浅谈有关概率论的几个有趣的随机偶然问题

浅谈有关概率论的几个有趣的 随机偶然问题 摘 要 概率论是数学中的一门基础学科，不仅可以研究古老难题，解决应试的需求，更广泛应用于现实生活中的各个方面。尤其在解决带有偶然性的问题时，其独特的思维方法使得问题浅显易懂，从而变的简单易解。现实生活中那些趣味性的随机问题更离不开概率论的思想。 关键词 概率论 偶然性 趣味性 随机 On on is a in be to in in in of 002年 8月在北京举行国际数学家大会（ 间，陈省身大师为儿童题词，写下了“数学好玩” 4个大字。也许这会让很多学生不解，数学如何好玩？更有 学生会坦言在所有学科里面最让人头疼的就是数学，它怎么可能会好玩？陈省身先生之所以说它好玩是因为他是数学大师，他乐于其中。然而我们这种出于对应试需求的一种学习当然会认为它枯燥、难理解等等。其实不然，陈省身大师在他十几岁的时候就觉得数学好玩，他是因为觉得好玩才专研其中，并不是因为专研其中才觉得数学好玩的。这就如同世间上的很多事情，只有感受体验才能食髓知味。就比方酒，“酒仙”李白写到“但得此中味，勿为醒着传”，不体会是不能理解诗人所传达的意境与乐趣的。 概率论是 研究随机现象的数量规律学科。 17、 18世纪，数学获得 了巨大的进步。数学家们冲破了古希腊的演绎框架，向自然界和社会生活的多方面汲取灵感，至此 数学领域 里 出现了众多崭新的生长点 。 概率论就是这一时期 "使欧几里得几何相形见绌 "的若干重大成就之一。 早在 16世纪，意大利学者卡丹与塔塔里亚等人就 已经开始 从数学角度研究赌博问题。他们的研究 不仅包含 赌博还 涉及到 当时的人口、保险业等，但由于卡丹等人的思想未引起重视，概率概念的要旨也不明 确，于是很快被人淡忘了。 真正的概率论的历史开始于 17世纪中叶，最初概率论是起源于对赌博问题的研究。据说， 1654年左右爱好赌博的法国人梅雷（ 610信向帕斯卡（ 623教。两个赌徒相约赌若干局，谁先赢 s 局就算赢，现在一个人赢了 a（ a<s）局另外一个人赢了 b 局（ b<s） ,如果赌博提前中断，改如何在两赌徒间分配赌金？于是帕斯卡和费马（ 601通信中讨论了“点数问题”，“骰子问题”等问题。他们把一些日常赌博问题变成了真正的数学问题，用排列组合理论得出正确答案，并提出数学期望这一核心概念。他们也被大家公认为是概率论的创立者。 数学的有趣性体现于此， 它能把生活中的问题转化为数学问题，用数学的思想与方法解决。与上述案例大致相同的一例有关概率论的赌博游戏就是著名的两个吸收壁的随机游戏问题，也叫做赌徒输光问题。原题如下： 设袋中有 、乙两赌徒分别有 们不知道袋中哪种球多。他们约定：每次有放回从袋中摸一个球，如果摸到白球甲给乙 11元，如果摸到黑球，乙给甲 1元，知道两个人有一个人输光为止。求甲输光的概率。由题知，甲赢 1元的概率为，输 1元的概率为 1 ，设 甲的赌金， = 或0:，即表示最终摸球次数。如果 0: （为空集），则令 =。 设 A=“第一局（次）甲赢”，则 P(A)=p， )( ，且在第一局甲赢的条件下（因为甲有 n+1元）甲最终输光的概率为1第 1局甲输的条件下甲最终输光的概率为1全概率公式，得齐次一元二阶常系数差分方程与界条件 11 ) 0,10 ) 解具有边界条件（ 2）的差分方程（ 1）有两种方法，其 解分别介绍如下。 