中国石油大学(华东)数值分析习题及答案
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第 1 章 绪论 参考答案 一、选择题( 15 分,每小题 3 分 ) 1、 (2) 2、 (3) 3、 (3) 4、 (4) 5、( 2) 二、填空题( 15 分,每小题 3 分) 1、 3 1 10 2 ; 2、 1 2 ; 3、 1 30 ; 4、 33; 5、截断(方法)误差 三、( 13 分) 解:已知有效数的绝对误差限为 123 ( ) ( ) ( ) 0.0005ex ex ex = , -( 2 分) 从而相对误差限为 123 ( ) 0.00016, ( ) 0.5, ( ) 0.005 rrr ex ex ex =, 1123 () () () ()0.015 r e y ex ex ex += , -( 4 分) 由绝对误差限的传播关系式得 2231132123 () () () ()ey xx ex xx ex xx ex +, 2 32 32 33 1 () () () () x e y ex ex xx + , -( 7 分) 所求算式的相对误差限为 1 1 1 () 0.0015 ( ) 0.0005 3.004 r ey ey y , 2 2123 2 () ( ) ( ) ( ) ( ) 0.50516 rrrr ey ey ex ex ex y +, 3 323 3 () ( ) ( ) ( ) 0.505 rrr ey ey ex ex y +=。 -( 13 分) 四、( 16 分) 解:( 1) 2 2 1 2 2 2 22 sin cos tan sin sin x xx xx x cox =(避免很小的数作除数); -( 4 分) ( 2) 2 11 2 12 1 12 1()() xx xx xx = + (避免相近的数相减); -( 8 分) 1 ( 3) 2 11 2 11 11 () x xx xx xxxxx xx xx + = = + + (理由同( 2); -( 12 分) ( 4) 1 2 2 1 1 11 arctan( ) arctan( ) arctan x x dt xx txx + =+ = + (理由同( 2) (利用公式 1 tan tan tan( ) tan tan x y xy x y = + 即得)。 -( 16 分) 五、( 15 分) 解: 0 141.y = ,则 2 000 1 10 2 eyy = , -( 2 分) 根据递推公式得到: 11 11 10 10 10 10 10 10 nnn n n n n n n e yy y y y y ee = = =L -( 6 分) 当 10n= 时, 10 10 2 8 10 0 11 10 10 10 10 22 ee =,故该方法不稳定。 -( 9 分) 将递推公式改写为 1 11 12 10 10 , nn yyn =+=L, -( 12 分) 则有 111 1 10 nnn nn e yy yy = , 2112 11 10 10 nnn nn e yy yy =, 0 1 10 nnn e yy = , -( 14 分) 由此可以看出,如果倒着计算,误差会递减,但必须知道 n y 的值。 -( 15 分) 六、( 13 分) 解:因为 , ss sxyyx xy = , -( 2 分) ()0.2x = , ()0.1y = , -( 6 分) 绝对误差限 () ( ) ( ) ( )sxy x yyx = + 110 0 1 80 0 2 27.= +=; 2 -( 10 分) 相对误差限 () 27 ( ) 0.31% 110 80 r s s s = = 。 -( 13 分) 七、( 13 分) 解: k a 是有效数字,根据有效数字的定义知 1 10 2 mk xx , -( 3 分) 且 11 110 10 10 mm x = , -( 5 分) 1 1 1 10 1 2 10 10 2 () mk k m r xx e x = =。 -( 8 分) 另一方面, 10 m x , 1 10 2 k r xx e x =, -( 10 分) 11 10 10 22 kmk xx x , -( 12 分) 所以 k a 必为有效数字,即 * x 至少有 k 位有效数字。 -( 13 分) 第 1 章 绪论 一、选择题(四个选项中仅有一项符合题目要求,每小题 3 分,共计 15 分 ) 1、近似数 0.231x = 关于真值 0.229x = 有( )位有效数字。 (1)1;(2)2;(3)3;(4)4。 2、取 3 1 732. 计算 4 31()x =,下列方法中哪种最好?