，那么传感器也会成为必不可少的部分，人们对于传感器的应用也会越来越广泛，比如视觉、声感、光感、触觉等多传感器联合使用可以提高生产线的精度。同时使用多个机器人共同协调工作，可以使工作效率得以提高。(3)在未来，工业机器人中会体现出更多的虚拟技术。刚开始，虚拟技术仅仅用于机器人的仿真，但是随着科学技术的不断发展。用户将使用虚拟技术置身远端来操控机器人，这也将会成为一种普遍的趋势。(4)智能机器人势必会成为社

21、会中不可或缺的一部分，无论是在生活服务行业还是工业生产中，机器人都以它强大的功能获得了人们的信赖。当前已经有大量公司实现了全自动化生产，通过人和机器人之间的相互协调工作，能够大大的提高工作效率。同时，机器人现在也是处于发展的阶段，它时时刻刻都需要进行自我修复和完善，不断的实现运行程序调试与修复。所以我们说，机器人还有很大的发展空间，与此同时，它在生产中的地位也会不断的提高。1.3 本文研究的主要内容本篇论文是将六自由度串联机器人作为研究对象。通过 D-H 参数法对该机器人进行运动学建模分析；动力学建模方法的研究。本文主要内容分为四个部分：第一部分：主要是介绍论文的相关背景，包括工业机器人的概念

22、性问题以及对于国内外工业机器人的未来发展前景和现在发展情况进行分析，此外，还介绍了工业机器人在现今社会的可发展空间和研究的方向，以及它的应用场合。通过这些分析，就可以反应出研究工业机器人的实际意义。不管是在人类社会的发展方面，还是在人类生活方面，它都扮演着非常重要的角色最后。最后就是对本篇论文加以总结归纳，总结出各个章节的主要研究方法和内容。第二部分：主要是对工业机器人的运动学基础和空间机器人连杆加以描述，并且对于D-H 连杆参数加以介绍。在这些基础上，本篇论文是以六自由度串联机器人为例，对其运动学正问题求解，并且采用反变换的方法去解欧拉角用以求运动学逆问题求解。验证了机器人在这种方法下对运动

23、学进行求解的可行性。 第三部分：本章主要是对机器人的动力学进行分析，首先我们会根据牛顿方程和欧拉方程，对其求解并且得到机器人构件的加速度和速度，然后再运用牛顿欧拉动力学递推计算公式；应用拉格朗日方程对机器人系统的动力学方程加以描述，并且我们总结出使用拉格朗日的方法去建立动力学方程的几个步骤。以六自由度串联机器人为例，进行了机器人正动力学和逆动力学仿真，这对于机器人的控制方面有很大的实际意义。第四部分：论文工作总结与展望。2 机器人运动学分析2.1机器人运动学基础机器人就是将各个连杆相互连接而构成的，而把各个关节相互连接起来就能得到连杆。机器人的运动会通过连杆参数的变化表现出来4。由此可知我们想

24、要对机器人运动学加以分析，实质上只要对空间上连杆和关节的参数变化加以分析，就可以得出结果。因此，首先我们先要描述出工具、零件及机构本身的位置和姿态。在对位姿的输出量加以定义之前，我们首先要定义出坐标系表达的一些规则。本章使用矩阵法去分析六自由度串联机器人的运动学问题。这种分析方法可以充分表现出机器人的各个杆件在空间环境中的运动关系。2.1.1 机器人位姿描述想要分析物体在空间中的位置时，我们通常会用到坐标系、位置矢量、平面等这些概念。工业机器人就是在这些概念的基础上建立起来的5。1) 位置描述：我们可以指定一个直角坐标系A，它的位置位于空间中任意一点 P ，可以由31的列矢量Ap表示：AP=p