解法一： 令 ，由（ 1）得关于 的代数方程 2)( （ 3） （）当 )( 即 时 ，方程（ 3）有两个解 21 ,1 ，故方程（ 1）有两个特解： 1与（从而方程（ 1）通解为 nn (21 由边界条件（ 2）得 11,1)(21故得 111 ( ) 当 p=程（ 3）有两个相等的解 121 ，故方程（ 1）有通解1 ，再由边界条件（ 2）得 1,1 21从而得 mn 1综合（）与（）得 ,)(1)(11（ 4） 解法二： （）当 时，由方程（ 1）得 11 （递推） = .)(212 nn = 1101 （ 5） 又因 10 101 = 1111 1101 所以1111 ，从而由（ 5）得 111 （递推） = 10011 =111 （）当 时，由方程（ 1）得 110111 推） 又因 101111 = 11 所以， 111，从而 111 11 推） =mn n 10从而，亦得（ 4）。 这样我们就圆满的算出了所要求的量，而且每个步骤都是非常的清晰，使人一看就很明了， 我们在此题中也是充分的运用了概率论的知识。这样的题目现在已经从大学的课本中“下放”到高中的知识，相信还是会有同学不觉得概率论有趣，不过下面这一例问题相信会改变一些同学会概率论的看法 蒲丰（ 针问题，题目如下： 平面上画着一些平行线，它们之间的距离都是 a。向此平面随意投一长度为l(l<a)的针，试求此针与任一平行线相交的概率。 刚看到此题的时候如果不是要求所求的答案为概率是不是很难想象的到它能和概率论结合在一起？甚至根本不会联系到概率呢？这就是概率的有趣之处，随后我们将详细的展现它的有趣。 解 ：以 表示针与平行线的交角，针与平行线的位置关系见图 图 1多对数学有偏见甚至讨厌数学的人依然会说这不还是计算题吗？不还是一样的数学死模版：分析 假设 大胆求证 得出正确的结果，还是数学的那一套模式也逃不出数学求解的框框，最终还是那么的讨厌。也许像这样出现数字，明显一看就是算数的题目不会引起对数学反感之人的兴趣，那么也就无从谈起概率论的有趣 。可是如果概率论和红楼梦“扯”上关系，是不是从文学的方面能说明概率论的有趣，也能引起对数字反感之人的兴趣？ a M x 众所周知红楼梦的问世过程比较复杂，一经流传就受到极大地关注。“红学”的影响很深，至今仍有很多的学者为之陶醉，沉迷于研究不曾自拔。要说这红楼梦的内容，在各类小说横行的今天看来已经没有太多的新颖，可是为什么大家还是那么的热衷它，还是那么的废寝忘食研究？因为红楼梦不但只是我国的四大名著之一，它里面所暗含的内容已经远远超出人们的想象，甚至敢于说出那个年代人们忌讳的话语。 霍国玲女士曾经提出红 楼梦中有暗喜雍正归天之意，在“红学”界，认为有暗骂雍正的看法。其实在此之前已经有多种版本的论说，在此我们只论霍国玲女士提出的骂雍正的一条具体例证，并用概率统计的思想方法加以讨论，认为可信概率很大，也就是说很可能就是曹雪芹自己的意思。 相信读过红楼梦的人对曹氏家族与两个黄帝之间的关系都非常的了解，就现代的思想来看曹雪芹骂雍正正是绝对有动机的，这一点毋庸置疑。可是想必大家都清楚，在清朝中期“文字狱”就像一个魔鬼一样住在每个文人的心中，稍加不注意的文人就会被捕风捉影的人按上“藐视朝廷”、“轻视皇上”诸如此类的罪过，轻则打入地牢重则杀头甚至满门抄斩。试想一下在这样的坏境下又怎么可能容得下骂皇上？可曹雪芹却在小说红楼梦中多次暗骂皇上。其中暗喜雍正归天就是显著地一例。可以简单的概括为： 八月二十三日 =雍正死亡日 =曹雪芹欢欣鼓舞之日 就当时的情形而言，曹雪芹肯定不能明目张胆的表达出自己的欢喜之情，那么他用了怎样的手法呢？若写的显而易见，便有灭顶之灾；若忽略则难以表达曹家的怨恨，于是使用了多种隐蔽的技巧，下面我们便对大家一一的详解。 