( ) (1) 28 16 3 ; (2) 2 423() ; (3) 2 16 423()+ ; (4) 4 16 31()+ 。 3、下列说法中不属于数值方法设计中的可靠性分析的是( )。 (1)方法收敛性;(2)方法的稳定性;(3)方法的计算量;(4)方法的误差估计。 4、下列说法错误的是( )。 (1)如果一个近似数的每一位都是有效数字,则称该近似数为有效数; (2)凡是经“四舍五入”得到的近似数都是有效数; (3)数值方法的稳定性是指初始数据的扰动对计算结果的影响; (4)病态问题是由数学问题本身的性质决定的,与数值方法有关。 5、已知近似数 x 的相对误差限为 0.3,则 x 至少有( )位有效数字。 (1)1; (2)2 ; (3)3; (4)5。 二、填空题(每小题 3 分,共计 15 分) 1、设 的近似数 有 4 位有效数字,则其相对误差限为 _ _。 2、 x 的相对误差约是 x 的相对误差的 倍。 3、计算球体积时要使相对误差限为 10%,问测量半径时允许的相对误差限是 。 4、规格化浮点数系 24 12(, ,)F =中一共有 个数 5、用数 1 1 1 2 e + 作为计算积分 1 0 x I edx = 的近似值,产生的主要误差是 。 三、( 13 分)对于有效数 123 3.105, 0.001, 0.100 xxx = = = ,估计下列算式是相对误差限 2 1123 2123 3 3 ; x yxxx yxxx y x =+ = = 。 四、( 16 分)写出下列各题的合理计算路径,使计算结果更精确(不必计算结果),并说明 理由。 ( 1) 1 01 cos , sin x xx x 且 ; ( 2) 11 1 12 1 , x x xx ; ( 4) 1 2 1 1 , x x dt x t + + ; 五、( 15 分)设序列 n y 满足递推关系 1 10 1 1 2, nn yyn = =L,若 0 2141.y = ,计 算到 10 y 时误差有多大?计算过程是否稳定?如果不稳定,试给出一种稳定的计算方法,并说 明理由。 六、 ( 13 分) 已测得某场地长 x 的值为 110 x = 米, 宽 y 的值为 80y = 米, 已知 02.xx 米, 01.yy 米。试求面积 sxy= 的绝对误差限和相对误差限。 七、( 13 分)设 x 的近似数 * x 表示为 12 010 m kn x.aaa = LL,证明:若 k a 是有效数字, 则其相对误差不超过 1 1 10 2 ()k ; 若已知相对误差 r e , 且 1 10 2 k r e , 则 k a 必为有效数字。 。 第 2 章 非线性方程(组)的数值解法 参考答案 一、选择题(15分,每小题3分) 1、(3) 2、(4) 3、(2) 4、(1) 5、(4) 二、填空题(15分,每小题3分) 1、 51 , 99 pq r= =;2、2;3、1.618或 15 2 + ;4、 38 12 64 (, )F = ;5、 1 5 22 k k k x x x + =+ 三、(12分) 解:(1) 1 220 2 sin sinxx x x=+,迭代函数 1 1 2 () sinxx =+,迭代格式 1 1 1012 2 sin ; , , , kk xxk + =+ = L -(3分) 当05 2 ., x 时, 11 1 22 () cosxxL =,故该迭代格式收敛。-(6分) 相应的Steffenson迭代格式: 2 1 012 2 ( ) ) ;, ( ) ( ) ) kk kk kkk xx xx k xxx + = = + L -(9分) 2 1 1 1 2 012 11 1 11 21 22 2 (sin ) ;, sin(sin)(sin) kk kk kkk xx xx k xxx + + = = + + + L 2 1 1 11515 2 1 5 1 4987 11 1 1 1 15 21 15 15 22 2 (sin.) . sin(sin.)(sin.). x + = = + + + 。-(12分) 四、(12分) 解:对于 1nn f xxaf xnx = =() , () ,因此牛顿迭代法为 1 11 1 1012 n k kk knn kk xa a xx nx k nx n x + = = + =( ) , , , ,. -(3分) 而且 1 n n n a a =(), 1 2 11 2 n k nn k k ax n ax a + = () lim () ;-(6分) 对于方程 1 1 nn ana fx f x xx + = =() , (),牛顿迭代法为 1 1 1012 n kk k kk k fx x x xx n k fx n a + = = + = () ( ) , , , ,. () ,-(9分) 1 2 11 2 n k nn k k ax n ax a + + = lim () 。