25、xpypz图2.1 位置表示上式中px、py、pz表示点 P 在坐标系A中的三个位置分量，Ap表示参考坐标系A。我们称为 Ap位置矢量，如图2.1所示。2) 方位描述：研究机器人在空间中移动状况和工作状态的时候，我们必须知道物体的空间位置和空间方位（orientation），并且需要通过某个固接于物体的坐标系去描述物体的空间方位。若要将刚体 B在空间中的位姿表示出来，可以将其和某一个坐标系B固连起来。然后用坐标系B的3个单位主矢量xB，yB，zB，相对于参考坐标系A的方向余弦组成的 33 矩阵去描述刚体 B 相对于坐标系A的空间方位。BAR称为旋转矩阵6。 BAR=AxBAyBAzB=r11r

26、12r13r21r22r23r31r32r33 （2-1）式（2-1）中，其上标 A 代表参考坐标系A，下标 B代表设置在刚体上的坐标系B。BAR共有 9个元素，但是其中只有 3 个是相互独立的。由于BAR的三个列矢量AxB 、AyB 和AzB都是单位矢量且这些单位矢量互相垂直，所以对应的九个元素满足以下六个约束条件（正交条件）：AxB.AxB=AyB.AyB=AzB.AzB=1 （2-2）AxB. AxB=AyB.AyB=AzB.AzB=1 （2-3）所以旋转矩阵 BAR是正交的，并且满足条件 BAR-1= BAR1且| BAR| = 1。 其中，上标 T 代表矩阵的转置，|代表行列式的符号

27、。例如，当 y 轴作转角为的旋转变换时，它们对应的旋转矩阵分别表示如下：R(y, )=c0s010-s0c （2-4）上式中，s 代表 sin，c 代表 cos，下面论述均根据此约定。3) 位姿描述：文章前面部分为了描述点的位置，我们使用位置矢量，通过使用旋转矩阵去描述物体的方位。若需要表示刚体 B 在空间中所处的位姿，我们通常把刚体 B 跟某一个坐标系B固接7。而通常会将刚体 B 的质心或者特征点规定为B的坐标原点。相对参考系A，坐标系B的原点位置以及坐标轴的方位，分别通过位置矢量APB和旋转矩阵 BAR来表示8。这样刚体 B 的位姿可以由坐标系B来描述，即有：B=BAR APB0 （2-5

28、）若是对于位置描述，上式中的旋转矩阵 BAR= （其中 I 为单位矩阵）；若是对于方位的描述，上式中的位置矢量可表示为 APB0= 0。 2.1.2 平移和旋转坐标系映射1） 平移坐标变换第一种情况，若我们规定坐标系A和坐标系B和方位相同，但是两者的原点不是同一个点。那么就可以用 APB来描述坐标系B相对于坐标系A的位置，表示如图 2.2。设点 P 位于B中的位置为BP，则它相对于A的位置矢量 能根据矢量相加得到，表示如下AP=BP+ BP （2-6） 图2.2 平移坐标变换2）旋转坐标变换第二种情况，若我们规定坐标系B和坐标系A坐标原点相同，但是这两个坐标原点的方位不同，描述他们的空间关系见

29、图 2.3。用旋转矩阵 BAR表示B相对于A的方位。同一点P在这两个坐标系中的描述为AP和BP，它们满足以下变换关系： AP=BARBP （2-7）图2.3 旋转坐标变换同理可得，用BAR来表示A相对于B的方位。 BAR和ABR都是正交矩阵，两者互逆。3）复合变换还有第三种情况，坐标系B和A原点既不重合，方位也不相同。用位置矢量APB0表示B的坐标原点相对于A的位置；用旋转矩阵 BAR描述B相对于A的方位。对于任一点 P 在两坐标系A与B中的描述 和 满足以下变换关系：AP=BAR （2-8）2.1.3 齐次坐标变换1）齐次变换变换式（2-7）对于点来说为非齐次，我们却可以把它表示为等价的齐次