史书记载，雍正的死亡之日是 8月 22日深夜与 8月 23日凌晨 之间，这一年曹雪芹 21岁，他必会记住这个日期，又因为有抄家的怨恨内心欢喜是必然的。在红楼梦的前 80回中，多记载的是贵族的生活场景，尤以 3741回将鲜花着锦之盛，欢乐无限之态，推向了顶峰。只要看了第 40回中贵妇人、贵公子和贵小姐们的欢笑场面便会有具体的感受。曹雪芹誓要将此无比欢腾的场面呈现在雍正忌日这一天，可是曹雪芹知道自己不能如实地写出 8月 23日小说中任务的欢呼雀跃，那么这一愿望如何实现呢？不得不说曹雪芹确实有很高超的文学技巧与笔法。 在地 37回的开端处，有这样两行文字：“这年贾政又点了学差，择于八月 二十起身”注意，这两行是承前启后文字，其中的日期可以不必写的如此准确，可用“这日”一类的简单记述。这里似乎又别有用意了。在第 42回的开端处，尤以小段文字是对前几回欢唱而豪放场面的收敛，却借着查看崇书之机说出：“八月二十五日，病者在东南方得遇花神”。请注意，此处十分自然而巧妙地设计出又一个确凿日期。在第 3741回的 5回里，大约有四万字的篇幅，只管大书特书如何欢呼如何盛宴，再看不到任何月日的记述。不过在关键时刻都能找到“这日”或“次日”等字眼，使得 8月 20日至 8月 25日的活动安排井然有序。然而作者仍旧未进 行，还在第 38回中，暗笔点明这一天正是 8月 23日，记述了大观园里吟诗作乐欢天喜地的盛况，浓墨林黛玉菊花诗夺魁，淡抹薛宝钗螃蟹咏讽和。后半回看似累赘（有文学家这样认为），好像是给薛宝钗一个安慰赛，实则是有难言之隐，看看她的称冠的“螃蟹咏”吧： 桂霭桐阴坐举觞，长安涎口盼重阳。 眼前道路无经纬，皮里春秋空黑黄。 酒未敌醒还用菊，性防积冷定须姜。 于今落斧成何益？月浦空余禾黍香。 书中还明白写道，在看了“眼前道路无经纬，皮里春秋空黑黄”之后，“众人不禁叫绝”“写的痛快！”。看完全诗后，“都说这是食螃蟹绝唱，这些小 题目，原要寓大意才算是人才，只是讽刺世人太毒了些。”作者痛快淋漓地骂出了心里话，横行霸道诡计多端者，终究逃脱不了落入汤锅的下场。结合前文的叙述，所骂何人不言而明。 很明显，这样的例证属于陈维昭所说的“既不能直接形成定论，而无论通过如何缜密的逻辑推理，最终依然不能间接形成定论”。但即使是问到曹雪芹本人，恐怕情况的不同答案也会不同的。如此说来，对这一结论无话可说了吗？不是的，这时恰好可用概论来分析两种可能性大小的差别，如 经济或实验中获取的知识中的不确定性的度量”。这不仅仅是估算两个概率 大小的问题，更重要的是一种方法论，带有“哲学、逻辑和实践的问题”。这里将要论述的对“不确定性的度量”，也是来源于公众生活的实践。对概率不熟悉的人也许会看不懂我在这里的叙述，下面我就用一个简单的例子阐述我的原理。 想必大家都玩过扑克牌，那我们都知道在每局开始之前都要先洗牌再抓牌。若某人第一手抓牌时，无意之中发现他抓到的是一张大王牌，于是牌友之间对他是否作弊可能产生争执。通常分为三种：其一，有人看到了他作弊的动作，他会受到批评；其二。洗牌的动作是对方完成的，他没有作弊的可能，当然也就不应当受到为难；其三，他自己 洗牌，又第一个抓牌，不能排除作弊的可能性。此时，大家也会有共识，即重新洗牌，而且要按标准程序操作。 在这样的了结方案中，对于前两种情况我们是很容易理解的。对于第三种情况的共识心态，应当进行思索和解释，这恰好与概率有关系。首先注意，某人未作弊而又第一手抓到大王牌是可能的。这种可能性的大小也是可以计算的。每副扑克牌的张数为 54，按照第一节的论述，此可能性是 1/54，或者说概率是 =1/54=容易看出这种概率是非常小的。