-(12分) 五、(12分) 解:(1) 2 3 6 68 3 () ( )xx =+, 2 3 3 2 18 8 0 22788 1() ( ) . = + ,迭代格式收敛。-(3分) (2) 1 2 2 4 68() ( )xx x = +, 1 2 4 2 18 8 0 087163 1 9 () ( ) . = + ,迭代格式发散。-(9分) 选择格式(1)计算 k 0 1 2 3 k x 3 2.9625 2.9539 2.9520 -(12分) 六、(12分) 解:(1) 2 1 44 xx xx L + = = sin cos ,(),故方程(1)能用迭代法求根。-(3分) (2)对于方程(2),若直接取迭代函数42 x x = (),方程为42 x fx x= +(), 10 20ff() , ( ),有根区间为12, ,此时22221 x x = ( ) ln ln, 故不能用该迭代法求解。-(6分) 将原方程改写为 4 2 x x = ln( ) ln ,迭代函数 4 2 x x = ln( ) () ln ,-(9分) 且有 11 1 1 4222 xL x =(),-(2分) 且有 1 00 0 kk k xx x + = = () ()( ),介于 k x与0之间,-(5分) 若 0 01xL,,迭代不收敛;-(7分) 若改用斯蒂芬森迭代,可得 1 42 2 01 33 3 kk x xxxx L xx + = = + (),() ,(),(9分) 所以斯蒂芬森迭代法收敛,收敛阶1p=。-(10分) 第 2 章 非线性方程(组)的数值解法 一、选择题(四个选项中仅有一项符合题目要求,每小题 3 分,共计 15 分 ) 1、 已知方程 3 250 xx=在区间 23,存在唯一正根, 若用二分法计算, 至少迭代 ( ) 次可以保证误差不超过 3 1 10 2 。 (1) 5; (2) 7; (3) 10; (4) 12。 2、已知求方程 0()fx= 在区间 ,ab上的根的不动点迭代为 1 012(), , kk xxk + = =L,对 于其产生的数列 k x ,下列说法正确的是( ) (1) 若数列 k x 收敛,则迭代函数 ()x 唯一; (2) 若对 1, ()xab x ,则 k x 收敛; (4)若 1, ()xab x L ,则 k x 收敛。 3、若迭代法 1 2 22 3 kk k xax x + =+ 收敛于 2 ,且要求收敛阶尽量高,则 a 的值为( )。 (1) 1 3 ; (2) 2 3 ; (3) 1 3 ; (4) 2 3 。 4、求方程根的二分法的收敛阶为( ) (1)线性收敛;(2)超线性收敛;(3)平方收敛;(4)局部平方收敛。 5、解非线性方程 () 0fx= 的牛顿迭代法的收敛阶为( )。 (1)线性收敛;(2)局部线性收敛;(3)平方收敛;(4)局部平方收敛。 二、填空题(每小题 3 分,共计 15 分) 1、若使迭代公式 2 1 25kk kk qa ra xpx xx + =+产生的序列收敛到 3 a ,并使其收敛阶尽可能高, 则常数 ,pqr的值分别为 _。 2、设函数 ()f x 在区间 ,ab上有足够阶连续导数, ,pab 为 ()f x 的一个 m 重零点,则 迭代公式 1 () () k kk k f x xxm f x + = 的收敛阶至少是 _ _。 1 3、求方程根的割线法的收敛阶为 _ 。 4、设向量函数 32 22 2 (,) x y Fxy xxy = + ,则其导函数在点 12(, )值 12(, )F = 。 5、求 5 的 Newton 迭代格式为 。 三、( 12 分)已知方程 220sinxx=在 1 22 , 内存在唯一根,( 1)试建立一种收敛于 方程根的迭代方法, 并说明收敛的理由; ( 2) 写出相应的 Steffenson 迭代格式, 并以 0 15.x = 为初值迭代一步。 四、 ( 12 分)应用牛顿法于方程 0 n fx x a= =() 和 10 n a fx x = =() ,分别导出求 n a 的 迭代公式,并求极限 1 2 n k kn k ax ax + lim () 。 五、( 12)方程 3 680 xx =在 3x = 附近有根,把方程写成三种不同的等价形式 (1) 3 68xx=+对应迭代格式 3 1 68 nn xx + = + ; (2) 8 6x x = + 对应迭代格式 1 8 6 n n x x + =+; (3) 3 58xx x=对应迭代格式 3 1 58 nnn xxx + = 。