30、变换形式 AP1=BARAPBO01BP1 （2-9）其中，41 的列向量代表三维空间的点，表示点的齐次坐标，依旧记作 或 。可把上式写成如下的矩阵形式：AP=BAT其中，齐次坐标 Ap和 Bp为 41 的列向量。和式（2-7）中的维数不一样的是，上式中加入了第 4 个元素。齐次变换矩阵 BAT是 44 的方阵，具有如下形式：BAT=BARAPB001BAT中同时包含了旋转变换和平移变换。2）平移齐次坐标变换空间中某一点由矢量ai ,bj ,ck 描述。其中i，j，k 为轴 x,y,z 上的单位矢量。此点可用平移齐次变换表示为： Tran（a,b,c）=100a010b001c0001 （2-

31、10）其中，Trans 表示平移变换。3）旋转齐次坐标变换x、y 或者 z 轴作转角的旋转变换，分别表示为：Rot(x,)=100o0c-s00sc00001 （2-11）Rot(y,)=c0so0100-s0c00001 （2-12）Rot(z,)=c-s00sc0000100001 （2-13）式中，Rot 表示旋转变换。4）平移加旋转复合变换我们把在某静参考系或者动坐标系中，发生围绕着某坐标轴旋转或者沿着某轴线平移得到的运动称为复合变换。换句话说，任何一种变换都能够分成某些旋转或者平移的变换。根据算子的左、右乘规则，我们在计算变换矩阵时，若是静坐标系的变换，算子就左乘；反之则右乘9。动坐

32、标系(n,o,a)以(x,y,z)参考坐标系按顺序作出以下3种变换：（1）绕x轴转a度；（2）接着沿x轴平移l1，沿 z 轴平移l3 ；（3）最后，绕 y 轴旋转b度。点 P固连在动坐标系上。其中动坐标系跟静坐标系相互重合，随着动坐标系(n,o,a) 相对于静坐标系旋转或平移时，坐标系中的 P点相对于固定坐标系也随之变化。经过第一步变换以后P点在静坐标系中的坐标表示如下：p1,xyz= Rot(x, a)3p; （2-14）第二步变换以后，P点为于静坐标系中的坐标表示如下：p2,xyz= Trans（l1,0, l3）3p1,xyz= Trans（l1,0, l3）3 Rot(x, a)3p;

33、（2-15）第三步变换以后， P点为静坐标系中的坐标表示如下：p3,xyz= Rot(y, b)3p2,xyz= Rot(y, b)3Trans（l1,0, l3）3 Rot(x, a)3p;（2-16）每一次变换要用变换矩阵左乘 P点的坐标得到该点相对于静坐标系中的坐标。由此看出，矩阵的书写顺序和矩阵变换的顺序恰好相反，假如我们并没有按照顺序变换，那么所得到的变换矩阵将会完全不同。2.2 空间连杆描述机器人是一种用关节将连杆连接起来的链式运动机构。在设计机械臂的过程中，我们通常会采用旋转和移动关节作为单自由度关节10。根据其中的规则，从机械臂的固定基座开始，对连杆进行逐一编号，我们把基座记标

34、为连杆 0，第一个可移动连杆标为连杆 111。以此类推，机械臂的最后一根连杆标为连杆 n。机器人的每个连杆通常可以用四个参数表示，他们分别为连杆长度ai-1、连杆转角ai-1、连杆偏距di和关节角ui，他们之中连杆长度ai-1和连杆转角ai-1是用来描述连杆本身的，而连杆偏距di和关节角ui是用来描述连杆之间的关系。我们通常把这种用连杆参数去表达机构运动学之间的相互关系的方法称为D-H 参数12 2.3 连杆参数和连杆坐标系为了知道在三维空间中机械臂的末端执行器的位姿，我们必须定义与连杆固连的坐标系oixiyizi他们是用来表示相邻连杆的位置关系，如图 2.4 所示。根据静坐标系所在连杆的编号