相反，若是有人呢作弊，那么它的概率就不再是 1/54，是多少那就取决于 作弊人水平的高低了。对于高手，可能近乎于 100%。而此时我们只讨论 100%的情况，不仅仅因为这种情况容易讨论，而且在后文的应用只与此情况有关。那么我们现在就用概率的方法解释第三种情况的共识心态。 我们先想一下前述的第三种情况：某人自己洗牌，又第一手抓牌，又抓到了一张大王牌。此时产生对某人是否作弊的争论，源于他既有可能作弊，也有可能没作弊，这都和情况不冲突。显然，只承认存在作弊的可能性，不足以了结此番争论。就某人自己而言，他应当知道是否作弊了。但就某种意义而言，他是受害者，他的陈述算不得数。对于牌友而言，他们 一致认为：不作弊而又一手抓到大王牌的概率是 =1/54=；如果作弊则可以确保抓到大王牌。换言之也就是说，若牌友坚持他作弊的说法则冤枉他的概率是 即“某人作弊”之说不真的概率为 那么为真的概率是 100% 。我们看到真与不真的概率相差甚远，那么最终就会以包括某人在内的多数人都要求重新洗牌，而且按照标准程序操作了结。其实也就暗含了相信以及接受“某人作弊”的说法，使用“共识”一词只是为了达到缓和气氛的目的。 相信很多人已经明白了，上述所说的玩扑克 牌的例子就与暗骂雍正之事有类似之处。看红楼梦怀疑作者暗骂雍正与玩牌时怀疑某人作弊才抓到大王牌，两者在逻辑上是相同的。我们可以仿照计算“为作弊而又第一手抓到大王牌”的 概率算法，再注意到农历的天数是 354，那么书中人数的欢畅与雍正死亡时间相同的巧合为 1/354（ ，那么非巧合的概率就是 353/354(,这比刚刚不作弊抓大王牌真假的概率相差还要大。相反，如果不是作者故意而为之，那么就与洗牌作弊的道理相似，虽然能想到用如此高妙的手法不容易，但成功率却是 100%。曹雪芹先生 有宣泄的动机有知道雍正死亡的时间，这就类似于玩扑克“自己洗牌又第一手抓牌”的情况，故无法排除作者故意所为的可能性，除非红楼梦在雍正死之前就已经问世，那么这样自然不会有人怀疑其中暗骂雍正之事，这与“他人洗牌”的情况相类似。 至此，按照“归纳概率推理”的思考结果是：在“可能”与“不可能”的两种观点中，曹雪芹在红楼梦中有暗喜雍正归天的看法，具有最大的概率，而且与相反看法“为真”概率的差别是悬殊的。 看到此，我们是否要为概率欢呼？是否在心中暗暗惊叹，如此博大精深的红楼梦竟然也要用到概率论的知识？其实概率 论的有趣不仅仅体现在红楼梦的这几回中，后面亦有用到。我们这里所讨论到的还只是九牛一毛，仅介绍这一处，希望有兴趣人士可以自行阅读。 其实概率的有趣又岂是几页纸，几句话就能概括的。众所周知的中国古算解趣一书中也只是涵盖了比较广为流传的有趣数学题，譬如“三翁垂钓”、“五猴分桃”等等诸如此类的题目。要想更加深入的体会到概率的有趣还需要多加钻研，由于篇幅有限，上述论文仅以典型例子解说。若有不妥之处还望谅解。 参考文献 1孙荣恒 北京 ,科学出版社 (第六版 ),2009年 9月 . 2安鸿志 率 科学出版社 ,2009年 1月 . 3田铮 ,秦超英等 北京 ,科学出版社 ,2007年 4月 . 4朱秀娟 ,洪再吉 50题 湖南科学技术出版社 ,1981年 . 5统计与真理 科学出版社 ,2004. 6复旦大学 北京 ,人民教育出版社 ,1980. 7华东师范大学数学系 ,概率论与数理统计 人民教育出版社 ,1982. 81970 9 31957. 101979. 1112迪鹤，刘文泽。北京，科学出版社，1979. 致谢 在论文的准备和写作过程中，笔者得到了孟燕玲老师的悉心指导和热情帮助。