判断迭代格式在 0 3x = 的收敛性,选一种收敛格式计算 3x = 附近的根,精确到小数点后第二位。 六、( 12 分)对于下列两个方程,( 1) 4 xx x + = cos sin ,( 2) 42 x x = ,问能不能用迭代 法求解?如果不能时,试将方程改写成能用迭代法求解的形式,并说明理由。 七、( 12 分)考虑下述修正的牛顿迭代公式: 1 0 nnnn nn n fx fx fx fx xx D n Dfx + + = = () ( () () , () 假定 0fx () ,证明它对单根是一个二阶方法。 八、( 10 分)设 3 xxx =+() , 0 x = 为 x()的一个不动点,验证下列迭代法 10 0 kk xxx + =(), 不收敛,但改用斯蒂芬森迭代却是收敛的;并说明斯蒂芬森迭代计算 x() 的不动点 0 x = 时的收敛阶。 2 第 4 章 数值积分与数值微分 参考答案 一、选择题(15分,每小题3分) 1、(1) 2、(4) 3、(1) 4、(3) 5、(4) 二、填空题(15分,每小题3分) 1、xx= = 01 11 , 33 ;2、1;3、3;4、5;5、 1 0() ()() b n a Px x xdx + = 三、(12分) 解:将区间09,4等分,2h=,令()f xx=,计算各节点的函数值为: i x 1 3 5 7 9 i y 1 1.73205 2.23607 2.64575 3 -(4分) 由复合梯形公式得(42,nh=) -(5分) 4 2 1 2 3 2 5 2 7 9 17 22774 2 ()()()()().Tfffff= + + + + -(8分) 由复合辛普生公式得(24,nh=) -(9分) 2 4 1 4 3 2 5 4 7 9 17 32223 6 ()()()()().Sfffff= + + + + 。-(12分) 四、(12分) 证明:根据泰勒公式 000 23 00 44 kk 00 11 23 1 1 2 3 4 ( ) ()()() () () () () () () (, ), , fx kh fx khf x kh f x kh f x kh f x x kh k += + + + + = () ! ! -(4分) 有 1 0123 0 222 0 333 0 4 444 4 123 4 0 11 1 8 9 2 =18 9 2 2 3 1 18 9 2 2 3 2 1 18 9 2 2 3 3 18 9 2 2 3 4 6 () () () () () () () ()() () () ) ! () () fx fx fx fx hf x hf x hf x h fff hf x O h + + + + + + + + =+ ! ! -(8分) 从而有 3 00123 1 11 1 8 9 2 6 () () () () () ()f x f x f x f x f xOh h + + + -(10分) (2) 1 1 11 8 0 18 13.75 9 21.00 2 29.75 10 00 605 () . . . f += -(12分) 五、(12分) 解:令 () 2 ,0,1 x f xea b=。由复合梯形公式的逐次分半法得 () () () () 1 10 0 1 1.8591410 22 ba Tfafb ff =+=+= -(2分) () 21 11 1.8591410 0.5 1.5715832 222 ab TTf f + =+ = + = -(5分) ()() 42 13311 1.5715832 0.25 0.75 22 4 4 2 2 1.4906789 ba ab a b TT f f f f + + =+ + = + + = -(8分) 运用龙贝格求积法,有 () () () 121 242 2 121 2 1 4 1.4757306 41 1 4 1.4637108 41 1 4 1.4629095 41 STT STT CSS = = = -(10分) 此时 33 12 21 1 0.8013 10 10 15 = = CS SS 满足精度要求。-(12分) 2 六、(14分) 解:令 2 () 1,f xxx=,分别代入求积公式两端,使其精确相等,从而得到如下方程组 01 00 1 1 1 2 1 3 AA AB A += += = ,解之得 10 0 121 , 336 AAB=。-(5分) 求积公式为 1 0 211 01 0 336 fx f f f+ () () () (),它至少有2次代数精确度。 令 11 33 00 1 () , () 4 fx x fxdx xdx= 。 -(7分) 而 211 2111 01 0010 336 3363 fff+ =+=() () () 故此求积公式的最高代数精确度为2。 -(9分) 确定误差项Rkf= ()的k值,应将 3 ()f xx=代入有误差项的积分中,即 1 0 211 01 0 01 336 fxdx f f f kf =+ + () () () () (), (,)-(12分) 即 1 3 0 211 0106 336 x dx k=+ null, 11 6 43 =+k 求得 1 72 k =,这时误差项 1 72 Rf= ()。-(14分) 七、(12分) 证明:函数 m x的拉格朗日插值多项式为 0 (), 0,1, , n mm kk k x xl x m n = = L, 其中() k lx是以 01 , , n x xxL为结点的拉格朗日插值基函数。 -(2分) 对上式两端积分 0 () n bb mm kk aa k x dx l x dx x = = -(4分) 又由题设知求积公式有n次代数精确度,则有精确等式 0 ,0,1, n b mm kk a k x dx x m n = = L -(6分) 3 ,得 0 ( ( ) ) 0, 0,1, , n b m kk k a k lxdxx m n = = L -(8分) 设() b kk k a tlxd= ,则由得1n+阶齐次线性方程组 01 00 11 22 2 00 11 00 11 0 0 0 0 n nn nn nn n nn tt t xt xt xt xt xt xt xt xt xt + += + = += += L L L M L -(10分) 方程组的系数行列式为范德蒙行列式 01 22 2 01 01 11 1 n n nn n n x xx Dx x x x xx = L L L MM M L 由于结点 i x互异,所以0D 。这时方程组只有零解,即0, 0,1, , k tk n= = L。 于是 () , 0,1, , b kk a lxdxk n = L。 -(12分) 八、(10分) 证明:形如 1 1 n b kk a k f xdx Af x + = () ( )的高斯(Gauss)型求积公式具有最高代数精度2n+1次, 它对f x()取所有次数不超过2n+1次的多项式均精确成立。 -(2分) (1)取 i f xlx=() (),代入求积公式:因为 i lx()是n次多项式,且有 0 1 ij i j lx i j = = () 所以 1 1 n b ijiji a j lxdx Alx A + = = = () ( ) -(5分) (2)取 2 i f xlx=() (),代入求积公式:因为 2 i lx()是2n次多项式,-(7分) 所以 1 2 1 n b ijiji a j lxdx Alx A + = = () ( ),故结论成立。 -(10分) 第 4 章 数值积分与数值微分 一、选择题(四个选项中仅有一项符合题目要求,每小题 3 分,共计 15 分 ) 1、在牛顿 -柯特斯求积公式 () 0 () ( ) ( ) n b n ii a i f xdx b a C f x = 中,当系数 ()n i C 是负值时,公 式的稳定性不能保证,所以实际应用中,当( )时不使用牛顿 -柯特斯求积公式。 (1) 8n ; (2) 7n ; (3) 10n ; (4) 6n 。 2、若使下列求积公式中的代数精度尽量高, 2 012 0 () (0) (1) (2)f xdx Af A f A f+ , 则求积公式中的待定系数应分别为 ( ) (1) 01 2 14 1, , 33 AA A= =; (2) 01 2 14 1, , 33 AA A= =; (3) 01 2 44 1, , 33 AA A= =; (4) 012 141 , 333 AAA= 。 3、若用复化的辛浦生公式计算积分 0 sin xdx ,问积分区间要( )等分才能保证误差不 超过 5 210 ? ( 1) 10; ( 2) 15; ( 3) 20; ( 4) 25。 4、牛顿 -柯特斯数值求积公式 () 0 () ( ) ( ) n b n ii a i f xdx b a C f x = ,则当 n为偶数时 ,至少具有 ( )次代数精度。 ( 1) n; ( 2) 21n+ ; ( 3) 1n+ ; ( 4) 1n 。 5、 若求积公式 5 0 () ( ) b kk a k f xdx Af x = 为高斯 ( Gauss) 型, 下列说法正确的是 ( ) (1)不能确定该求积公式的稳定性; (2) 5 0 k k A ba = ; (3) 该求积公式的代数精度为 9; ) (4) 4 30()() b a xxxdx+= ,其中 5 0 () ( ) k k xxx = = 。 