35、对静坐标系进行命名，即固定在连杆i上的静坐标系记作坐标系，通常我们将固连在基座上的坐标系记作坐标系0，此坐标系在连杆的整个移动过程中始终保持静止是保持不动的，作为参考坐标系，我们通常会用它来描述其他连杆坐标系位置。图 2.4 连杆变换2.3.1 连杆参数连杆参数分为：连杆尺寸参数、连杆关系参数。1）连杆尺寸参数连杆 i 两端包括关节 i 和 i+1。次连杆的尺寸可以用两个量分别描述：连杆长度ai-1：两个关节轴线沿着公垂线的两端长度（恒大于零）连杆扭角ai-1：垂直于1的平面内两个轴线之间的夹角（可正可负，方向从 i 到 i+1）2）连杆关系参数连杆 i-1 和连杆 i 通过关节 i 相连。他

36、们之间的相对位置可用两个参数来表述：连杆间距离di：沿关节 i 轴线两个公垂线的距离。连杆间转角ui：两条公垂线之间的夹角，位于垂直于关节 i 轴线的平面内。2.3.2 建立连杆坐标系的步骤1）首先我们可以找出每个关节轴zi，然后将其关节轴的延长线画出来。他的基本原则就是：zi轴沿关节i的轴向。从第二步到第五步我们仅需考虑这两相邻的关节轴（和 i+1）和坐标系i。2）当找到两个关节 i 和 i+1 之间的公垂线或者两轴的交点之后，我们将公垂线与关节i的交点或者两个轴的交点作为坐标系i的原点。3）将沿关节轴 i 的方向规定为zi。4）规定Xi沿公垂线方向指向关节轴 i+1。如果这两轴相交，则规定

37、Xi垂直于这两轴所在的平面。5）按右手定则确定Yi轴。2.4 连杆变换连杆坐标系i和i-1之间的变换ii-1T-叫连杆变换。很明显，连杆变换与连杆的4 个参量包括长度ai-1、连杆扭角ai-1、连杆间距离di以及连杆间转角ui都有密切的关系13。因此，我们可以将ii-1T-拆成 4 个基本的子变换问题，他们中每一个因子只与其中一个参数相关，如此一来就可以更方便的描述出来。所有的变换都是以动坐标系为参考的。按照“从左到右”的准则，则有：ii-1T=Rot(x, ai-1)Trans(ai-1,0,0)Rot(z, ui) Trans(0,0, di) （2-17）式中，各独立变换矩阵如下：Rot

38、x,ai-1= 100ai-10cai-1-sai-100sai-1cai-100001 （2-18）Trans(ai-1,0,0)=100ai-1010000100001 （2-19）Rot(z, ui)=cui-sui00suicai0000100001 （2-20） Trans(0,0,di)=1000sui100001di0001 （2-21）因此，得到的连杆间的通用变换公式：ii-1T=cui-sui0ai-1suicai-1cuicai-1-sai-1-diai-1suicai-1cuicai-1sai-1diai-10001 （2-22）其中，cui=cos(ui), sui=s

39、in(ui), sai-1=sin(ai-1), cai-1=cos(ai-1)。2.5 六自由度串联机器人运动学分析利用机器人的各个关节和连杆运动参数，求解末端执行器（手部）的姿态和位置。我们此问题称为正向运动学问题。 已知机器人D-H 连杆参数，如表 2-1 所示表2.1 六自由度串联机器人的 D-H 连杆参数iai-1ai-1diui关节变量范围10-90d1（399）u1+170-1702a1（350）00u2+135-1003a2（42）-900u3+70-20040-90d4（351）u4+270-27050900u5+130-13060-90d6（82）u6+360-360将所有

40、的连杆参数代入公式（2-22）。求出每个连杆的变换矩阵： 10T=cu1-su100suicai00-su1-cu1000001 （2-23） 21T=cu2-su20a1su2cu20000100001 （2-24） 32T=cu3-su30a20010-su3-cu3000001 （2-25）4 3T=cu4-su400001d4-su4-cu4000001 （2-26） 54T=cu5-su50000-1d4-su5cu5000001 （2-27） 65T=cu6-su6000010-su6-cu6000001 （2-28）最后得出六个连杆变换之积：60T=10T21T32T43T54T

41、65T=nxoxaxpxnyoynypynzozazpz0001 （2-29）其中，nx=c6c5s4c1s2+c2s1+c3c4c1c2-s1s2-s3s5c1c2-s1s2 +s6(c4(c1s2+c2s1)-c3s4(c1c2-s1s2)ny=s3s4s6-c6(c3s5+c4c5s3)nz=c6c5s4c1c1-s1s2-c3c4c1s2+c2s1+s3s5c1s2+c2s1 +s6(c4(c1c1-s1s2)+c3s4(c1s2+c2s1)ox=c6(c4(s4(c1s2+c2s1)-c3s4(c1c2-s1s2)-s6(c5(s4(c1s2+c2s1) +c3c4(c1c2-s1s

42、2)-s3s5(c1c2-s1s2)oy=s6(c3s5+c4c5s3)+c6s3s4oz=c6(c4(s4(c1c2-s1s2)+c3s4(c1s2+c2s1)-s6(c5(s4(c1c2-s1s2) -c3c4(c1s2+c2s1)+s3s5(c1c2-s1s2)ax=-s5(s4(s4(c1s2+c2s1)+c3c4(c1c2-s1s2)-c5s3(c1c2-s1s2)ay=c4s3s5-c3c5az=c5s3(c1s2+c2s1)-s5(s4(c1c2-s1s2)-c3c4(c1s2+c2s1)px=a2(c1c2-s1s2)-d1(c1s2+c2s1)+c1a1-s3d4(c1c2-

43、s1s2)py= d1-c3d4pz=s3d4(c1s2+c2s1)-d1(c1c2-s1s2)-s1a1-a2(c1s2+c2s1)上式中统一规定：1=c1，1=s1， 1=a1， 1=d1 以此类推。为了核对所得结果60T的正确性，假设u1=0，u2=-90，u3=u4=u5=u6=0带入求得： 6 0T= nxoxaxpxnyoynypynzozazpz0001=010d4+d60010100d4+d1+d20100 （2-42） 所得结果和图 2.5 机器人位姿完全一样。2.6 本章小结本章是对机器人的运动学基础，空间机械臂连杆和 D-H 连杆参数进行描述，并且将六自由度串联机器人为例

44、，对其进行运动学问题正解，同时使用反变换的方法，求解欧拉角并求得运动学逆解。这种方法就可以验证机器人的运动学的求解可行性。3 机器人动力学分析机器人运动学主要是研究，机械手在空间运动时，空间的运动和每个关节运动之间有什么联系。但目前来说，我们应该怎样控制机器人的运动，这个问题并没有得到解决。动力学和运动学的不同之处就在于，动力学分析能够对每个关节之间的联合运动加以控制，如果只使用运动学的方法，尽管我们也可以完成一定的功能，但是它的响应速度却是非常慢的，这就将更多的能量浪费掉了。因此，为了能够更好的控制工业机器人的运动，使其在顺利做完预期的工作同时还需要建立机器人的动力学模型。 对于机器人的研究

45、过程中，我们主要研究机器人各关节的关节速度、位置、加速度以及各个关节执行器驱动力矩之间的相互关系。这主要包含两个大问题：第一点是根据已知的关节变量，运用正运动学方法求解机器人末端执行器的姿势和位置，这种问题我们将之称之为动力学的正问题；第二种方法就是用逆运动学求解出各个关节的变量，让机器人的末端执行器固定在一个点上面并且有一定的姿态，这种问题我们将其称为动力学逆问题的求解。动力学的研究是非常复杂的，它的研究方法有很多种，本文主要是运用拉格朗日方程和牛顿-欧拉方程进行研究。3.1 牛顿-欧拉方程我们通常将把欧拉方程和牛顿方程两者组合建立起来的方程叫做牛顿-欧拉方程，用它可以对机器人关节速度和加速