二、填空题(每小题 3 分,共计 15 分) 1、为使两点的数值求积公式 1 01 1 () ( ) ( )f xdx f x f x + 具有最高的代数精确度,则其求积 节点的值应为 _。 2、求定积分的梯形公式的代数精度为 。 1 3、已知求积公式 2 0 1 041 2 3 () () () ()fxdx f f f+ ,则其代数精度为 。 4、求定积分的牛顿 -柯特斯公式的代数精度为 。 5 、已知插值型求积公式 0 ()() ( ) n b kk a k x f xdx Af x = , 0 n i i x = 为求积节点,且 1 0 () ( ) n ni i xxx + = = , 2 1 , () , , , n P xSpanxx xL,则求积节点 0 n i i x = 为高斯点的充 要条件是 。 三、( 10 分)取 5 个等距节点,分别用复化梯形公式和复化辛普生公式计算积分 9 1 xdx 的 近似值。 四、( 12 分)设 )(xf 具有四阶连续导数, 1 012, ii hx xi + = =, (1) 证明四点数值微分公式 3 00123 1 11 1 8 9 2 6 () () () () () ()f xfxfxfxfxOh h + + + (2) 利用 (1)的数值微分公式及下表中的函数值求 1()f 的近似值。 x 1.0 1.5 2.0 2.5 f(x) 8.00 13.75 21.00 29.75 五、( 12 分)用龙贝格求积法求积分 21 0 x edx 的近似值,要求误差不超过 3 10 。 六、( 14 分)求积公式 1 010 0 01 0fxdx Af Af Bf+ () () () (),又知其误差为 01Rkf =(), (,)。试确定系数 01 ,AA及 0 B ,使求积公式有尽可能高的代数精确度,并 指出这个代数精确度和误差式中的 k 值。 七、( 12 分)试证:若求积公式 0 () ( ) n b kk a k f xdx f x = 的代数精度不小于 n ,则它的求积系 数必然是 012() , , , b kk a lxdxk n = L,其中 () k lx是以 01 , , n x xxL为节点的拉格朗日插值多 项式的基函数。 八、( 10 分)证明:高斯( Gauss)型求积公式 1 1 n b kk a k f xdx Af x + = () ( )中的求积系数 i A 2 可表示为: 2 bb ii i aa A l x dx l x dx= () () ,其中 i lx()是 n 次拉格朗日 (Lagrange)插值基函 数,即 1 1 12 1 n j i j ij ji xx lx i n xx + = =+ () () , , , () L。 第 5 章 线性代数方程组的直接解法 参考答案 一、选择题(15分,每小题3分) 1、(2) 2、(3) 3、(4) 4、(1) 5、(3) 二、填空题(15分,每小题3分) 1、(3,3)a;2、32+;3、 100 0.5 1 0 201 L = ;4、p;5、对称正定 三、(12分) 解: 11 13 2 43 26 7102 115 914 35015 6 () () ,Ab = -(2分) 35015 6 26 7102 115 914 13 2 43 -(4分) 350156 8 0706 3 2 05416 3 4 0211 3 -(6分) 350156 8 0706 3 27 35 00 4 42 3 00 14 2 -(8分) 1 350156 8 0706 3 27 35 00 4 42 11 000 99 -(10分) 故方程组的解为( )2321 T x = -(12分) 四、(12分) 解:将矩阵进行三角分解A LU=,得 121 100121 223 210021 130 11210012 = -(4分) 求解Ly b= 1 2 3 100 0 210 3 112 1 6 y y y = ,得()0312 T y = -(8分) 求解Ux y= 1 2 3 12 1 0 021 3 0 0 12 12 x x x = ,得111(, ,) T x = -(12分) 五、(12分) 解: 424 200212 21710 140 0 4 2 410 9 221 0 0 1 T ALL = = = -(4分) 求解Ly b= 1 2 3 200 10 140 3 221 7 y y y = ,得()52 1 T y =-(8分) 求解 T L x y= 2 1 2 3 214 5 042 2 001 1 x x x = ,得( )21 1 T x =-(12分) 六、(10分) 证明:由题意知:rbXAbAX = , rAXXrAXXrXXA 1 1 )( = -(4分) 又 b A X XAAXbbAX = 1 -(7分) 所以 b A Acond b rAA X XX )( 1 = 。