46、度进行分析求解。当各个连杆的速度、角速度以及转动惯量已知的时候，我们可以用牛顿-欧拉刚体动力学公式计算出每个关节驱动力矩和驱动力的递推公式，然后用递推公式求解出机器人动力学的数学模型。这样对于机器人牛顿-欧拉动力学模型的创建就完成了。3.1.1 牛顿-欧拉动力学方程将机器人的连杆假设为运动的刚体。现在设此刚体的质量为，其质心用 C 点表示出来。用 C 点构建坐标系，外力和外力矩的共同作用下，刚体发生质心线加速度和角加速度为的运动，则这些参数满足牛顿公式（3-1）和欧拉公式 = （3-1） = + + （3-2）式中，、都是三维矢量； 表示刚体惯性张量以为刚体的坐标系，则刚体的惯性张量定义为,A

47、IXY,AIXZ,AIXY,AIYY,AIYZ,AIXZ,AIYZ,AIZZ,AIXXAI=AIXXAIXYAIXZAIXYAIYYAIYZAIXZAIYZAIZZ （3-3）其中为质量的惯性矩，定义AIXX=(Y2+Z2)rdv （3-4）AIXY=(Y2+Z2)rdv （3-5）AIYY=(Y2+Z2)rdv （3-6）其他的元素都是质量的惯性积，定义为：AIXY=xyrdv （3-7）AIYZ=yzrdv （3-8）AIzx=zxrdv （3-9）式中，表示材料的密度，如果连杆质量均匀，则为常数；为体积；为体积的微分，它的位置矢量为, =xyz。3.1.2 连杆的速度和加速度分析现将作为

48、参考坐标系，设内任一点 Q 的位置矢量记作 ,记相对的位置矢量为 ,旋转矩阵是 ,则 Q 点位于两个坐标系的位置矢量 和 满足 = BO + B （3-10）对上式两边同时求导得到 和 之间的关系式=BO+B+B （3-11）式中，BO是的原点相对于坐标系的运动速度；B为旋转矩阵的导数。为正交矩阵，根据导数与微分的定义，求出( + )与()之间的关系。在内，()绕轴转动微分角度得到( + )，表示为 ( + ) = (，)() （3-12）则满足() = ( + ) - () = (，) () = a (，) () （3-13）其中，为 33 单位矩阵;a为微分旋转因子，表示为a（k, ）=0

49、-kz-kykz0-kx-kykx0 （3-14）对上式两边同时除以，求极限后，定义所求结果为角速度算子矩阵 S()如下S()=0-kz-kykz0-kx-kykx0=0-wz-wywz0-wx-wywx0 （3-15）而角速度矢量表示为W=kxkykz=wxwywz=k （3-16）已知角速度算子矩阵和角速度矢量，则任意行径 Q 处可得到线速度=S()= Q。将式（3-5）中的 、 、 BO分别代替为 Q、 Q、 BO。由于 Q 点是连杆上的某一个固定点，即 为常数，因此它的导数 为 0，由式（3-5）（3-10）可得坐标系相对于坐标系的运动速度 为AVQ=AVBO+AWB3ARBBQ （3

50、-17）对上式两端同时求导得到线速度 Q、 Q满足如下关系AVQ=AVBO+AWB3ARBBQ+AWB3(AWB 3ARBBQ) （3-18）该式求解机器人构件上某点线加速度。若已知C相对于转动角速度则AWC= AWC 3ARBBWC （3-19）AWC=AWB+ ARBBWC+AWB3 ARBBWC （3-20）3.1.3 递推算法牛顿-欧拉动力学递推算法可以分为两种，第一种是若移动轨迹是可知的，那么运动轨迹中各个关节变量的一阶导数和二阶导数都为设定为已知参数，所以我们可通过1连杆、2连杆的末端执行器，分别求解出每个连杆的加速度、速度和惯性力（矩），把这种方法叫正向递推算法。另外一种方法是，