-(10分) 七、(12分) 证明: 因为A对称,故 22 ()()() T A AA A=,-(3分) 所以有 22 12 11 ()() () () nn TT T nkk kk AA AA AA A = += = L-(6分) 又 12 ()() () TT T n A AAA AA +=L T A A的对角元素之和 2 22 2 2 12 11 1 11 nn n nn kk nk ik F kk k ik aa a aA = = =+= = L,-(10分) 因此 2 1 n k F k A = = 。 -(12分) 八、(12分) 解:交换方程组的前两行,则原方程组Axb=等价于 10 2 3 3101 3110 xb = , 5 14 14 b = 此时系数矩阵为严格对角占优矩阵,故Jacobi和Gauss-Seidel迭代法均收敛。(4分) 答案(1):Jacobi迭代法的分量形式 3 1 23 1 1 13 2 1 12 3 52 3 10 14 3 012 10 14 3 10 () () () () () () () () () ;, kk k kk k kk k xx x xx xk xx x + + + + = = = L -(8分) 迭代矩阵为: 1 23 0 10 10 31 0 10 10 31 0 10 10 ()BDLU =+= , -(12分) 答案(2):Gauss-Seidel迭代法分量形式 1 23 1 1 1 13 2 11 1 12 3 52 3 10 14 3 012 10 14 3 10 () () () () () () () () () ;, kk k kk k kk k xx x xx xk xx x + + + + + + = = = L -(8分) Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵为 1 13 0 510 31 0 50 100 27 91 0 500 1000 ()GDLU = = , -(12分) 第 5 章 线性代数方程组的直接解法 一、选择题(四个选项中仅有一项符合题目要求,每小题 3 分,共计 15 分 ) 1、一般用高斯消元法解线性代数方程组要采用的技术是( ) (1)调换方程位置; (2)选主元; (3)直接求解; (4)化简方程组。 2、设矩阵 A的 LU 分解如下: 223 100 223 477 210 0 1 245 1 1 006 Ab a = 则该分解式中 ,ab的值分别为 ( ) (1) 2, 6ab=;(2) 6, 2ab=;(3) 2, 3ab= = ;(4) 1, 2ab=。 3、设矩阵 nn A R , nn QR ,且 T QQ E= ,则下列关系式不成立的是( ) (1) 22 A AQ= ; (2) F F QA A= ; (3) 22 Qx x= ,其中 n xR ; (4) () ( )cond A cond AQ = 。 4、设矩阵 314 12 2 232 A = , 1 1 1 x = ,则 Ax 和 A 的值分别为( ) (1) 88, ; (2) 87, ; (3) 86, ; (4) 77, 。 5、若解线性代数方程组的 Gauss部分选主元方法第二步得到的系数矩阵的第三列向量为 ()2632 542 T ,则第三步主行是( ) (1) 第 2 行; (2) 第 3 行; (3) 第 5 行; (4) 第 6 行。 二、填空题(每小题 3 分,共计 15 分) 1、设 210 12 02 A a a = ,为使 A可分解为 T A LL= ,其中 L是对角元素为正的下三角矩阵, 则 a 的取值范围是 _。 2、设 210 12 1 012 A = ,则 2 ()Cond A = _。 3、设 ()214 T x = ,如果 ()200 T Lx = ,则初等下三角矩阵 L= 。 1 4、设 nn A R 为上半带宽为 p ,下半带宽为 q 的带状矩阵,且 A的各阶顺序主子式均不为 零, A LU= 为 Doolitte 分解,则上三角矩阵 U 的上半带宽为 。 5、 设对称正定矩阵 11 () , 0 nn ij Aa Ra = , 经过一次 Gauss 消元得到形如 11 1 0 a A A = 的 矩阵,则 1 A 是 矩阵。 