51、从里向外进行递推求导，得出每个连构件的速度和加速度，再运用牛顿-欧拉公式求出构件的惯性力（矩），最后通过由外向内递推的方法计算出构件之间的相互作用力、力矩和各个关节的驱动力（矩），此方法被称为反向递推算法。正向递推算法。使用正向递推算法求解杆件的线加速度和加速度。对于旋转关节来说，若需要考虑关节的摩擦时，则作用于其相邻构件的力矩的 Z 轴方向分量应该和此关节所需扭矩大小一致。将之前提到过的A、B、C分别用构件坐标i-1ii+1表示，那么第 i+1 个构件相对于第 i 个构件的角速度为ivi+1=si+1qi+1iei+1 （3-21）并且可推导出1+1 = 1 + ii-1R+1+1 +1 （

52、3-22）当用变换矩阵i-1i+1R=ii+1Ri-1iR对上式两端同时相乘, 并且记 =， =，则求出构件角速度的递推公式为：+1=ii+1Ri+ +1+1 +1 （3-23）第 i+1 、i 个构件的角速度可以表示为+1、，并分别用i+1、i所表达；第 i+1 号关节驱动器所产生的角速度可以表示为qi+1；特定关节连接起来的构件坐标系 Z 轴正方向的单位矢量可以表示为+1；+1用来表示关节识别。+1=0表示移动关节， +1=1表示旋转关节。对式（3-23）的两边同时求导，可以得到构件加速度的递推公式：+1=ii+1R+ii+1R 3+1 qi+1 +1+ +1 qi+1 +1 （3-24）

53、求解构件的线速度和线加速度递推公式分别表示如下：Vi+1=ii+1R（vi+3pi）+（1-si+1） （3-25）Vi+1=ii+1Rvi+3pi+3(3pi)+(1-si+1)2ii+1R qi+1+1+qi+1+1 （3-26）式中，表示一个位置矢量。用i描述；+1、+1、表示坐标系i+1和i原点的线速度以及线加速度。若将 i个构件的质心表示为，则可以在上对坐标系进行设置，原点是。构建坐标系i和坐标轴的方向完全相同，质心在坐标系中的位置矢量用表示，则可以得到质心的线加速度。的递推公式为：=+v +W ( ) （3-27）上面那些公式就是牛顿-欧拉动力学的递推计算公式，用它们可以求出构件的

54、速度和加速度。以上递推公式都是以构件顺序 i=1，2，n 来推导的，最后得到机器人末端执行器位置坐标系n+1的速度和加速度。反向递推算法。通常用反向递推算法求解连杆的力矩和相互作用力，关节驱动力或者力矩。第 i 个杆件，若它的质心加速度产生了的惯性力，由牛顿公式求得；产生的惯性力矩，由欧拉公式求得；用表示质心在坐标系中的位置矢量；坐标系i+1的原点到的位置矢量为， 、均为常矢量。假设或者代表构件i上的驱动力矩或者驱动力矢量。可以得出，第 i 个关节处的驱动器驱动力矩和驱动力。对于i+1坐标系，存在以下公式：ifi+1=ii+1Rfi+1或者ini+1=ii+1Rni+1 （3-28）式中，ii

55、+1R为变换矩阵。在求解机器人杆件的力或者力矩时，已知条件是最后一个关节的负载，根据已知的条件，由第 n 个杆件递推到第 1 个杆件。具体步骤如下：根据第 i 个构件质心力平衡得 Fi=fi+1-fi+1=fi-i+1iRfi+1 （3-29）根据第 i 个构件质心力矩平衡得Ni=ni+i+1iRni+1+(-ri)fi-(pi-ri)3 i+1iR （3-30） 由上面二式得到机器人各个构件驱动力和驱动力矩的反向递推公式为fi = Fi i+1iRfi+1 （3-31）ni=Ni+i+1iR+ni+1+pi （3-32）引入 n1 阶矩阵 M 表示驱动力或者驱动力矩的一般形式，则存在M=12 （3-33）对式中