三、( 12 分)试用高斯列主元素法求解线性方程组 1 2 3 4 13 2 4 3 26 710 2 115 9 14 35015 6 x x x x = 四、( 12 分)利用矩阵 A的三角分解 A LU= 求解下列方程组 1 2 3 121 0 223 3 130 2 x x x = 五、( 12 分)用平方根法求解下列方程组 1 2 3 424 10 21710 3 410 9 7 x x x = 六、( 10 分)设线性代数方程组 Axb= 中系数矩阵 A非奇异, x为精确解, 0b ,若向量 x% 是 Axb= 的一个近似解,残向量 rbAx= % ,证明估计式: () xx r cond A xb % (假 定所用矩阵范数与向量范数相容)。 七、( 12 分)设实对称矩阵 () ij n n Aa = 的特征值为 12 , n L 试证: 2 1 n k F k A = = 。 八、( 12 分)已知方程组 Axb= ,其中 3101 10 2 3 3110 A = , 14 5 14 b = , ( 1)构造求解该方程组的一种收敛的迭代格式,并说明理由; ( 2)写出( 1)中迭代方法的迭代矩阵。 第 6 章 线性方程组迭代解法 参考答案 一、选择题( 15 分,每小题 3 分 ) 1、 (3) 2、 (4) 3、 (4) 4、 (1) 5、 (2) 二、填空题( 15 分,每小题 3 分) 1、 1a ; 2、 2 2 a ; 3、 1a ; 4、 4 23+ ; 5、 Axb 三、( 9 分) 解: (1) 19.0 1 =B ,迭代法 fBxx kk += 1 发散;( 6 分) (3) B 的特征值 19.0)( =B ,迭代法 fBxx kk += 1 收敛。 -( 9 分) 四、( 14 分) 解:( 1) Jacobi 迭代法的分量形式 1 123 1 21 1 312 12 2 2012 32 2 ( ) () () ( ) () () () () () ;, kkk kkk xxx xxx + + + = + = = = L -( 2 分) Gauss-Seidel 迭代法的分量形式 1 123 11 21 1 312 12 2 2012 32 2 ( ) () () () () () () () () ;, kkk kkk xxx k xxx + + + = + = = = L -( 4 分) ( 2) Jacobi 迭代法的迭代矩阵为 1 022 10 1 220 ()BDLU =+= , -( 6 分) 123 0 =, 01()B =, Gauss-Seidel 迭代法发散 -( 12 分) ( 3) SOR 迭代法的分量形式 1 1 11 23 22 1 1 33 2 05 151 2 2 05 152 012 05 153 2 2 ( ) () () () () () () () () () () () .( .( ;, .( ) kk kk kk kk xx xx k xx xx + + + = + + = + = = + L-( 14 分) 五、( 10 分) 证明:由 * x Bx g=+与 (1) ()kk x Bx g + =+相减得 ( ) (1) * () *kk x xBx x + = 反复递推得 () (1) * 1 (0) *kk x xBx x + = -( 4 分) 设矩阵 B 的对应于特征值 的特征向量为 y,若取初始向量 (0) * x xy= + ,则 (1) * 1 1kkk x xBy y + = = -( 6 分) 从而有 1 (1) * k k x xy + + = -( 8 分) 因为 1 , 0 T uAu -( 8 分) 故 2 10, 1 , ()1H ,所以题中结论成立。 -( 10 分) 八、( 15 分) 解: (1) () 1 B DLU =+, -( 2 分) B 的特征方程为 () ( )()( ) ( ) 11 det det det det 0IB IDLU D DLU = + = = 即 () det 0DLU =. -( 5 分) (2) () 1 GDLU = , -( 7 分) G 的特征方程为 3 () () () () ( ) ()( ) 11 det det det det 0IG I DLU DL DLU = = = 即 ()det 0DL U = -( 10 分) (3) ()() () 1 1GDL DU = + , -( 12 分) G 的特征方程为 () ()()( ) ( ) () ()() 1 1 det det 1 det det 1 0 IG I D L D U DL DL DU = + = = 即 ()( )det 1 0DL DU =. -( 15 分)
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